Conjuntos Numéricos: N, Z e Q 2

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Conjunto dos Números Naturais (N)

Conjunto usado para contagem que inclui o zero e os inteiros positivos: N = {0, 1, 2, 3, ...}. Exemplo: 7 pertence a N.

Subconjunto N*

Conjunto dos números naturais estritamente positivos (exclui o zero): N* = {1, 2, 3, ...}. Exemplo: 1 pertence a N*, mas 0 não pertence.

Sucessor e Antecessor em N

O sucessor de n é n + 1; o antecessor de n (n > 0) é n - 1. Exemplo: O sucessor de 8 é 9 e o antecessor de 8 é 7.

Números Pares e Ímpares

Par é divisível por 2 (forma 2k); ímpar não é divisível por 2 (forma 2k + 1). Exemplo: 14 é par (2x7) e 15 é ímpar (2x7 + 1).

Adição de Números Naturais

Operação de combinar quantidades; fechada em N. Exemplo: 12 + 15 = 27.

Propriedade Comutativa da Adição

A ordem das parcelas não altera a soma: a + b = b + a. Exemplo: 4 + 9 = 9 + 4 = 13.

Propriedade Associativa da Adição

O agrupamento das parcelas não altera a soma: (a + b) + c = a + (b + c). Exemplo: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9.

Elemento Neutro da Adição

O número zero não altera o valor somado: a + 0 = a. Exemplo: 17 + 0 = 17.

Multiplicação de Números Naturais

Adição de parcelas iguais: a x b representa somar a consigo mesmo b vezes. Exemplo: 4 x 3 = 4 + 4 + 4 = 12.

Propriedade Comutativa da Multiplicação

A ordem dos fatores não altera o produto: a x b = b x a. Exemplo: 6 x 7 = 7 x 6 = 42.

Propriedade Distributiva

A multiplicação distribui sobre a adição: a x (b + c) = (a x b) + (a x c). Exemplo: 3 x (4 + 5) = 3x4 + 3x5 = 12 + 15 = 27.

Elemento Neutro da Multiplicação

O número um não altera o valor multiplicado: a x 1 = a. Exemplo: 25 x 1 = 25.

Divisão Euclidiana em N

Para a e b (b > 0), existem únicos q e r tais que a = b x q + r, com 0 <= r < b. Exemplo: 17 / 5 dá quociente 3 e resto 2 (17 = 5x3 + 2).

Conjunto dos Números Inteiros (Z)

Reunião dos números naturais com os inteiros negativos: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Exemplo: -15 pertence a Z.

Números Opostos ou Simétricos

Dois números cuja soma é igual a zero; estão à mesma distância da origem na reta. Exemplo: O oposto de +6 é -6, pois 6 + (-6) = 0.

Módulo ou Valor Absoluto

A distância de um número até o zero na reta real, sempre não-negativa: |a|. Exemplo: |-8| = 8 e |8| = 8.

Adição de Inteiros com Mesmo Sinal

Soma-se os módulos e conserva-se o sinal comum. Exemplo: (-4) + (-7) = -11.

Adição de Inteiros com Sinais Diferentes

Subtrai-se o menor módulo do maior e mantém-se o sinal do de maior módulo. Exemplo: (-9) + 15 = +6.

Subtração em Z

Equivale a somar o primeiro termo com o oposto do segundo: a - b = a + (-b). Exemplo: 5 - (-8) = 5 + 8 = 13.

Regra dos Sinais na Multiplicação de Inteiros

Sinais iguais resultam em positivo (+), sinais diferentes em negativo (-). Exemplo: (-3) x (-4) = +12 e (-3) x 4 = -12.

Divisão Exata em Z

Operação inversa da multiplicação quando o resto é zero; segue regra de sinais. Exemplo: (-20) / (+4) = -5.

Conjunto dos Números Racionais (Q)

Números que podem ser expressos como fração a/b, onde a e b pertencem a Z e b != 0. Exemplo: -3/4 pertence a Q.

Frações Equivalentes

Frações que representam a mesma razão ao multiplicar ou dividir termos pelo mesmo número. Exemplo: 2/3 = 4/6 = 6/9.

Fração Irredutível

Fração cujo numerador e denominador são primos entre si (mdc = 1). Exemplo: 12/18 simplificada torna-se 2/3.

Fração Própria e Imprópria

Própria tem numerador menor que denominador; imprópria tem numerador maior ou igual. Exemplo: 3/5 é própria; 7/4 é imprópria.

Número Misto

Forma composta por uma parte inteira e uma fracionária própria. Exemplo: 7/3 equivale a 2 inteiros e 1/3.

Adição de Racionais com Denominadores Iguais

Soma-se os numeradores e conserva-se o denominador: a/c + b/c = (a+b)/c. Exemplo: 2/7 + 3/7 = 5/7.

