Matemática - Técnico Bacen

Cartões · 50

Juros Simples: Fórmula do Montante (M)

M = C * (1 + i * t). Exemplo: C = R$ 1.000, i = 2% a.m., t = 5 meses -> M = 1000 * (1 + 0,02 * 5) = R$ 1.100.

Juros Simples: Fórmula dos Juros (J)

J = C * i * t. Exemplo: Para C = R$ 500, i = 10% a.a. e t = 3 anos, J = 500 * 0,10 * 3 = R$ 150 de juros acumulados.

Juros Compostos: Fórmula do Montante

M = C * (1 + i)^t. Exemplo: C = R$ 2.000, i = 10% a.a., t = 2 anos -> M = 2000 * (1,10)^2 = 2000 * 1,21 = R$ 2.420.

Juros Compostos: Cálculo dos Juros

J = M - C. Exemplo: Se o montante final é R$ 2.420 e o capital inicial foi R$ 2.000, o total de juros é J = 2420 - 2000 = R$ 420.

Desconto Comercial Simples (Por Fora)

d = N * i * t. Exemplo: Título de valor nominal N = R$ 1.000 descontado a 5% ao mês por 2 meses -> d = 1000 * 0,05 * 2 = R$ 100.

Valor Atual Comercial (Por Fora)

A = N * (1 - i * t). Exemplo: N = R$ 1.000, i = 5% a.m., t = 2 meses -> A = 1000 * (1 - 0,10) = R$ 900 pago antecipadamente.

Desconto Racional Simples (Por Dentro)

d = (A * i * t) = (N * i * t) / (1 + i * t). Exemplo: N = R$ 1.100, i = 10%, t = 1 período -> d = (1100 * 0,10) / (1 + 0,10) = R$ 100.

Valor Atual Racional Simples

A = N / (1 + i * t). Exemplo: N = R$ 1.200, i = 10% a.m., t = 2 meses -> A = 1200 / (1 + 0,20) = R$ 1.000.

Taxa Efetiva vs. Taxa Nominal

Taxa nominal tem período de capitalização diferente do prazo citado. Ex: 12% a.a. com capitalização mensal = 1% ao mês (taxa efetiva mensal).

Taxas Equivalentes em Juros Compostos

(1 + i_ano) = (1 + i_mes)^12. Exemplo: Se i_mes = 1%, (1 + i_ano) = (1,01)^12 ≈ 1,1268, logo a taxa anual equivalente é de aprox. 12,68%.

Taxas Proporcionais em Juros Simples

i1 / t1 = i2 / t2. Exemplo: 2% ao mês equivale linearmente a 2% * 12 = 24% ao ano no regime de juros simples.

Tabela Price (Sistema Francês)

Prestações constantes, juros decrescentes e amortização crescente. Ex: Parcela fixa de R$ 500; na 1ª parcela, R$ 300 juros e R$ 200 amortização.

Sistema SAC (Amortização Constante)

A = D / n. Prestações e juros decrescentes. Ex: Dívida de R$ 10.000 em 10 meses -> A = R$ 1.000 fixos por mês, com juros caindo a cada mês.

Negação de Proposição Composta: Conjunção (A e B)

~(A ∧ B) ≡ ~A ∨ ~B. Exemplo: A negação de 'Pedro é técnico e estuda' é 'Pedro não é técnico ou Pedro não estuda'.

Negação de Proposição Composta: Disjunção (A ou B)

~(A ∨ B) ≡ ~A ∧ ~B. Exemplo: A negação de 'Vou ao banco ou viajo' é 'Não vou ao banco e não viajo'.

Negação do Condicional: Se A então B

~(A -> B) ≡ A ∧ ~B. 'Mantém a primeira e nega a segunda'. Exemplo: A negação de 'Se chove, fico em casa' é 'Chove e não fico em casa'.

Equivalência do Condicional: Contrapositiva

(A -> B) ≡ (~B -> ~A). Exemplo: 'Se estudo, passo' equivale logicamente a 'Se não passei, então não estudei'.

Equivalência do Condicional com Disjunção

(A -> B) ≡ ~A ∨ B. Exemplo: 'Se compro dólares, invisto' equivale a 'Não compro dólares ou invisto'.

Negação de Todo (Quantificador Universal)

Negação de 'Todo A é B' é 'Pelo menos um A não é B'. Exemplo: A negação de 'Todo servidor é estável' é 'Existe servidor que não é estável'.

Negação de Nenhum

Negação de 'Nenhum A é B' é 'Pelo menos um A é B'. Exemplo: A negação de 'Nenhum banco fechou' é 'Algum banco fechou'.

Negação de Algum / Existe

Negação de 'Algum A é B' é 'Nenhum A é B'. Exemplo: A negação de 'Alguma taxa subiu' é 'Nenhuma taxa subiu' (ou 'Toda taxa não subiu').

Tabela-Verdade: Conjunção (E)

V apenas quando ambas forem verdadeiras. Exemplo: Se A é Verdadeiro e B é Falso, 'A e B' resulta em Falso.

Tabela-Verdade: Disjunção Inclusiva (OU)

F apenas quando ambas forem falsas. Exemplo: Se A é Falso e B é Verdadeiro, 'A ou B' resulta em Verdadeiro.

Tabela-Verdade: Condicional (Se... então)

F apenas quando V -> F (Vera Fischer é Falsa). Exemplo: Se a premissa é Falsa e a conclusão é Verdadeira, o condicional é Verdadeiro.

Tabela-Verdade: Bicondicional (Se e somente se)

V quando os valores lógicos forem iguais (V-V ou F-F). Exemplo: Se A é Falso e B é Falso, 'A <-> B' resulta em Verdadeiro.

