Razão e Proporção

Cartões · 51

O que é razão?

É o quociente ou comparação por divisão entre duas grandezas a e b, expresso por a/b (com b diferente de zero).

Termos de uma razão (a/b)

O numerador a é chamado de antecedente e o denominador b é chamado de consequente.

O que é proporção?

É a igualdade entre duas razões equivalentes: a/b = c/d.

Termos de uma proporção (a/b = c/d)

Os termos a e d são os extremos; os termos b e c são os meios.

Propriedade fundamental das proporções

O produto dos extremos é igual ao produto dos meios: se a/b = c/d, então a · d = b · c.

Constante de proporcionalidade (k)

É o valor constante obtido pela divisão dos termos correspondentes: a/b = k.

Razão inversa

A razão inversa de a/b é b/a, sendo a e b diferentes de zero.

Terceira proporcional

Em uma proporção contínua a/b = b/x, o termo x é a terceira proporcional entre a e b.

Quarta proporcional

Em uma proporção a/b = c/x, o termo x é a quarta proporcional entre a, b e c.

Média proporcional (ou geométrica)

Em a/b = b/c, o valor b é a média proporcional, dado por b = raiz quadrada de (a · c).

Grandezas diretamente proporcionais

Duas grandezas cuja razão entre valores correspondentes é constante: y/x = k (quando uma dobra, a outra dobra).

Grandezas inversamente proporcionais

Duas grandezas cujo produto entre valores correspondentes é constante: x · y = k (quando uma dobra, a outra reduz à metade).

Gráfico de grandezas diretamente proporcionais

É uma reta que passa pela origem dos eixos cartesianos (0,0).

Gráfico de grandezas inversamente proporcionais

É uma curva chamada hipérbole equilátera no primeiro quadrante.

Soma dos termos em proporções

Se a/b = c/d, então (a + b)/b = (c + d)/d e (a + b)/a = (c + d)/c.

Diferença dos termos em proporções

Se a/b = c/d, então (a - b)/b = (c - d)/d e (a - b)/a = (c - d)/c.

Soma de antecedentes e consequentes

Se a/b = c/d = e/f = k, então (a + c + e)/(b + d + f) = k.

Regra de três simples direta

Método para achar um quarto valor quando duas grandezas variam no mesmo sentido (a1/b1 = a2/b2).

Regra de três simples inversa

Método para achar um quarto valor quando duas grandezas variam em sentidos opostos (a1 · b1 = a2 · b2).

Regra de três composta

Processo de cálculo que envolve três ou mais grandezas direta ou inversamente proporcionais.

Divisão proporcional direta

Partição de um valor N em partes diretamente proporcionais a p1, p2: cada parte x_i vale N · (p_i / soma dos p).

Divisão proporcional inversa

Partição de um valor em partes inversamente proporcionais a p1, p2: divide-se de forma direta pelos inversos (1/p1, 1/p2).

Velocidade média (razão)

Razão entre a distância percorrida e o tempo gasto: v = Delta s / Delta t.

Densidade demográfica (razão)

Razão entre o número de habitantes e a área ocupada: D = População / Área.

Densidade absoluta de um corpo (razão)

Razão entre a massa do corpo e o volume que ocupa: d = m / V.

Escala cartográfica (razão)

Razão entre o comprimento no desenho (d) e o comprimento real (R): E = d / R (nas mesmas unidades).

Escala linear vs. Escala de área

A razão entre áreas de figuras semelhantes é o quadrado da escala linear: Razão de Áreas = E².

Escala linear vs. Escala de volume

A razão entre volumes de sólidos semelhantes é o cubo da escala linear: Razão de Volumes = E³.

Porcentagem como razão

É uma razão centesimal cujo denominador é igual a 100 (p% = p/100).

Frações equivalentes

Frações que representam a mesma razão numérica, obtidas multiplicando ou dividindo termos pelo mesmo número não nulo.

Proporção contínua

Proporção cujos termos médios são iguais: a/b = b/c.

Permutação dos extremos

Se a/b = c/d, então d/b = c/a continua sendo uma proporção verdadeira.

Permutação dos meios

Se a/b = c/d, então a/c = b/d continua sendo uma proporção verdadeira.

Inversão de uma proporção

Se a/b = c/d, então b/a = d/c continua sendo uma proporção verdadeira.

Vazão volumétrica (razão)

Razão entre o volume de fluido escoado e o tempo decorrido: Q = V / t.

Consumo médio de combustível (razão)

Razão entre a distância total percorrida e a quantidade de combustível consumida: C = km / L.

Rendimento ou eficiência (razão)

Razão entre a quantidade de energia útil obtida e a energia total fornecida: eta = E_util / E_total.

Concentração comum de uma solução

Razão entre a massa do soluto e o volume total da solução: C = m / V (expressa em g/L).

Teorema de Tales (proporcionalidade)

Feixes de retas paralelas cortadas por transversais determinam segmentos correspondentes proporcionais: AB/BC = A'B'/B'C'.

Semelhança de triângulos

Dois triângulos são semelhantes se os ângulos correspondentes são congruentes e os lados homólogos proporcionais.

Razão áurea (número de ouro)

Razão que divide um segmento tal que o todo está para a parte maior assim como esta está para a menor: phi = (1 + raiz(5))/2 ≈ 1,618.

Taxa de variação média

Razão entre a variação de uma variável dependente e a de uma variável independente: Delta y / Delta x.

Juros simples e proporcionalidade

No regime simples, o valor dos juros é diretamente proporcional ao capital aplicado, à taxa e ao tempo: J = C · i · t.

Divisão mista (direta e inversa simultaneamente)

Divide-se o valor proporcionalmente ao produto do índice direto pelo inverso do índice correspondente: p_direto / p_inverso.

Média harmônica

Inverso da média aritmética dos inversos dos valores, ligada a problemas de grandezas inversamente proporcionais.

Razão entre perímetros de figuras semelhantes

A razão entre os perímetros de duas figuras semelhantes é exatamente igual à razão de semelhança k.

Produto de proporções

Se a/b = c/d e e/f = g/h, então (a · e)/(b · f) = (c · g)/(d · h).

Potenciação de proporções

Se a/b = c/d, então (a^n)/(b^n) = (c^n)/(d^n) para qualquer expoente natural n.

Grandezas comensuráveis

Grandezas cuja razão entre si resulta em um número racional (m/n).

Grandezas incomensuráveis

Grandezas cuja razão resulta em um número irracional (como a diagonal e o lado de um quadrado: raiz de 2).

Fórmula do tempo conjunto em torneiras

Com duas torneiras enchendo um tanque: 1/T_total = 1/T1 + 1/T2 (soma das razões de vazão).