Potenciação e Radiciação
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Estudo das propriedades da potenciação, radiciação e suas operações, destinado a estudantes.
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- Produto de potências de mesma base
- a^m * a^n = a^(m + n). Conserva-se a base e somam-se os expoentes.
- Divisão de potências de mesma base
- a^m / a^n = a^(m - n) (com a ≠ 0). Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.
- Potência de uma potência
- (a^m)^n = a^(m * n). Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.
- Potência de um produto
- (a * b)^n = a^n * b^n. Eleva-se cada um dos fatores ao expoente comum.
- Potência de um quociente
- (a / b)^n = a^n / b^n (com b ≠ 0). Eleva-se o numerador e o denominador ao expoente.
- Expoente zero
- a^0 = 1 (para todo a ≠ 0). Qualquer número não nulo elevado a zero resulta em 1.
- Indeterminação com expoente zero
- 0^0 é uma indeterminação matemática. Não possui valor numérico definido de forma única.
- Expoente negativo
- a^(-n) = 1 / (a^n) (com a ≠ 0). Inverte-se a base e troca-se o sinal do expoente.
- Fração com expoente negativo
- (a / b)^(-n) = (b / a)^n (com a, b ≠ 0). Inverte-se a fração e torna-se o expoente positivo.
- Expoente fracionário
- a^(m / n) = raiz n-ésima de (a^m). O numerador vira expoente do radicando e o denominador vira índice.
- Formato padrão da Notação Científica
- N * 10^k, onde 1 ≤ |N| < 10 e k é um número inteiro. Usada para representar números muito grandes ou pequenos.
- Notação científica: expoente positivo
- 10^k com k > 0 indica que a vírgula foi deslocada k casas para a esquerda, representando números ≥ 10.
- Notação científica: expoente negativo
- 10^(-k) com k > 0 indica deslocamento da vírgula k casas para a direita, para valores entre 0 e 1.
- Multiplicação em notação científica
- (a * 10^x) * (b * 10^y) = (a * b) * 10^(x + y). Multiplicam-se os coeficientes e somam-se os expoentes.
- Divisão em notação científica
- (a * 10^x) / (b * 10^y) = (a / b) * 10^(x - y). Dividem-se os coeficientes e subtraem-se os expoentes.
- Radical de um produto
- raiz n-ésima de (a * b) = (raiz n-ésima de a) * (raiz n-ésima de b). A raiz do produto é o produto das raízes.
- Radical de um quociente
- raiz n-ésima de (a / b) = (raiz n de a) / (raiz n de b) (b > 0). A raiz do quociente é o quociente das raízes.
- Raiz de uma raiz
- raiz m-ésima de (raiz n-ésima de a) = raiz (m * n)-ésima de a. Multiplicam-se os índices dos radicais.
- Simplificação do índice e expoente
- raiz n-ésima de (a^m) = raiz (n / p)-ésima de (a^(m / p)). Pode-se dividir índice e expoente pelo mesmo valor p.
- Radical com índice igual ao expoente (índice ímpar)
- raiz n-ésima de (a^n) = a, quando n é ímpar. O resultado preserva o sinal de a.
- Radical com índice igual ao expoente (índice par)
- raiz n-ésima de (a^n) = |a|, quando n é par. O resultado é sempre não negativo (valor absoluto).
- Introdução de fator no radical
- a * (raiz n-ésima de b) = raiz n-ésima de (a^n * b). Eleva-se o fator externo ao índice do radical.
- Extração de fatores do radical
- raiz n-ésima de (a^n * b) = a * (raiz n-ésima de b). Fatores com expoente igual ao índice saem do radicando.
- Soma e subtração de radicais semelhantes
- x * raiz(a) + y * raiz(a) = (x + y) * raiz(a). Só é possível somar radicais com mesmo índice e radicando.
- Multiplicação de radicais com índices diferentes
- Reduzem-se os radicais ao mesmo índice calculando o MMC dos índices antes de multiplicar os radicandos.
- Racionalização: denominador com raiz quadrada simples
- 1 / raiz(a) = raiz(a) / a. Multiplica-se numerador e denominador pelo fator racionalizante raiz(a).
- Racionalização: denominador com raiz n-ésima
- 1 / raiz n-ésima de (a^k) = raiz n-ésima de (a^(n - k)) / a. Completa-se o expoente do radicando até o valor n.
- Racionalização: soma no denominador (raiz(a) + raiz(b))
- Multiplica-se pelo conjugado: raiz(a) - raiz(b), aplicando o produto notável (x + y)(x - y) = x^2 - y^2.
- Racionalização: diferença no denominador (raiz(a) - raiz(b))
- Multiplica-se pelo conjugado: raiz(a) + raiz(b), resultando no denominador a - b.
- Radicando negativo com índice par
- raiz n-ésima de (-a) não pertence aos números reais se n for par. A raiz só existe no conjunto dos complexos.
- Radicando negativo com índice ímpar
- raiz n-ésima de (-a) = - raiz n-ésima de (a) para n ímpar. A raiz existe e pertence aos números reais.
- Base negativa e expoente par
- (-a)^n = a^n se n for par. Atenção: -a^n = -(a^n), o sinal só é elevado se estiver entre parênteses.
- Base negativa e expoente ímpar
- (-a)^n = -(a^n) se n for ímpar. Toda potência de base negativa elevada a expoente ímpar é negativa.