Fórmulas de Geometria Analítica

Cartões · 53

Distância entre dois pontos no plano

d = sqrt((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2), onde d é a distância entre os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB).

Ponto médio de um segmento de reta

M = ((xA + xB)/2, (yA + yB)/2), onde M é o ponto médio do segmento que liga A(xA, yA) e B(xB, yB).

Baricentro de um triângulo

G = ((xA + xB + xC)/3, (yA + yB + yC)/3), onde G é o centro de gravidade e A, B, C são os vértices.

Divisão de segmento em razão dada (ponto divisor P)

xP = (xA + k*xB)/(1 + k), yP = (yA + k*yB)/(1 + k), onde k é a razão AP/PB.

Coeficiente angular da reta (por dois pontos)

m = (yB - yA) / (xB - xA), onde m é a declividade da reta que passa por A(xA, yA) e B(xB, yB), com xB diferente de xA.

Coeficiente angular por inclinação trigonométrica

m = tg(alpha), onde alpha é o ângulo medido no sentido anti-horário do semi-eixo x positivo até a reta.

Equação reduzida da reta

y = m*x + n, onde m é o coeficiente angular (declividade) e n é o coeficiente linear (interseção com eixo y).

Equação fundamental da reta (ponto e declividade)

y - y0 = m*(x - x0), onde m é a declividade e (x0, y0) são as coordenadas de um ponto conhecido.

Equação geral da reta

A*x + B*y + C = 0, onde A, B e C são coeficientes reais, com A e B não simultaneamente nulos.

Coeficiente angular a partir da equação geral

m = -A / B, onde A e B são coeficientes da reta A*x + B*y + C = 0, com B diferente de 0.

Coeficiente linear a partir da equação geral

n = -C / B, onde B e C são coeficientes da reta A*x + B*y + C = 0, com B diferente de 0.

Equação segmentária da reta

x/p + y/q = 1, onde p é o ponto de corte no eixo x (p, 0) e q é o ponto de corte no eixo y (0, q).

Equações paramétricas da reta no plano

x = x0 + a*t e y = y0 + b*t, onde t é o parâmetro real, (x0, y0) é um ponto fixo e (a, b) é o vetor diretor.

Condição de alinhamento de três pontos

det([xA yA 1; xB yB 1; xC yC 1]) = 0, indicando que A, B e C pertencem à mesma reta.

Área de triângulo via determinantes

Area = |D| / 2, onde D é o determinante das coordenadas dos vértices: det([xA yA 1; xB yB 1; xC yC 1]).

Condição de paralelismo entre retas

mr = ms, onde mr e ms são os coeficientes angulares das retas r e s concorrentes a eixos não verticais.

Condição de perpendicularismo entre retas

mr * ms = -1 (ou mr = -1/ms), onde mr e ms são os coeficientes angulares das retas r e s.

Ângulo agudo entre duas retas

tg(theta) = |(mr - ms) / (1 + mr*ms)|, onde theta é o menor ângulo entre as retas de coeficientes mr e ms.

Distância de ponto à reta

d = |A*x0 + B*y0 + C| / sqrt(A^2 + B^2), onde (x0, y0) é o ponto e A*x + B*y + C = 0 é a reta.

Distância entre retas paralelas

d = |C1 - C2| / sqrt(A^2 + B^2), onde A*x + B*y + C1 = 0 e A*x + B*y + C2 = 0 são retas paralelas.

Equação reduzida da circunferência

(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2, onde (a, b) são as coordenadas do centro C e R é a medida do raio.

Equação geral da circunferência

x^2 + y^2 - 2a*x - 2b*y + (a^2 + b^2 - R^2) = 0, onde (a, b) é o centro e R é o raio.

Raio a partir da equação geral da circunferência

R = sqrt(a^2 + b^2 - F), onde F é o termo independente da equação x^2 + y^2 - 2a*x - 2b*y + F = 0.

Posição relativa entre ponto e circunferência

(x0 - a)^2 + (y0 - b)^2 < R^2 (interno), = R^2 (na borda), > R^2 (externo), onde (x0, y0) é o ponto avaliado.

Posição relativa entre reta e circunferência via distância

d < R (secante), d = R (tangente), d > R (externa), onde d é a distância do centro da circunferência à reta.

Relação fundamental da elipse

a^2 = b^2 + c^2, onde a é o semi-eixo maior, b é o semi-eixo menor e c é a semi-distância focal.

