Razão, Proporção e Regra de Três

Cartões · 52

O que é Razão?

Comparação quantitativa entre duas grandezas por meio de quociente: R = a / b, com b diferente de zero.

Termos de uma Razão (a / b)

O numerador 'a' é chamado de antecedente e o denominador 'b' é chamado de consequente.

Razão Inversa

Inversão dos termos da razão original: se a razão direta é a / b, sua inversa é b / a.

O que é Proporção?

Igualdade formal entre duas razões equivalentes: a / b = c / d (lê-se 'a está para b assim como c está para d').

Termos de uma Proporção (a / b = c / d)

'a' e 'd' são chamados de extremos; 'b' e 'c' são chamados de meios.

Propriedade Fundamental das Proporções

O produto dos extremos é igual ao produto dos meios: a / b = c / d equivale a a * d = b * c.

Constante de Proporcionalidade (k)

Valor fixo obtido da divisão entre grandezas proporcionais: y / x = k (direta) ou x * y = k (inversa).

Grandezas Diretamente Proporcionais (GDP)

Duas grandezas cuja razão é constante: ao multiplicar uma por n, a outra também é multiplicada por n (y / x = k).

Grandezas Inversamente Proporcionais (GIP)

Duas grandezas cujo produto é constante: ao multiplicar uma por n, a outra é dividida por n (x * y = k).

Soma de Antecedentes e Consequentes

Se a / b = c / d, então (a + c) / (b + d) = a / b = c / d (com b + d diferente de zero).

Diferença de Antecedentes e Consequentes

Se a / b = c / d, então (a - c) / (b - d) = a / b = c / d (com b - d diferente de zero).

Soma dos Termos de cada Razão

Se a / b = c / d, então (a + b) / b = (c + d) / d e (a + b) / a = (c + d) / c.

Diferença dos Termos de cada Razão

Se a / b = c / d, então (a - b) / b = (c - d) / d e (a - b) / a = (c - d) / c.

Quarta Proporcional

O quarto valor 'x' que completa uma proporção entre três números dados: a / b = c / x, logo x = (b * c) / a.

Terceira Proporcional

O terceiro valor 'x' em uma proporção contínua: a / b = b / x, logo x = b² / a.

Média Geométrica (Média Proporcional)

Valor 'b' positivo que satisfaz a proporção contínua a / b = b / c, calculado por b = raiz quadrada de (a * c).

Escala Cartográfica

Razão entre a medida no desenho (d) e a medida real (D): E = d / D, expressas na mesma unidade.

Escala de Áreas

A razão entre áreas semelhantes é igual ao quadrado da escala linear: Razão das Áreas = E² = (d / D)².

Escala de Volumes

A razão entre volumes de sólidos semelhantes é o cubo da escala linear: Razão dos Volumes = E³ = (d / D)³.

Velocidade Média como Razão

Razão entre a variação do espaço percorrido (Δs) e o intervalo de tempo gasto (Δt): Vm = Δs / Δt.

Densidade Demográfica

Razão entre o número total de habitantes e a área territorial ocupada: D = População / Área.

Densidade Absoluta de um Corpo

Razão entre a massa de uma substância e o volume por ela ocupado: d = m / V.

Vazão Hidráulica

Razão entre o volume escoado de fluido e o tempo necessário para o escoamento: Q = V / t.

Consumo Médio de Combustível

Razão entre a distância percorrida e a quantidade de combustível consumida: Cm = km / Litros.

Regra de Três Simples Direta

Método para achar uma incógnita em grandezas diretamente proporcionais; resolve-se multiplicando cruzado: a*x = b*c.

Regra de Três Simples Inversa

Método para grandezas inversamente proporcionais; resolve-se multiplicando em linha reta: a*b = c*x.

Regra de Três Composta

Processo para relacionar 3 ou mais grandezas, igualando a razão da incógnita ao produto das demais razões ajustadas.

Método das Flechas (Regra de Três)

Atribui-se flecha à incógnita; grandezas diretas recebem flecha no mesmo sentido e inversas em sentido oposto.

Divisão em Partes Diretamente Proporcionais

Distribuir N proporcional a p1, p2: calcula-se k = N / (p1 + p2); cada parte é dada por parte_i = k * pi.

