Geometria Espacial

Cartões · 100

Relação de Euler para poliedros convexos

V - A + F = 2, onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces.

Fórmula da soma dos ângulos das faces de um poliedro

S = (V - 2) * 360°, onde V é a quantidade de vértices do poliedro convexo.

Volume do cubo de aresta a

V = a³.

Área total do cubo de aresta a

At = 6 * a².

Diagonal de uma face do cubo de aresta a

df = a * raiz quadrada de 2.

Diagonal principal do cubo de aresta a

D = a * raiz quadrada de 3.

Volume do paralelepípedo retângulo (dimensões a, b, c)

V = a * b * c.

Área total do paralelepípedo retângulo (a, b, c)

At = 2 * (a*b + a*c + b*c).

Diagonal principal do paralelepípedo retângulo

D = raiz quadrada de (a² + b² + c²).

Definição de prisma reto

Prisma cujas arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases.

Volume de qualquer prisma

V = Ab * h, onde Ab é a área da base e h é a altura.

Área lateral de um prisma reto

Al = 2p * h, onde 2p é o perímetro da base e h é a altura.

Área total de um prisma

At = Al + 2 * Ab, somando a área lateral com o dobro da área da base.

Volume do prisma triangular regular de aresta da base a e altura h

V = (a² * raiz quadrada de 3 / 4) * h.

Volume do prisma hexagonal regular de lado da base a e altura h

V = 6 * (a² * raiz quadrada de 3 / 4) * h.

Volume de uma pirâmide qualquer

V = (1/3) * Ab * h, onde Ab é a área da base e h é a altura vertical.

Área total de uma pirâmide

At = Al + Ab, sendo Al a soma das áreas das faces laterais e Ab a área da base.

Relação de Pitágoras no triângulo da pirâmide regular

g² = h² + m², onde g é o apótema da pirâmide, h é a altura e m é o apótema da base.

Apótema da base de uma pirâmide quadrada de lado L

m = L / 2.

Aresta lateral (al) versus apótema da pirâmide (g) e lado da base (L)

(al)² = g² + (L / 2)² em uma face lateral triangular isósceles.

Volume de um tetraedro regular de aresta a

V = (a³ * raiz quadrada de 2) / 12.

Altura de um tetraedro regular de aresta a

h = (a * raiz quadrada de 6) / 3.

Área total de um tetraedro regular de aresta a

At = a² * raiz quadrada de 3 (composto por 4 triângulos equiláteros).

Volume de um cilindro reto

V = pi * r² * h, onde r é o raio da base e h é a altura.

Área lateral de um cilindro reto

Al = 2 * pi * r * h.

Área total de um cilindro reto

At = 2 * pi * r * (h + r).

Cilindro equilátero: definição e relação

Cilindro cuja seção meridiana é um quadrado; sua altura equivale ao diâmetro da base (h = 2r).

Volume do cilindro equilátero de raio r

V = 2 * pi * r³.

Área total do cilindro equilátero de raio r

At = 6 * pi * r².

Volume de um cone circular reto

V = (1/3) * pi * r² * h.

Relação fundamental do cone reto (Pitágoras)

g² = h² + r², onde g é a geratriz, h é a altura e r é o raio da base.

Área lateral de um cone reto

Al = pi * r * g, onde g é a geratriz e r é o raio.

Área total de um cone reto

At = pi * r * (g + r).

Ângulo do setor circular na planificação do cone

theta = 360° * (r / g) em graus, ou theta = 2 * pi * (r / g) em radianos.

Cone equilátero: definição e relações

Cone cuja seção meridiana é triângulo equilátero: geratriz é o dobro do raio (g = 2r) e h = r*raiz(3).

Volume da esfera de raio R

V = (4/3) * pi * R³.

Área da superfície esférica de raio R

A = 4 * pi * R².

Volume da semiesfera de raio R

V = (2/3) * pi * R³.

Área total da semiesfera sólida de raio R

At = 3 * pi * R² (2*pi*R² da parte curva + pi*R² da base circular).

Relação de seção plana na esfera a uma distância d do centro

R² = d² + r², onde R é o raio da esfera e r é o raio da circunferência da seção.

Volume do fuso e da cunha esférica (cunha com ângulo alfa em graus)

V = (alfa / 360°) * (4/3) * pi * R³.

Área do fuso esférico (ângulo alfa em graus)

A = (alfa / 360°) * 4 * pi * R².

Princípio de Cavalieri

Sólidos com mesma altura têm volumes iguais se planos paralelos à base criarem seções de mesma área.

Tronco de pirâmide de bases paralelas: fórmula do volume

V = (h / 3) * (B + raiz quadrada de (B * b) + b), onde B e b são as áreas das bases.

Tronco de cone reto: fórmula do volume

V = (pi * h / 3) * (R² + R*r + r²), onde R e r são os raios das bases maior e menor.

Razão de semelhança k entre comprimentos lineares homólogos

L1 / L2 = k, aplicando-se a alturas, arestas, raios e geratrizes proporcionais.

Relação entre áreas de figuras ou sólidos semelhantes

A1 / A2 = k², a razão entre áreas é o quadrado da razão linear.

Relação entre volumes de sólidos semelhantes

V1 / V2 = k³, a razão entre volumes é o cubo da razão linear.

Seccionar um cone na metade da altura gera qual fração do volume?

