Combinatória e Probabilidade

Cartões · 50

Princípio Fundamental da Contagem: 3 camisas e 2 calças

Multiplica-se as possibilidades de cada etapa: 3 x 2 = 6 formas diferentes de se vestir.

Fatorial de um número (n!): Calcular 5!

Multiplica-se o número por seus antecessores até 1: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.

Definição de 0! (Fatorial de zero)

Por convenção e coerência matemática com a fórmula n! = n x (n-1)!, temos que 0! = 1.

Permutação Simples: De quantas formas 4 pessoas posam em fila?

Aplica-se P(n) = n!. Para 4 pessoas: P(4) = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 maneiras.

Permutação com Repetição: Anagramas da palavra BABA

Total de 4 letras com 2 As e 2 Bs. P(4; 2,2) = 4! / (2! x 2!) = 24 / 4 = 6 anagramas.

Permutação com Repetição: Anagramas da palavra CASA

Total de 4 letras com a repetição da letra A (2 vezes). P(4; 2) = 4! / 2! = 24 / 2 = 12 anagramas.

Permutação Circular: 5 crianças brincando de roda

Fórmula: PC(n) = (n - 1)!. Para 5 crianças: PC(5) = (5 - 1)! = 4! = 24 formas.

Arranjo Simples: 5 atletas disputam ouro, prata e bronze

A ordem importa. A(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 5! / 2! = 5 x 4 x 3 = 60 pódios possíveis.

Arranjo Simples: Quantos números de 2 dígitos distintos usando {1, 2, 3}?

A(3, 2) = 3! / (3 - 2)! = 3! / 1! = 3 x 2 = 6 números possíveis.

Combinação Simples: Escolher 3 membros de um grupo de 5

A ordem não importa. C(5, 3) = 5! / (3! x 2!) = (5 x 4) / 2 = 10 comissões possíveis.

Combinação Simples: Quantas diagonais tem um octógono regular (8 vértices)?

Ligam-se 2 pontos menos os 8 lados: C(8, 2) - 8 = (8 x 7 / 2) - 8 = 28 - 8 = 20 diagonais.

Combinação com Repetição: Comprar 3 sorvetes entre 2 sabores disponíveis

Fórmula CR(n, p) = C(n+p-1, p). Para n=2 e p=3: C(4, 3) = 4! / (3! x 1!) = 4 maneiras.

Diferença entre Arranjo e Combinação

No arranjo a ordem dos elementos altera o grupo formado (ex: senhas); na combinação a ordem não altera o grupo (ex: equipes).

Espaço Amostral: Lançamento de dois dados comuns de 6 faces

O total de resultados possíveis do evento é o produto dos lados: 6 x 6 = 36 pares ordenados.

Definição de Probabilidade Teórica (Laplace)

P(E) = n(E) / n(S), onde n(E) é o número de casos favoráveis e n(S) é o total de casos possíveis.

Probabilidade: Sair um número par ao jogar um dado comum

Casos favoráveis {2, 4, 6} = 3; total {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6. P = 3 / 6 = 1 / 2 = 50%.

Probabilidade: Tirar um Ás de um baralho comum de 52 cartas

Existem 4 ases em 52 cartas. P = 4 / 52 = 1 / 13 (aproximadamente 7,69%).

Probabilidade Complementar: Não sair 6 em um dado

P(não A) = 1 - P(A). Como a chance de sair 6 é 1/6, a de não sair é 1 - 1/6 = 5/6 (83,3%).

Probabilidade Complementar: Pelo menos uma cara em 3 moedas

O oposto é obter zero caras (3 coroas): (1/2)^3 = 1/8. Logo, P(pelo menos uma) = 1 - 1/8 = 7/8.

Eventos Mutuamente Exclusivos: Sair 2 ou 5 em um dado

Dois eventos não podem ocorrer juntos. P(2 ou 5) = P(2) + P(5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Regra da Adição (Eventos Não Exclusivos): Sair Par ou Menor que 3 em um dado

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B). P(Par)=3/6, P(<3)=2/6, Interseção {2}=1/6. P = 3/6 + 2/6 - 1/6 = 4/6 = 2/3.

Eventos Independentes: Obter duas caras seguidas em duas moedas

O resultado de um não afeta o outro. P(A e B) = P(A) x P(B) = 1/2 x 1/2 = 1/4 = 25%.

Eventos Dependentes: Retirar 2 ases seguidos sem reposição de 52 cartas

P = (4/52) x (3/51) = (1/13) x (1/17) = 1 / 221 (cerca de 0,45%).

Probabilidade Condicional: Definição da fórmula P(A|B)

Calcula a probabilidade de A dado que B ocorreu: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), com P(B) > 0.

Probabilidade Condicional: Sair 4 num dado, sabendo que o número é par

Casos favoráveis onde ambos ocorrem: {4} = 1. Universo reduzido pelo dado ser par: {2, 4, 6} = 3. P = 1/3.