Equação reduzida da elipse (focos no eixo x)

(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1, onde a é o semi-eixo horizontal (a > b) e b é o semi-eixo vertical.

Equação reduzida da elipse (focos no eixo y)

(x^2 / b^2) + (y^2 / a^2) = 1, onde a é o semi-eixo vertical (a > b) e b é o semi-eixo horizontal.

Excentricidade da elipse

e = c / a, onde e mede o achatamento (0 < e < 1), c é o semi-foco e a é o semi-eixo maior.

Relação fundamental da hipérbole

c^2 = a^2 + b^2, onde c é a semi-distância focal, a é o semi-eixo real e b é o semi-eixo imaginário.

Equação reduzida da hipérbole (focos no eixo x)

(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1, onde o eixo real a está sobre o eixo x e as assíntotas cruzam a origem.

Equação reduzida da hipérbole (focos no eixo y)

(y^2 / a^2) - (x^2 / b^2) = 1, onde o eixo real a está sobre o eixo y e o eixo imaginário b sobre x.

Excentricidade da hipérbole

e = c / a, onde e > 1 representa a abertura dos ramos, c é a semi-distância focal e a é o semi-eixo real.

Equações das assíntotas da hipérbole centrada na origem

y = (b / a)*x e y = -(b / a)*x, onde a é o semi-eixo horizontal e b é o semi-eixo vertical.

Equação reduzida da parábola (foco no eixo x, vértice na origem)

y^2 = 2*p*x, onde p é o parâmetro (distância foco-diretriz), foco em (p/2, 0) e diretriz x = -p/2.

Equação reduzida da parábola (foco no eixo y, vértice na origem)

x^2 = 2*p*y, onde p é o parâmetro, foco em (0, p/2) e diretriz y = -p/2.

Distância focal da parábola

f = p / 2, onde f é a distância do vértice ao foco e p é a distância do foco à reta diretriz.

Distância entre dois pontos no espaço tridimensional

d = sqrt((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2 + (zB - zA)^2), onde d é a distância entre A e B em R^3.

Ponto médio no espaço tridimensional

M = ((xA + xB)/2, (yA + yB)/2, (zA + zB)/2), onde M é o ponto médio entre A e B em R^3.

Módulo de um vetor no espaço

|v| = sqrt(vx^2 + vy^2 + vz^2), onde vx, vy e vz são os componentes ortogonais do vetor v.

Produto escalar de dois vetores (algébrico)

u . v = ux*vx + uy*vy + uz*vz, onde ux, uy, uz e vx, vy, vz são as componentes dos vetores u e v.

Produto escalar de dois vetores (geométrico)

u . v = |u| * |v| * cos(theta), onde theta é o ângulo entre os vetores u e v.

Cálculo do cosseno do ângulo entre dois vetores

cos(theta) = (u . v) / (|u| * |v|), onde u . v é o produto escalar e |u|, |v| são os módulos.

Condição de ortogonalidade de vetores

u . v = 0, indicando que os vetores u e v formam um ângulo reto (90 graus) entre si.

Projeção ortogonal de um vetor u sobre v

proj_v(u) = [(u . v) / |v|^2] * v, onde proj_v(u) é o vetor projeção de u na direção de v.

Produto vetorial (módulo)

|u x v| = |u| * |v| * sen(theta), correspondendo à área do paralelogramo formado por u e v.

Produto misto de três vetores

[u, v, w] = u . (v x w), cujo módulo numérico representa o volume do paralelepípedo formado por u, v e w.

Volume do tetraedro por produto misto

V = |[u, v, w]| / 6, onde u, v e w são vetores correspondentes a arestas concorrentes do tetraedro.

Equação geral do plano no espaço

A*x + B*y + C*z + D = 0, onde n = (A, B, C) é o vetor normal ortogonal ao plano.

Distância de um ponto a um plano

d = |A*x0 + B*y0 + C*z0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2), onde P(x0, y0, z0) é o ponto e o plano é dado na forma geral.

Equação simétrica da reta no espaço

(x - x0)/a = (y - y0)/b = (z - z0)/c, onde (x0, y0, z0) é um ponto fixo e (a, b, c) é o vetor diretor não nulo.

Conversão de coordenadas polares para cartesianas

x = r*cos(theta) e y = r*sen(theta), onde r é o raio vetor e theta é o argumento angular.

Conversão de coordenadas cartesianas para polares

r = sqrt(x^2 + y^2) e theta = arctg(y / x), com r >= 0 e theta ajustado de acordo com o quadrante de (x, y).