Matemática: Razão, Proporção e Financeira

Cartões · 50

O que é uma razão matemática?

É a comparação entre duas grandezas por meio de uma divisão: a/b (com b ≠ 0). Exemplo: 12 alunos para 4 mesas = razão 12/4 = 3 alunos por mesa.

O que é uma proporção?

É a igualdade entre duas razões: a/b = c/d. A propriedade fundamental diz que o produto dos extremos é igual ao produto dos meios: a · d = b · c.

Problema: Se 3 cadernos custam R$ 15, quanto custam 7 cadernos?

Monta-se a proporção 3/15 = 7/x. Multiplicando cruzado: 3x = 105, logo x = 105/3 = R$ 35.

O que são grandezas diretamente proporcionais?

São grandezas em que o aumento de uma gera o aumento da outra na mesma proporção. Exemplo: dobro de trabalho executado gera o dobro de receita recebida.

O que são grandezas inversamente proporcionais?

São grandezas em que o aumento de uma gera a redução da outra na mesma proporção. Seu produto é constante: x · y = k. Exemplo: velocidade e tempo.

Problema: Um carro a 60 km/h gasta 4 horas. Quanto gastará a 80 km/h?

Grandezas inversas: 60 · 4 = 80 · t -> 240 = 80t -> t = 240/80 = 3 horas.

O que é escala numérica?

Razão entre a medida no desenho (d) e a medida real (R), na mesma unidade: E = d / R.

Problema: Em escala 1:50.000, 4 cm no mapa equivalem a quantos quilômetros?

Real = 4 cm · 50.000 = 200.000 cm. Convertendo para metros: 2.000 m. Convertendo para quilômetros: 2 km.

Como dividir 120 em partes proporcionais a 2 e 3?

Soma das partes: 2 + 3 = 5. Valor da cota unitária: 120 / 5 = 24. Primeira parte: 2 · 24 = 48. Segunda parte: 3 · 24 = 72.

Como dividir 90 em partes inversamente proporcionais a 2 e 4?

Inversos: 1/2 e 1/4. mmc = 4 -> 2/4 e 1/4. Proporcional a 2 e 1. Soma: 3. Cota: 90 / 3 = 30. Partes: 2 · 30 = 60 e 1 · 30 = 30.

Regra de três composta: 4 operários fazem 80m em 5 dias. 6 operários em 10 dias farão quanto?

Metros é direto a operários e dias: 80/x = (4/6) · (5/10) = 20/60 = 1/3. Logo, x = 80 · 3 = 240 metros.

O que caracteriza a semelhança de triângulos?

Dois triângulos são semelhantes se possuem ângulos correspondentes congruentes e lados homólogos proporcionais.

Caso de Semelhança AA (Ângulo-Ângulo)

Se dois triângulos possuem dois ângulos internos respectivamente congruentes, então eles são semelhantes.

Problema: Triângulo com lados 3, 4, 5 é semelhante a outro com menor lado 9. Quais os outros lados?

Razão de semelhança k = 9/3 = 3. Os outros lados medem: 4 · 3 = 12 e 5 · 3 = 15.

Teorema de Tales: definição

Um feixe de retas paralelas determina sobre retas transversais segmentos proporcionais: AB/BC = DE/EF.

Problema: Tales com transversais cortadas por paralelas: 6/x = 9/12. Quanto vale x?

Multiplicando em cruz: 9x = 6 · 12 -> 9x = 72 -> x = 72/9 = 8.

Razão entre áreas de figuras semelhantes

A razão entre as áreas de duas figuras semelhantes é o quadrado da razão de semelhança: A1/A2 = k².

Problema: Dois quadrados têm lados 2 cm e 6 cm. Qual a razão entre suas áreas?

Razão linear k = 6/2 = 3. Razão entre as áreas: k² = 3² = 9. A área do maior é 9 vezes a do menor.

Razão entre volumes de sólidos semelhantes

A razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes é o cubo da razão de semelhança linear: V1/V2 = k³.

Problema: O raio de uma esfera dobra. O que acontece com seu volume?

Razão linear k = 2. A razão entre volumes é k³ = 2³ = 8. O volume se torna 8 vezes maior.

Problema da sombra: Poste projeta 6m e uma vara de 1m projeta 1,5m. Altura do poste?

Semelhança de triângulos: h / 1 = 6 / 1,5 -> h = 6 / 1,5 = 4 metros.

Fórmula do cálculo de porcentagem simples

P = (taxa / 100) · Valor Total. Exemplo: 15% de 200 = 0,15 · 200 = 30.

Fator de aumento percentual

Para aumentar um valor em i%, multiplica-se pelo fator F = 1 + i. Exemplo: aumento de 20% -> F = 1,20.

Fator de desconto percentual

Para reduzir um valor em i%, multiplica-se pelo fator F = 1 - i. Exemplo: desconto de 15% -> F = 0,85.