Divisão em Partes Inversamente Proporcionais

Equivale a dividir N diretamente pelo inverso dos números: converte-se em 1/p1, 1/p2 e calcula-se a constante k.

Divisão Proporcional Composta (Mista)

Dividir N direta a (a, b) e inversa a (c, d): divide-se diretamente pelos produtos (a * 1/c) e (b * 1/d).

Média Aritmética Simples

Soma de todos os valores dividida pela quantidade total de elementos: M = (x1 + x2 + ... + xn) / n.

Média Aritmética Ponderada

Soma dos produtos dos valores por seus respectivos pesos dividida pela soma dos pesos: Mp = Σ(xi * pi) / Σpi.

Média Harmônica

Inverso da média aritmética dos inversos dos valores: H = n / (1/x1 + 1/x2 + ... + 1/xn).

Razão Áurea (Número de Ouro)

Proporção onde (a + b) / a = a / b = φ; o valor algébrico exato é φ = (1 + raiz quadrada de 5) / 2 ≈ 1,618.

Porcentagem como Razão Centesimal

Toda razão cujo consequente (denominador) é igual a 100: p% = p / 100.

Problema: Escala 1:50000 com d = 4 cm

D = d * 50000 = 4 cm * 50000 = 200000 cm = 2000 m = 2 km.

Problema: 5 operários constroem muro em 12 dias. Quantos dias levam 10 operários?

Grandezas inversas: 5 * 12 = 10 * x -> 60 = 10x -> x = 6 dias.

Problema: 3 maçãs custam R$ 6. Quanto custam 7 maçãs?

Grandezas diretas: 3 / 6 = 7 / x -> 3x = 42 -> x = R$ 14.

Problema: Carro a 60 km/h leva 4 horas. Quanto levará a 80 km/h?

Grandezas inversas: 60 * 4 = 80 * t -> 240 = 80t -> t = 3 horas.

Problema: 2 torneiras enchem tanque em 6h. Quantas torneiras para 4h?

Grandezas inversas: 2 * 6 = n * 4 -> 12 = 4n -> n = 3 torneiras.

Problema: Dividir 120 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3

k = 120 / (2 + 3) = 24. Parte 1 = 2 * 24 = 48; Parte 2 = 3 * 24 = 72.

Problema: Dividir 60 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3

Inversos: 1/2 e 1/3 (base 6: 3/6 e 2/6). Proporção 3 e 2: k = 60 / (3 + 2) = 12. Partes: 36 e 24.

Problema: 6 impressoras fazem 1000 cópias em 20 min. Tempo de 4 impressoras para 1500?

Montagem: 20 / t = (4 / 6) * (1000 / 1500) = (2/3) * (2/3) = 4/9 -> t = (20 * 9) / 4 = 45 minutos.

Problema: Achar a quarta proporcional entre 2, 5 e 8

Armação: 2 / 5 = 8 / x -> 2x = 40 -> x = 20.

Problema: Achar a terceira proporcional entre 4 e 12

Armação: 4 / 12 = 12 / x -> 4x = 144 -> x = 36.

Problema: Média proporcional entre 9 e 16

Armação: 9 / b = b / 16 -> b² = 144 -> b = 12.

Problema: Mistura álcool e água está 3:2. Se há 15L de álcool, quanta água?

3 / 2 = 15 / x -> 3x = 30 -> x = 10 litros de água.

Problema: Idades de dois irmãos estão 4:5. Soma é 36. Idades?

k = 36 / (4 + 5) = 4. Idade do mais novo: 4 * 4 = 16 anos; mais velho: 5 * 4 = 20 anos.

Problema de Torneiras Juntas (1/T)

Fórmula de trabalho conjunto: 1 / T_total = 1 / T1 + 1 / T2. Se T1 = 3h e T2 = 6h: 1/T = 1/3 + 1/6 = 3/6 -> T = 2h.

Teorema de Tales e Proporção

Feixe de retas paralelas cortadas por transversais determina segmentos proporcionais: AB / BC = A'B' / B'C'.

Relação entre Grandezas no Gráfico Cartesiano

Diretamente proporcionais geram semirreta que parte da origem (0,0); inversamente geram ramo de hipérbole.