Matemática para o Enem

Cartões · 50

Razão e proporção

Um mapa usa escala 1:50 000. Se a distância no mapa é 4 cm, qual a real? Multiplica-se 4 por 50 000 = 200 000 cm. Convertendo para metros dividindo por 100 e depois por 1 000 para km, obtém-se 2 km.

Regra de três simples

Um carro consome 10 L para rodar 120 km. Quantos litros para 300 km? Monta-se 10/x = 120/300. Multiplicando em cruz: 120x = 3 000, logo x = 25 L.

Regra de três composta

4 operários constroem 2 muros em 6 dias. Quantos dias 8 operários levam para 4 muros? Inverte operários (8/4) e mantém muros (2/4): 6/x = (8/4) * (2/4) = 1. Logo, x = 6 dias.

Porcentagem: aumento sucessivo

Um produto de R$ 100 sobre aumentos de 10% e 20%. Multiplica-se pelos fatores: 100 * 1,10 * 1,20 = 132. O valor final é R$ 132 (aumento total de 32%, não 30%).

Porcentagem: desconto sucessivo

Item de R$ 200 tem 10% de desconto e depois 5% à vista. Multiplica-se por 0,90 e depois por 0,95: 200 * 0,90 = 180; 180 * 0,95 = 171. Valor final é R$ 171.

Escala gráfica e volumétrica

Uma maquete tem escala linear 1:100. Se uma piscina real tem 50 m3, qual o volume na maquete? A escala volumétrica é 1:(100^3) = 1:1 000 000. Volume = 50 / 1 000 000 = 0,00005 m3 (50 cm3).

Conversão de unidades: volume e capacidade

Uma caixa d'água tem 2,5 m3. Quantos litros ela comporta? Sabendo que 1 m3 = 1 000 L, multiplica-se 2,5 por 1 000 = 2 500 litros.

Conversão de unidades: tempo e velocidade

Um atleta corre a 18 km/h por 40 min. Qual a distância? Divide-se 18 por 3,6 para obter 5 m/s. 40 min = 2 400 s. Distância = 5 * 2 400 = 12 000 m (12 km).

Média aritmética simples

Notas de um aluno: 6,0; 7,0 e 8,0. Qual a média? Soma-se todos os termos e divide-se pela quantidade: (6 + 7 + 8) / 3 = 21 / 3 = 7,0.

Média aritmética ponderada

Notas 6 (peso 2) e 9 (peso 3). Média final? Multiplica-se nota pelo peso e divide pela soma dos pesos: ((6*2) + (9*3)) / (2+3) = (12 + 27) / 5 = 39 / 5 = 7,8.

Mediana

Valores observados: 12, 5, 8, 20, 15. Qual a mediana? Coloca-se em ordem crescente: 5, 8, 12, 15, 20. O termo central é 12.

Mediana com número par de termos

Amostra: 4, 8, 10, 14. Qual a mediana? Ordenados, pegam-se os dois centrais (8 e 10) e calcula-se a média aritmética: (8 + 10) / 2 = 9.

Moda

Gols em 5 jogos: 1, 3, 2, 3, 0. Qual a moda? Identifica-se o valor com maior frequência absoluta: o número 3 repete duas vezes, logo a moda é 3.

Desvio padrão e variância

Dois atletas têm média 10 m no salto. Atleta A tem desvio padrão 0,2 e B tem 1,5. Quem é mais regular? O atleta A, pois menor desvio indica menor dispersão em torno da média.

Função afim: modelo linear

Um táxi cobra R$ 5 fixos mais R$ 2,50 por km. Preço de 10 km? Monta-se f(x) = 5 + 2,5x. Para x = 10: f(10) = 5 + 25 = R$ 30.

Função afim: taxa de variação (coeficiente angular)

Em 2 horas havia 10 L de água; em 5 horas, 25 L. Taxa horária? m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (25 - 10) / (5 - 2) = 15 / 3 = 5 L/h.

Função quadrática: ponto de máximo (vértice)

Lucro L(x) = -x2 + 20x - 50. Qual produção maximiza o lucro? Calcula-se o X do vértice: Xv = -b / (2a) = -20 / (2 * -1) = 10 unidades.

Função quadrática: valor máximo

Qual o lucro máximo em L(x) = -x2 + 20x - 50? Substitui-se Xv = 10 na função: L(10) = -(10^2) + 20(10) - 50 = -100 + 200 - 50 = 50.

Equação de 2º grau: raízes (Bhaskara)

Quando a trajetória de um projétil atinge o solo: -t2 + 5t = 0? Fatora-se: t(-t + 5) = 0. Raízes: t = 0 (lançamento) e t = 5 segundos (retorno ao solo).

Função exponencial: crescimento

Cultura inicia com 100 bactérias e dobra a cada hora: N(t) = 100 * 2^t. Quantas após 4h? N(4) = 100 * 2^4 = 100 * 16 = 1 600 bactérias.

Logaritmos: cálculo de tempo

2^t = 32. Quanto vale t? Fatora-se 32 = 2^5. Logo, 2^t = 2^5 implica que t = 5.

Logaritmo na base 10 e propriedades

Se log 2 = 0,30, qual o valor de log 20? Usa-se log(a * b) = log a + log b: log(2 * 10) = log 2 + log 10 = 0,30 + 1 = 1,30.

Progressão Aritmética (PA): termo geral

Fileiras de cadeiras: 1ª tem 10, 2ª tem 14, 3ª tem 18. Cadeiras na 20ª? an = a1 + (n - 1)r. a20 = 10 + (19 * 4) = 10 + 76 = 86 cadeiras.

Soma dos termos de uma PA

Guardar R$ 5 na semana 1, R$ 10 na 2, até R$ 50 na 10. Total acumulado? S = (a1 + an)*n / 2 = (5 + 50)*10 / 2 = 55 * 5 = R$ 275.