Problema: Produto de R$ 80 sofreu aumento de 25%. Qual o novo preço?

Fator = 1 + 0,25 = 1,25. Novo preço = 80 · 1,25 = R$ 100.

Problema: Calça de R$ 200 com 30% de desconto. Qual o preço final?

Fator = 1 - 0,30 = 0,70. Preço final = 200 · 0,70 = R$ 140.

Aumentos sucessivos de 10% e 20% equivalem a qual aumento único?

Fator conjunto: 1,10 · 1,20 = 1,32. Subtraindo 1: 0,32, correspondendo a um aumento único de 32%.

Descontos sucessivos de 10% e 10% equivalem a qual desconto único?

Fator conjunto: 0,90 · 0,90 = 0,81. Desconto real = 1 - 0,81 = 0,19 ou 19% (e não 20%).

Fórmula dos juros simples

J = C · i · t, onde C é o capital inicial, i a taxa de juros e t o tempo de aplicação (i e t na mesma unidade de tempo).

Fórmula do montante em juros simples

M = C + J = C · (1 + i · t).

Problema: Capital de R$ 1.000 a 2% ao mês em juros simples por 5 meses. Juros e montante?

J = 1.000 · 0,02 · 5 = R$ 100. Montante M = 1.000 + 100 = R$ 1.100.

Fórmula dos juros compostos (montante)

M = C · (1 + i)^t, onde C é o capital, i é a taxa unitária e t é o período de capitalização.

Fórmula dos juros em regime composto

J = M - C = C · [(1 + i)^t - 1].

Problema: R$ 2.000 a juros compostos de 10% ao ano durante 2 anos. Qual o montante?

M = 2.000 · (1 + 0,10)² = 2.000 · 1,21 = R$ 2.420.

Qual a diferença conceitual entre juros simples e compostos?

No juro simples a taxa incide sempre sobre o capital inicial. No juro composto a taxa incide sobre o saldo acumulado (juro sobre juro).

O que é taxa proporcional no regime simples?

São taxas proporcionais no tempo: uma taxa de 2% ao mês equivale a 24% ao ano (2% · 12).

O que é taxa equivalente no regime composto?

Taxas que geram o mesmo montante no mesmo período: (1 + i_ano) = (1 + i_mes)^12.

Problema: Qual a taxa semestral equivalente a 10% no primeiro e 10% no segundo trimestre?

Fator semestral = (1 + 0,10)² = 1,21. Taxa equivalente = 21% ao semestre.

O que é taxa nominal vs taxa efetiva?

Taxa nominal declara período diferente da capitalização (ex: 12% a.a. capitalizados mensalmente). A taxa efetiva reflete o juro real do período.

O que é inflação e poder de compra?

Inflação é a elevação contínua dos preços. Reduz o poder de compra: Poder de compra = 1 / (1 + inflação).

Fórmula de Fisher (taxa real, nominal e inflação)

(1 + i_nominal) = (1 + i_real) · (1 + inflação). Aproximação linear: i_real ≈ i_nominal - inflação.

Problema: Aplicação rendeu 12% ao ano com inflação de 5%. Qual a taxa real exata?

(1 + i_real) = 1,12 / 1,05 ≈ 1,0667. Taxa real = 6,67% ao ano.

Lucro sobre o custo vs Lucro sobre a venda

Margem sobre custo: L / Custo. Margem sobre venda: L / Preço de Venda. Venda = Custo + Lucro.

Problema: Custo R$ 80, venda R$ 100. Qual o lucro sobre o custo e sobre a venda?

Lucro = 20. Sobre custo: 20/80 = 25%. Sobre venda: 20/100 = 20%.

Problema: Preço passou de R$ 50 para R$ 65. Qual foi a variação percentual?

Variação = (65 - 50) / 50 = 15 / 50 = 0,30, ou seja, aumento de 30%.

O que é desconto comercial (por fora) simples?

Calculado sobre o valor nominal (futuro) N do título: D = N · d · t. O valor líquido recebido é V = N - D.

Problema: Título de R$ 1.000 descontado a 3% ao mês por 2 meses (desconto simples por fora).

D = 1.000 · 0,03 · 2 = R$ 60. Valor presente recebido: 1.000 - 60 = R$ 940.

O que é desconto racional (por dentro) simples?

Calculado sobre o valor atual V do título: N = V · (1 + i · t), ou seja, D = N - V.

Triângulos semelhantes: altura homóloga

A razão entre as alturas homólogas de triângulos semelhantes é igual à razão de semelhança dos lados: h1/h2 = k.

Problema: Triângulo base 8 e altura 6. Um semelhante tem base 12. Qual sua altura?

Razão k = 12/8 = 1,5. Nova altura: 6 · 1,5 = 9.