Đạo hàm các hàm số phức tạp

Thẻ · 51

Quy tắc chuỗi (Chain rule) cho hàm hợp y = f(u(x))

y' = f'(u) * u'(x) hoặc dy/dx = (dy/du) * (du/dx).

Đạo hàm của u(x)^n với n là hằng số

(u^n)' = n * u^(n - 1) * u'.

Đạo hàm của căn bậc hai căn(u)

(căn(u))' = u' / (2 * căn(u)), điều kiện u > 0.

Đạo hàm của 1 / u

(1 / u)' = -u' / (u^2), với u khác 0.

Đạo hàm của e^u

(e^u)' = u' * e^u.

Đạo hàm của a^u (a > 0, a khác 1)

(a^u)' = u' * a^u * ln(a).

Đạo hàm của ln|u|

(ln|u|)' = u' / u, với u khác 0.

Đạo hàm của log_a|u| (a > 0, a khác 1)

(log_a|u|)' = u' / (u * ln(a)).

Đạo hàm của sin(u)

(sin(u))' = u' * cos(u).

Đạo hàm của cos(u)

(cos(u))' = -u' * sin(u).

Đạo hàm của tan(u)

(tan(u))' = u' / (cos(u)^2) = u' * (1 + tan(u)^2).

Đạo hàm của cot(u)

(cot(u))' = -u' / (sin(u)^2) = -u' * (1 + cot(u)^2).

Đạo hàm của arcsin(u)

(arcsin(u))' = u' / căn(1 - u^2), với |u| < 1.

Đạo hàm của arccos(u)

(arccos(u))' = -u' / căn(1 - u^2), với |u| < 1.

Đạo hàm của arctan(u)

(arctan(u))' = u' / (1 + u^2).

Đạo hàm của arccot(u)

(arccot(u))' = -u' / (1 + u^2).

Đạo hàm của hàm lũy thừa mũ u(x)^v(x)

Lấy ln hai vế: y = e^(v * ln(u)), suy ra y' = u^v * (v' * ln(u) + v * u' / u).

Bẫy thường gặp khi tính đạo hàm của x^x

Không dùng quy tắc x^n hay a^x đơn thuần; phải tính là x^x * (ln(x) + 1).

Đạo hàm hàm ẩn F(x, y) = 0 theo x

Đạo hàm cả hai vế theo x, coi y là hàm số của x (y = y(x)), rồi rút y' theo x và y.

Công thức đạo hàm riêng cho hàm ẩn F(x, y) = 0

dy/dx = - (dF/dx) / (dF/dy), với điều kiện dF/dy khác 0.

Đạo hàm của x^2 + y^2 = R^2 theo x

2x + 2y * y' = 0 => y' = -x / y (y khác 0).

Đạo hàm của tích x * y theo biến x

(x * y)' = 1 * y + x * y' = y + x * y'.

Đạo hàm của y^3 theo biến x

(y^3)' = 3 * y^2 * y'.

Đạo hàm của sin(x * y) theo biến x

[sin(x * y)]' = (y + x * y') * cos(x * y).

Đạo hàm của e^(x * y) theo biến x

[e^(x * y)]' = (y + x * y') * e^(x * y).

Đạo hàm của ln(x^2 + y^2) theo biến x

(2x + 2y * y') / (x^2 + y^2).

Lưu ý khi tính đạo hàm cấp hai của hàm ẩn y''

Đạo hàm lại y' theo x, sau đó thay biểu thức của y' vào kết quả để chỉ còn x và y.

Đạo hàm cấp hai của x^2 + y^2 = 1

y' = -x/y => y'' = -(y - x*y')/y^2 = -(y^2 + x^2)/y^3 = -1 / y^3.

Phương pháp đạo hàm Logarit áp dụng khi nào?

Khi hàm có dạng tích thương của nhiều đa thức phức tạp hoặc dạng lũy thừa u(x)^v(x).

Đạo hàm của y = căn[(x - 1)/(x + 1)] bằng logarit

ln(y) = 1/2 [ln(x - 1) - ln(x + 1)], suy ra y'/y = 1/(2(x - 1)) - 1/(2(x + 1)).

Đạo hàm của hàm tham số x = x(t), y = y(t)

dy/dx = y'(t) / x'(t), với x'(t) khác 0.

Đạo hàm cấp hai của hàm tham số x(t), y(t)

d^2y/dx^2 = [d/dt (dy/dx)] / x'(t).

Bẫy khi tính đạo hàm cấp hai hàm tham số

Sai lầm phổ biến là tính y''(t) / x''(t); đúng phải là [y'(t)/x'(t)]' chia cho x'(t).

Đạo hàm của f(g(h(x))) (hợp 3 hàm)

f'(g(h(x))) * g'(h(x)) * h'(x).

Đạo hàm của sin^3(2x)

3 * sin^2(2x) * cos(2x) * 2 = 6 * sin^2(2x) * cos(2x).

Đạo hàm của e^(sin(x^2))

2x * cos(x^2) * e^(sin(x^2)).

Đạo hàm của ln(tan(x / 2))

(1/2) * (1/cos^2(x/2)) / tan(x/2) = 1 / sin(x).

Đạo hàm của căn bậc ba u: (u^(1/3))'

u' / [3 * căn bậc ba(u^2)].

Đạo hàm của 1 / căn(u)

-u' / [2 * u * căn(u)].

Đạo hàm của |u(x)| tại u(x) khác 0

(|u|)' = u' * u / |u| = u' * sgn(u).

Đạo hàm của |x| tại x = 0

Không tồn tại đạo hàm tại x = 0 vì đạo hàm trái (-1) khác đạo hàm phải (1).

Bẫy quên nhân u' trong hàm hợp

Viết (cos(3x))' = -sin(3x) là sai; kết quả đúng phải là -3*sin(3x).

Đạo hàm của hàm ngược: x = f(y) => y' theo x

y'(x) = 1 / f'(y), với f'(y) khác 0.

Đạo hàm của y = (sin x)^cos x

(sin x)^cos x * [-sin x * ln(sin x) + cos^2 x / sin x].

Điều kiện để hàm F(x, y) = 0 xác định y(x) khả vi quanh (x0, y0)

F liên tục, có đạo hàm riêng liên tục và dF/dy(x0, y0) khác 0.

Đạo hàm của x^y = y^x

Lấy ln: y*ln(x) = x*ln(y); đạo hàm tìm y' = y(x*ln(y) - y) / [x(y*ln(x) - x)].

Đạo hàm của arctan(x / a) với a hằng số

[1 / (1 + (x/a)^2)] * (1/a) = a / (a^2 + x^2).

Đạo hàm của arcsin(x / a) với a > 0

1 / căn(a^2 - x^2).

Đạo hàm của ln(x + căn(x^2 + a^2))

1 / căn(x^2 + a^2).

Đạo hàm của ln(x + căn(x^2 - a^2))

1 / căn(x^2 - a^2).

Bẫy nhầm lẫn cơ số biến và số mũ biến

(x^x)' khác x * x^(x-1); với biến ở cả cơ số và số mũ bắt buộc dùng e^(x*ln x).