Distribuição Binomial: Conceito dos parâmetros n, k, p

Fórmula: P(X=k) = C(n, k) x p^k x (1-p)^(n-k), onde n é o total de testes, k os sucessos e p a probabilidade de sucesso.

Distribuição Binomial: Obter exatamente 2 caras em 3 lançamentos de moeda

C(3, 2) x (1/2)^2 x (1/2)^1 = 3 x (1/4) x (1/2) = 3/8 = 37,5%.

Esperança Matemática: Ganhar 10 reais na cara (p=0,5) e perder 5 na coroa

E(X) = (10 x 0,5) + (-5 x 0,5) = 5 - 2,5 = R$ 2,50 de lucro médio esperado por jogada.

Combinação: Formar uma dupla mista com 4 homens e 3 mulheres

Aplica-se o princípio multiplicativo nas escolhas: C(4, 1) x C(3, 1) = 4 x 3 = 12 duplas mistas.

Arranjo com Repetição: Senhas de 3 dígitos formadas com números de 0 a 9

Cada posição possui 10 opções independentes: 10 x 10 x 10 = 10^3 = 1000 senhas.

Princípio das Gavetas de Dirichlet: 5 cartas distribuídas em 4 caixas

Se há mais objetos (5) do que recipientes (4), pelo menos um recipiente conterá 2 ou mais cartas.

Soma dos elementos da linha n do Triângulo de Pascal

A soma de todos os coeficientes binomiais da linha n equivale exatamente a 2^n.

Triângulo de Pascal: Encontrar o valor de C(4, 2)

Corresponde ao elemento da linha 4, coluna 2: C(4, 2) = 4! / (2! x 2!) = (4 x 3) / 2 = 6.

Probabilidade Geométrica: Ponto aleatório num segmento de 10 cm cair nos primeiros 3 cm

Razão de medidas: P = comprimento favorável / comprimento total = 3 / 10 = 30%.

Permutação com Elementos Juntos: 3 amigos em fila, sendo que 2 querem ficar juntos

Trata-se a dupla como 1 bloco: P(2) blocos x permuta interna da dupla P(2) = 2! x 2! = 4 maneiras.

Anagramas com letras fixas: Anagramas de BRASIL que começam com B

Fixa o B na primeira posição e permuta as 5 letras restantes: P(5) = 5! = 120 anagramas.

Probabilidade da União Disjunta: Tirar o número 1 ou um número ímpar > 3 no dado

Conjuntos favoráveis {1} e {5}. Disjuntos, logo P = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Combinação: Quantos apertos de mão ocorrem entre 6 pessoas?

Cada aperto envolve 2 pessoas sem ordem: C(6, 2) = (6 x 5) / 2 = 15 apertos de mão.

Probabilidade: Obter soma 7 ao lançar dois dados

Pares favoráveis: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) = 6 pares. P = 6 / 36 = 1 / 6.

Fatorial simplificado: Calcular 10! / 8!

Expande-se o maior até o menor: (10 x 9 x 8!) / 8! = 10 x 9 = 90.

Teorema de Bayes: Objetivo conceitual

Permite atualizar a probabilidade de uma hipótese com base em novas evidências: P(A|B) = [P(B|A)P(A)] / P(B).

Probabilidade com Urnas: 3 bolas azuis e 2 vermelhas; tirar azul

Casos favoráveis = 3; total de bolas = 5. P(Azul) = 3 / 5 = 60%.

Permutação com Repetição: Anagramas da palavra OVO

3 letras com 2 repetições de O: P(3; 2) = 3! / 2! = 6 / 2 = 3 anagramas (OVO, VOO, OOV).

Probabilidade de Evento Certo e Evento Impossível

A probabilidade de um evento certo é 1 (100%), enquanto a de um evento impossível é 0 (0%).

Combinação: Escolher 2 sabores entre 5 opções sem repetição

C(5, 2) = (5 x 4) / (2 x 1) = 20 / 2 = 10 combinações de sabores.

Soluções inteiras não negativas de x + y = 4

Equivale a permutar 4 unidades e 1 separador: P(5; 4,1) = 5! / 4! = 5 soluções.

Probabilidade: Sair um número primo ao jogar um dado

Primos entre 1 e 6 são {2, 3, 5} (3 números). P = 3 / 6 = 1 / 2 = 50%.

Combinações Complementares: Relação entre C(n, p) e C(n, n-p)

Eles possuem valores iguais. Exemplo: C(10, 8) = C(10, 2) = (10 x 9) / 2 = 45.

Probabilidade: Duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia (paradoxo)

Calcula-se pelo complementar: 1 menos a chance de todos fazerem em dias distintos entre si.

Lançamento de 2 dados: Probabilidade de sair soma igual a 12

Apenas um caso favorável: o par (6, 6). Espaço amostral = 36. Logo, P = 1 / 36.