Progressão Geométrica (PG): termo geral

Prêmio dobra a cada rodada: 1ª = 3, 2ª = 6, 3ª = 12. Valor na 6ª rodada? an = a1 * q^(n-1). a6 = 3 * 2^(6-1) = 3 * 32 = 96.

Área de triângulo qualquer

Canteiro triangular com base 8 m e altura 5 m. Qual a área? A = (base * altura) / 2 = (8 * 5) / 2 = 40 / 2 = 20 m2.

Área do triângulo equilátero

Placa triangular regular com lado de 6 cm. Área? A = (L2 * raiz(3)) / 4. A = (36 * raiz(3)) / 4 = 9*raiz(3) cm2.

Teorema de Pitágoras

Escada encostada na parede a 3 m do pé e altura de 4 m. Comprimento da escada? c2 = a2 + b2 -> c2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 -> c = 5 m.

Área do retângulo e do quadrado

Piso retangular de 4 m por 6 m precisa de lajotas quadradas de 0,5 m de lado. Quantas lajotas? Área piso = 24 m2. Área lajota = 0,25 m2. Quantidade = 24 / 0,25 = 96 lajotas.

Área do trapézio

Lote em forma de trapézio com bases 10 m e 16 m e profundidade 8 m. Área? A = (B + b) * h / 2 = (16 + 10) * 8 / 2 = 26 * 4 = 104 m2.

Comprimento da circunferência

Roda de bicicleta tem raio 30 cm (use pi = 3). Distância percorrida em 1 volta? C = 2 * pi * r = 2 * 3 * 30 = 180 cm (1,8 m).

Área do círculo

Praça circular tem raio 10 m (considere pi = 3,14). Área ocupada? A = pi * r2 = 3,14 * 10^2 = 3,14 * 100 = 314 m2.

Trigonometria no triângulo retângulo: seno

Rampa inclinada a 30° com 10 m de comprimento. Altura atingida? sen(30°) = oposto / hipotenusa -> 0,5 = h / 10 -> h = 5 m.

Trigonometria no triângulo retângulo: cosseno

Cabo esticado de 20 m forma 60° com o solo horizontal. Distância da base? cos(60°) = adjacente / hipotenusa -> 0,5 = x / 20 -> x = 10 m.

Trigonometria no triângulo retângulo: tangente

A 12 m de um poste, olha-se o topo em ângulo de 45°. Altura do poste? tg(45°) = h / 12. Como tg(45°) = 1, temos 1 = h / 12 -> h = 12 m.

Volume do paralelepípedo

Piscina com 5 m de comprimento, 3 m de largura e 2 m de profundidade. Capacidade em litros? V = 5 * 3 * 2 = 30 m3. Multiplicando por 1 000 = 30 000 litros.

Volume do cubo

Caixa d'água cúbica com aresta de 1,2 m. Volume total? V = a3 = 1,2^3 = 1,728 m3 (ou 1 728 L).

Volume do cilindro

Reservatório cilíndrico com raio da base 2 m e altura 5 m (pi = 3). Volume? V = pi * r2 * h = 3 * (2^2) * 5 = 3 * 4 * 5 = 60 m3.

Área lateral do cilindro

Rótulo que envolve lata de 4 cm de raio e 10 cm de altura (pi = 3,1). Alateral = 2 * pi * r * h = 2 * 3,1 * 4 * 10 = 248 cm2.

Volume do cone

Casquinha de sorvete de raio 3 cm e altura 10 cm (pi = 3). Volume? V = (pi * r2 * h) / 3 = (3 * 9 * 10) / 3 = 90 cm3.

Volume da pirâmide

Pirâmide de base quadrada com lado 6 m e altura 5 m. Volume? V = (Abase * h) / 3 = (6^2 * 5) / 3 = (36 * 5) / 3 = 60 m3.

Volume da esfera

Bola de raio 3 cm (considere pi = 3,14). Volume? V = (4/3) * pi * r3 = (4/3) * 3,14 * 27 = 4 * 3,14 * 9 = 113,04 cm3.

Princípio Fundamental da Contagem (PFC)

Cardápio oferece 3 entradas, 4 pratos principais e 2 sobremesas. Quantas refeições possíveis? Multiplica-se as opções: 3 * 4 * 2 = 24 opções distintas.

Permutação simples

De quantas maneiras 5 pessoas podem formar uma fila? Calcula-se P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 maneiras.

Combinação simples

Escolher uma comissão de 3 alunos entre 5 candidatos. Total de grupos? C(5,3) = 5! / (3! * 2!) = (5 * 4) / 2 = 10 comissões (ordem não importa).

Arranjo simples

Disputa de corrida com 8 atletas para ouro e prata. Possibilidades? A(8,2) = 8! / 6! = 8 * 7 = 56 pódios distintos (a ordem dos colocados importa).

Probabilidade clássica simples

Qual a chance de sair um número primo ao rolar um dado comum (1 a 6)? Primos: {2, 3, 5} (3 casos). Total: 6. P = 3/6 = 1/2 = 50%.

Probabilidade da união de eventos

Retirar carta de baralho de 52 cartas: ser Rei ou de Copas? P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(interseção) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13.

Probabilidade condicional

Em urna com 4 bolas azuis e 6 vermelhas, qual a chance da 2ª ser azul se a 1ª foi vermelha (sem reposição)? Sobram 9 bolas no total, 4 azuis: P = 4/9.

Geometria Analítica: distância entre dois pontos

Distância entre A(1, 2) e B(4, 6)? d = raiz((4 - 1)^2 + (6 - 2)^2) = raiz(3^2 + 4^2) = raiz(9 + 16) = raiz(25) = 5 unidades.