Conjuntos e Conjuntos Numéricos

Cartões · 32

Pertinência (∈ vs ∉)

Relaciona um elemento a um conjunto. Exemplo: 2 ∈ N, mas -1 ∉ N. Não deve ser usada para relacionar dois conjuntos.

Inclusão (⊂, ⊆)

Relaciona dois conjuntos. A ⊂ B significa que todo elemento de A também pertence a B. Não deve ser usada para elementos avulsos.

Conjunto Vazio (∅ ou {})

Conjunto sem elementos. É subconjunto de qualquer conjunto (∅ ⊆ A). Cuidado: {∅} não é vazio, é um conjunto unitário cujo elemento é o vazio.

Conjunto Unitário

Conjunto formado por exatamente um único elemento. Exemplo: {0} ou {x | 2x = 4}.

Conjunto Universo (U)

Conjunto que contém todos os elementos considerados em um determinado contexto ou problema matemático.

Conjunto das Partes: P(A)

Conjunto formado por todos os subconjuntos de A. Se A tem n elementos, o número de elementos de P(A) é dado por 2 elevado a n.

União de Conjuntos (A ∪ B)

Conjunto formado por elementos que pertencem a A, a B, ou a ambos: x ∈ A ou x ∈ B.

Interseção de Conjuntos (A ∩ B)

Conjunto formado apenas pelos elementos comuns a A e a B: x ∈ A e x ∈ B.

Conjuntos Disjuntos

Conjuntos que não possuem nenhum elemento em comum, ou seja, sua interseção é vazia: A ∩ B = ∅.

Diferença de Conjuntos (A - B)

Elementos que pertencem exclusivamente a A e não pertencem a B: {x | x ∈ A e x ∉ B}.

Complementar de B em relação a A

Denotado por C_A(B) ou A - B, definido apenas quando B é subconjunto de A (B ⊆ A). Representa os elementos de A que faltam em B.

Princípio da Inclusão-Exclusão (2 conjuntos)

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B). Evita contar os elementos da interseção duas vezes.

Leis de De Morgan

O complementar da união é a interseção dos complementares; o complementar da interseção é a união dos complementares.

Conjunto dos Números Naturais (N)

N = {0, 1, 2, 3, ...}. Representa contagens inteiras e não negativas. O símbolo N* representa os naturais sem o zero.

Conjunto dos Números Inteiros (Z)

Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}. Inclui todos os naturais e seus opostos negativos. Todo natural é inteiro (N ⊂ Z).

Conjunto dos Números Racionais (Q)

Números que podem ser escritos na forma a/b, onde a e b são inteiros e b ≠ 0. Inclui frações, decimais exatos e dízimas periódicas.

Dízima Periódica Simples

Número decimal infinito cuja repetição começa logo após a vírgula. Exemplo: 0,333... = 3/9 = 1/3.

Dízima Periódica Composta

Possui uma parte não periódica entre a vírgula e o período. Exemplo: 0,1666... = (16 - 1)/90 = 15/90 = 1/6.

Conjunto dos Números Irracionais (I)

Números decimais infinitos e não periódicos que não podem ser escritos como a/b. Exemplos: raiz quadrada de 2, pi, e número de ouro.

Diferença entre Racionais e Irracionais

São conjuntos disjuntos (Q ∩ I = ∅). Um número real não pode ser racional e irracional ao mesmo tempo.

Conjunto dos Números Reais (R)

União de todos os números racionais com todos os números irracionais (R = Q ∪ I).

Relação de Inclusão Numérica

N está contido em Z, Z está contido em Q, e Q está contido em R (N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R).

Soma de Racional com Irracional

A soma ou subtração de um número racional com um número irracional sempre resulta em um número irracional.

Produto de Racional por Irracional

O produto de um racional não nulo por um irracional é sempre irracional. Cuidado: 0 vezes qualquer irracional é 0 (racional).

Operações entre Irracionais

Operações entre irracionais nem sempre geram irracionais. Exemplo: raiz de 2 multiplicada por raiz de 2 resulta em 2 (racional).

Intervalo Real Aberto (a, b)

Conjunto de todos os reais estritamente entre a e b, excluindo os extremos: {x ∈ R | a < x < b}.

Intervalo Real Fechado [a, b]

Conjunto de todos os reais entre a e b, incluindo ambos os extremos: {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}.

Subconjunto Próprio

A é subconjunto próprio de B se A ⊆ B e A ≠ B. Isso significa que B possui ao menos um elemento a mais que A.

Zero: Par ou Ímpar?

O zero é um número inteiro par, pois pode ser escrito como 2 multiplicado por 0 (resto zero ao dividir por 2).

Divisão por Zero

A divisão por zero não é definida nos conjuntos numéricos reais; a/0 é uma indeterminação/impossibilidade matemática.

Número Primo nos Naturais

Número natural maior que 1 divisível apenas por 1 e por ele mesmo. O número 2 é o único primo par. 1 não é primo.

Densidade dos Números Racionais

Entre dois números racionais quaisquer sempre existe outro número racional (e também infinitos irracionais).