Adição de Racionais com Denominadores Diferentes

Reduzem-se ao mesmo denominador usando o MMC antes de somar. Exemplo: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.

Multiplicação de Frações

Multiplicam-se numeradores entre si e denominadores entre si: (a/b) x (c/d) = (ac)/(bd). Exemplo: 2/3 x 4/5 = 8/15.

Inverso de um Número Racional

O inverso de a/b (com a, b != 0) é b/a, cujo produto é 1. Exemplo: O inverso de 3/4 é 4/3, pois (3/4) x (4/3) = 1.

Divisão de Frações

Multiplica-se a primeira fração pelo inverso da segunda: (a/b) / (c/d) = (a/b) x (d/c). Exemplo: (2/5) / (3/7) = 2/5 x 7/3 = 14/15.

Decimal Exato

Representação decimal finita de um número racional. Exemplo: 3/4 = 0,75.

Dízima Periódica Simples

Decimal infinito cuja repetição (período) começa logo após a vírgula. Exemplo: 1/3 = 0,333... (período 3).

Dízima Periódica Composta

Decimal infinito com parte não-periódica (antiperíodo) antes do período. Exemplo: 1/6 = 0,1666... (antiperíodo 1, período 6).

Fração Geratriz de Dízima Simples

Fração com período no numerador e noves correspondentes no denominador. Exemplo: 0,777... = 7/9.

Potenciação em N com Expoente Natural

Produto de fatores iguais à base: a^n indica a multiplicado n vezes. Exemplo: 2^3 = 2 x 2 x 2 = 8.

Potência com Expoente Zero

Qualquer número não nulo elevado a zero é igual a um: a^0 = 1 (a != 0). Exemplo: 5^0 = 1 e (-9)^0 = 1.

Potência com Expoente Negativo em Q

Equivale ao inverso da base com expoente positivo: a^(-n) = (1/a)^n. Exemplo: 2^(-3) = 1/(2^3) = 1/8.

Produto de Potências de Mesma Base

Mantém-se a base e somam-se os expoentes: a^m x a^n = a^(m+n). Exemplo: 3^2 x 3^3 = 3^(2+3) = 3^5 = 243.

Divisão de Potências de Mesma Base

Mantém-se a base e subtraem-se os expoentes: a^m / a^n = a^(m-n). Exemplo: 5^7 / 5^4 = 5^3 = 125.

Potência de Potência

Mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes: (a^m)^n = a^(m x n). Exemplo: (2^3)^2 = 2^(3x2) = 2^6 = 64.

Raiz Quadrada Exata em Q

Número não-negativo que, elevado ao quadrado, resulta no radicando: raiz(a) = b se b^2 = a. Exemplo: raiz(49/81) = 7/9.

Densidade do Conjunto dos Racionais

Entre dois números racionais distintos sempre existe outro número racional. Exemplo: A média entre 1/4 e 1/2 é (1/4 + 2/4)/2 = 3/8.

Relação de Inclusão entre Conjuntos

Os naturais estão contidos nos inteiros, que estão contidos nos racionais: N subconjunto Z subconjunto Q. Exemplo: 4 pertence a N, Z e Q.

Comparação de Números Inteiros

Qualquer número à direita na reta orientada é maior que o à esquerda. Exemplo: -2 > -5, pois -2 está mais perto de zero.

Comparação de Frações com Denominadores Iguais

A maior fração é aquela que possui o maior numerador positivo. Exemplo: 5/9 > 2/9.

Comparação de Frações pelo Produto Cruzado

Para a/b e c/d positivos, a/b > c/d se e somente se a x d > b x c. Exemplo: 3/4 > 2/3 pois 3x3 (9) > 4x2 (8).

Multiplicação de Decimais

Multiplica-se ignorando as vírgulas e ajusta-se o total de casas decimais. Exemplo: 0,2 x 0,3 = 0,06 (1 + 1 = 2 casas decimais).

Divisão por Potências de 10

Desloca-se a vírgula para a esquerda o número de zeros da potência de dez. Exemplo: 45,6 / 100 = 0,456.

Multiplicação por Potências de 10

Desloca-se a vírgula para a direita o número de zeros da potência de dez. Exemplo: 3,14 x 1000 = 3140.

Critério de Divisibilidade por 3 em N

Um número é divisível por 3 se a soma dos seus algarismos for múltiplo de 3. Exemplo: 432 é divisível por 3 porque 4 + 3 + 2 = 9.

Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

Menor inteiro positivo comum diferente de zero que é múltiplo de dois números. Exemplo: MMC(4, 6) = 12.

Máximo Divisor Comum (MDC)

Maior número inteiro positivo que divide simultaneamente dois ou mais números. Exemplo: MDC(18, 24) = 6.