Замечательные пределы и формулы

Карточки · 52

lim(x→0) sin(x)/x

1. Первый замечательный предел, раскрытие неопределённости 0/0.

lim(x→0) sin(kx)/(kx)

1. Замена t = kx → 0 сводит выражение к виду lim(t→0) sin(t)/t = 1.

lim(x→0) sin(kx)/x

k. Умножаем и делим на k: k · lim(x→0) sin(kx)/(kx) = k · 1 = k.

lim(x→0) tg(x)/x

1. Расписываем tg(x) как sin(x)/cos(x): (sin(x)/x) · (1/cos(x)) → 1 · 1 = 1.

lim(x→0) tg(kx)/x

k. Следствие первого замечательного предела через замену t = kx.

lim(x→0) arcsin(x)/x

1. Замена t = arcsin(x), тогда x = sin(t), при x → 0 t → 0: lim t/sin(t) = 1.

lim(x→0) arcsin(kx)/x

k. Умножаем и делим на k, используя lim(t→0) arcsin(t)/t = 1.

lim(x→0) arctg(x)/x

1. Замена t = arctg(x), x = tg(t): lim t/tg(t) = 1.

lim(x→0) arctg(kx)/x

k. Преобразуем к k · (arctg(kx)/(kx)) → k · 1 = k.

lim(x→0) (1 − cos(x))/x²

1/2. Через формулу 1 − cos(x) = 2·sin²(x/2): 2·(x/2)² / x² = 1/2.

lim(x→0) (1 − cos(kx))/x²

k²/2. Заменяем 1 − cos(kx) ~ (kx)²/2 = k²x²/2, делим на x².

lim(x→∞) (1 + 1/x)^x

e. Второй замечательный предел, раскрытие неопределённости 1^∞.

lim(t→0) (1 + t)^(1/t)

e. Форма второго замечательного предела при замене t = 1/x.

lim(x→0) (1 + x)^(1/x)

e. Базовая форма второго замечательного предела в нуле.

lim(x→∞) (1 + k/x)^x

e^k. Представляем как ((1 + 1/(x/k))^(x/k))^k → e^k.

lim(x→∞) (1 + k/x)^(mx)

e^(km). Степень преобразуется как (km) · (x/k), что даёт e^(km).

lim(x→0) (1 + kx)^(1/x)

e^k. Замена t = kx: ((1 + t)^(1/t))^k → e^k.

lim(x→0) (1 + kx)^(m/x)

e^(km). Замена t = kx приводит выражение к ((1 + t)^(1/t))^(km) → e^(km).

lim(x→0) (a^x − 1)/x

ln(a). Замена a^x − 1 = t, откуда x = ln(1+t)/ln(a); предел равен ln(a).

lim(x→0) (e^x − 1)/x

1. Частный случай показательного предела при a = e: ln(e) = 1.

lim(x→0) (e^(kx) − 1)/x

k. Умножаем и делим на k: k · (e^(kx) − 1)/(kx) → k · 1 = k.

lim(x→0) ln(1 + x)/x

1. Записываем как ln((1 + x)^(1/x)) → ln(e) = 1.

lim(x→0) ln(1 + kx)/x

k. Равно ln((1 + kx)^(1/x)) = ln(e^k) = k.

lim(x→0) log_a(1 + x)/x

1/ln(a). Переход к натуральному логарифму: (ln(1+x)/x) · (1/ln(a)) → 1/ln(a).

lim(x→0) ((1 + x)^a − 1)/x

a. Через e^(a·ln(1+x)) − 1 ~ a·ln(1+x) ~ a·x, деление на x даёт a.

lim(x→0) ((1 + kx)^a − 1)/x

ka. Эквивалентность (1 + kx)^a − 1 ~ a·(kx) = ka·x, делим на x.

lim(x→0) (√(1 + x) − 1)/x

1/2. Частный случай ((1 + x)^a − 1)/x при a = 1/2.

lim(x→0) (∛(1 + x) − 1)/x

1/3. Частный случай ((1 + x)^a − 1)/x при a = 1/3.

Эквивалентность: sin(x) при x → 0

sin(x) ~ x. Следует из lim(x→0) sin(x)/x = 1.

Эквивалентность: tg(x) при x → 0

tg(x) ~ x. Следует из lim(x→0) tg(x)/x = 1.

Эквивалентность: arcsin(x) при x → 0

arcsin(x) ~ x. Следует из lim(x→0) arcsin(x)/x = 1.

Эквивалентность: arctg(x) при x → 0

arctg(x) ~ x. Следует из lim(x→0) arctg(x)/x = 1.

Эквивалентность: 1 − cos(x) при x → 0

1 − cos(x) ~ x²/2. Следует из удвоенного квадрата синуса половинного угла.

Эквивалентность: ln(1 + x) при x → 0

ln(1 + x) ~ x. Следует из lim(x→0) ln(1 + x)/x = 1.

Эквивалентность: e^x − 1 при x → 0

e^x − 1 ~ x. Следует из показательного замечательного предела.

Эквивалентность: a^x − 1 при x → 0

a^x − 1 ~ x · ln(a). Следует из lim(x→0) (a^x − 1)/x = ln(a).

Эквивалентность: (1 + x)^a − 1 при x → 0

(1 + x)^a − 1 ~ a·x. Следует из разложения бинома Тейлора.

Эквивалентность: √(1 + x) − 1 при x → 0

√(1 + x) − 1 ~ x/2. Частный случай формулы для (1 + x)^a − 1 при a = 1/2.

lim(x→∞) a^x при a > 1

∞. Показательная функция с основанием больше 1 неограниченно растёт.

lim(x→∞) a^x при 0 < a < 1

0. Основание меньше единицы убывает к нулю при росте степени.

lim(x→∞) x^n / a^x (a > 1)

0. Показательная функция растёт быстрее любой степенной функции.

lim(x→∞) ln(x)/x

0. Степенная функция x растёт быстрее логарифмической ln(x).

lim(x→∞) x^n / e^x

0. Экспонента растёт быстрее любой степени многочлена.

lim(x→∞) P(x)/Q(x) при deg P < deg Q

0. Знаменатель растёт быстрее числителя.

lim(x→∞) P(x)/Q(x) при deg P = deg Q

Отношение старших коэффициентов. Делим обе части на x^(deg P).

lim(x→∞) P(x)/Q(x) при deg P > deg Q

∞ или −∞. Числитель растёт быстрее, знак зависит от коэффициентов.

Раскрытие 0/0 с корнями √a − √b

Умножить на сопряжённое (√a + √b), используя формулу (√a − √b)(√a + √b) = a − b.

Раскрытие 0/0 с корнями ∛a − ∛b

Домножить на неполный квадрат суммы: ∛a² + ∛a·∛b + ∛b², получая a − b.

Раскрытие неопределённости 1^∞

Ответ = e^(lim (u · v)), где основание f = 1 + u, u → 0, v — показатель степени.

Теорема о двух милиционерах

Если a_n ≤ x_n ≤ b_n и lim a_n = lim b_n = L, то lim x_n = L.

Предел: бесконечно малая × ограниченная

0. Произведение функции, стремящейся к 0, на ограниченную равно 0.

Неопределённость ∞ − ∞ с логарифмами

Свернуть разность в один логарифм частного: ln(a) − ln(b) = ln(a/b).