Tabela-Verdade: Disjunção Exclusiva (OU... OU)

V quando os valores lógicos forem diferentes. Exemplo: Se A é Verdadeiro e B é Verdadeiro, 'Ou A ou B' resulta em Falso.

Princípio da Casa dos Pombos

Se n+1 pombos entram em n casas, ao menos uma casa tem ≥ 2 pombos. Ex: Em um grupo de 13 pessoas, ao menos 2 fazem aniversário no mesmo mês.

Permutação Simples

P(n) = n!. Exemplo: Organizar 4 livros em uma estante = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 maneiras diferentes.

Arranjo Simples

A(n, p) = n! / (n - p)!. A ordem importa. Exemplo: Eleger presidente e vice entre 5 candidatos = A(5, 2) = 5 * 4 = 20 maneiras.

Combinação Simples

C(n, p) = n! / [p! * (n - p)!]. A ordem não importa. Exemplo: Comissão de 2 fiscais entre 5 técnicos = C(5, 2) = (5 * 4) / 2 = 10 duplas.

Probabilidade: Definição Clássica

P(E) = Casos Favoráveis / Casos Possíveis. Exemplo: Chance de tirar número ímpar no dado = 3 / 6 = 1/2 = 50%.

Probabilidade da União de Eventos

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). Exemplo: P(A)=0,4, P(B)=0,3, P(A∩B)=0,1 -> P(A∪B) = 0,4 + 0,3 - 0,1 = 0,60 (60%).

Probabilidade Condicional

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B). Exemplo: Se P(A∩B) = 0,2 e P(B) = 0,5, a chance de ocorrer A dado que B ocorreu é 0,2 / 0,5 = 0,40 (40%).

Média Aritmética Simples

M = (x1 + x2 + ... + xn) / n. Exemplo: Média dos salários 3000, 4000 e 5000 = (3000 + 4000 + 5000) / 3 = R$ 4.000.

Média Aritmética Ponderada

Mp = (Σ x_i * p_i) / Σ p_i. Exemplo: Notas 6 (peso 2) e 9 (peso 3) -> Mp = (6*2 + 9*3)/(2 + 3) = (12 + 27)/5 = 39/5 = 7,8.

Mediana

Valor central com dados ordenados. Se ímpar, elemento central; se par, média dos 2 centrais. Ex: Para {2, 5, 9}, mediana = 5; para {2, 4, 6, 8}, é (4+6)/2 = 5.

Moda

Elemento que aparece com maior frequência no conjunto de dados. Exemplo: No rol {3, 5, 5, 7, 8}, a moda é 5 pois se repete duas vezes.

Desvio Padrão

Raiz quadrada da variância: σ = √(Var). Mede a dispersão em torno da média. Exemplo: Se a variância de retornos é 16%, o desvio padrão é √16 = 4%.

Regra de Três Simples Direta

a1/b1 = a2/b2. Grandezas crescem juntas. Exemplo: 2 técnicos analisam 10 processos; 4 analisam x -> 2/10 = 4/x -> 2x = 40 -> x = 20 processos.

Regra de Três Simples Inversa

a1 * b1 = a2 * b2. Se uma sobe, a outra desce. Exemplo: 2 auditores levam 6 horas; 4 auditores levarão x -> 2 * 6 = 4 * x -> 4x = 12 -> x = 3 horas.

Progressão Aritmética: Termo Geral

an = a1 + (n - 1) * r. Exemplo: a1 = 3, r = 4; o 10º termo é a10 = 3 + (10 - 1) * 4 = 3 + 36 = 39.

Progressão Aritmética: Soma dos Termos

Sn = [ (a1 + an) * n ] / 2. Exemplo: Para somar 10 termos com a1 = 2 e a10 = 20 -> S10 = [(2 + 20) * 10] / 2 = 22 * 5 = 110.

Progressão Geométrica: Termo Geral

an = a1 * q^(n - 1). Exemplo: a1 = 2, q = 3; o 4º termo é a4 = 2 * 3^(4-1) = 2 * 27 = 54.

Progressão Geométrica: Soma dos Termos (Finita)

Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1). Exemplo: a1 = 1, q = 2, n = 4 -> S4 = 1 * (2^4 - 1) / (2 - 1) = 16 - 1 = 15.

Conjuntos: Cardinalidade da União

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B). Exemplo: n(A)=20, n(B)=15, n(A∩B)=5 -> n(A∪B) = 20 + 15 - 5 = 30 elementos.

Aumento Percentual Sucessivo

VF = VI * (1 + i1) * (1 + i2). Exemplo: Aumentos de 10% e 20% sobre R$ 100 -> VF = 100 * 1,10 * 1,20 = R$ 132 (aumento total de 32%).

Desconto Percentual Sucessivo

VF = VI * (1 - d1) * (1 - d2). Exemplo: Descontos de 10% e 10% em R$ 100 -> VF = 100 * 0,90 * 0,90 = R$ 81 (desconto efetivo de 19%).

Função do 1º Grau: Raiz / Zero da Função

f(x) = ax + b = 0 -> x = -b / a. Exemplo: Para f(x) = 2x - 8 -> 2x = 8 -> x = 4, ponto onde a reta cruza o eixo x.

Função do 2º Grau: Vértice da Parábola

Xv = -b / (2a); Yv = -Δ / (4a). Exemplo: f(x) = -x² + 4x -> Xv = -4 / (-2) = 2; ponto de valor máximo da função no lucro/custo.

Tautologia, Contradição e Contingência

Tautologia: sempre V. Contradição: sempre F. Contingência: pode ser V ou F dependendo das variáveis. Ex: 'A ou não A' é tautologia.