O cone superior tem (1/2)³ = 1/8 do volume total; o tronco restante tem 7/8 do volume.

Postulado da determinação de um plano

Um plano é determinado por 3 pontos não colineares, uma reta e um ponto externo, ou duas retas concorrentes.

Posição relativa: retas reversas

Retas que pertencem a planos distintos e não possuem interseção nem paralelismo.

Ângulo entre reta e plano

É o ângulo agudo formado entre a reta dada e a sua projeção ortogonal sobre o plano.

Teorema das três perpendiculares

Se uma reta r é perpendicular a alfa e s passa pelo pé de r sendo perp. a t em alfa, a reta que une r e t é perp. a t.

Poliedros de Platão: quantos e quais são?

São 5: Tetraedro (4 faces), Hexaedro (6), Octaedro (8), Dodecaedro (12) e Icosaedro (20).

Número de vértices e arestas do octaedro regular

Possui 8 faces triangulares, 6 vértices e 12 arestas (6 - 12 + 8 = 2).

Número de vértices e arestas do icosaedro regular

Possui 20 faces triangulares, 12 vértices e 30 arestas.

Número de vértices e arestas do dodecaedro regular

Possui 12 faces pentagonais, 20 vértices e 30 arestas.

Cálculo de arestas totais a partir do número de lados das faces

2A = 3*F3 + 4*F4 + 5*F5 + ..., pois cada aresta pertence exatamente a duas faces.

Cálculo de arestas a partir das semirretas que saem dos vértices

2A = 3*V3 + 4*V4 + ..., somando as valências de cada vértice dividido por dois.

Volume do octaedro regular de aresta a

V = (a³ * raiz quadrada de 2) / 3 (equivalente a duas pirâmides de base quadrada).

Esfera inscrita em um cubo de aresta a

O diâmetro da esfera é igual à aresta do cubo: 2R = a, logo R = a / 2.

Esfera circunscrita a um cubo de aresta a

O diâmetro da esfera é a diagonal principal do cubo: 2R = a * raiz(3), logo R = (a * raiz(3)) / 2.

Volume deslocado em imersão de sólidos

O volume do objeto imerso é igual à área da base do recipiente vezes a variação da altura da água: V = Ab * delta_h.

Conversão prática: litros para decímetros cúbicos

1 litro (L) = 1 decímetro cúbico (dm³) = 1000 centímetros cúbicos (cm³).

Conversão prática: metros cúbicos para litros

1 metro cúbico (m³) = 1.000 litros (L).

Planificação da superfície lateral de um cilindro reto

É um retângulo de base de comprimento 2*pi*r e altura igual à altura h do cilindro.

Planificação da superfície lateral de um cone reto

É um setor circular com raio igual à geratriz g e comprimento de arco igual a 2*pi*r.

Sólido gerado pela rotação completa de um retângulo em torno de um lado

Cilindro reto com raio igual ao outro lado e altura igual ao lado fixado no eixo.

Sólido gerado pela rotação de um triângulo retângulo pelo cateto

Cone reto onde o cateto fixo é a altura e o outro cateto é o raio da base.

Sólido gerado pela rotação de um semicírculo em torno do diâmetro

Esfera com mesmo raio do semicírculo rotacionado.

Dica de prova: nível de líquido ao inclinar copo cilíndrico a 45°

O plano da lâmina d'água toca o fundo e a borda; o volume restante é metade do volume do cilindro original.

Cálculo da densidade de um corpo geométrico

Densidade = massa / volume (d = m / V), exigindo atenção às unidades como g/cm³ ou kg/m³.

Dica para vazão constante de torneira enchendo reservatório

Volume = Vazão * tempo (V = Q * t). Se o reservatório mudar de seção transversal, a taxa de subida de h muda.

Sólido gerado pela rotação de triângulo isósceles em torno da base

Dois cones retos unidos pelas suas bases congruentes.

Projeção ortogonal de um segmento paralelo ao plano de projeção

Um segmento de reta congruente (de mesmo comprimento) ao segmento original.

Projeção ortogonal de um segmento oblíquo de comprimento L com ângulo alfa

Um segmento de comprimento L' = L * cos(alfa).

Projeção ortogonal de uma reta perpendicular ao plano de projeção

Um único ponto sobre o plano.

Número de diagonais de um poliedro com V vértices e A arestas

D_poliedro = Combinação(V, 2) - A - soma(diagonais de todas as faces).

Volume de um prisma oblíquo

V = Ab * h ou V = As * l, onde As é a seção reta e l é o comprimento da aresta lateral.

Seção meridiana de um cone: o que é?

Interseção do cone com um plano que contém o seu eixo principal, formando um triângulo isósceles.

Distância entre o vértice e o baricentro da base num tetraedro regular

A projeção da altura cai exatamente sobre o baricentro da base triangular equilátera.

Raio da base inscrita em triângulo equilátero de lado a

r = (a * raiz quadrada de 3) / 6 (distância do centro ao ponto médio do lado).

Raio da base circunscrita a triângulo equilátero de lado a

R = (a * raiz quadrada de 3) / 3 (distância do centro ao vértice).

Área lateral do tronco de cone reto (raios R e r, geratriz g)

Al = pi * g * (R + r).

Cálculo da geratriz do tronco de cone reto

g² = h² + (R - r)², aplicando o teorema de Pitágoras no trapézio retângulo lateral.

Dica de prova: sombra de um objeto gerada pelo sol

Raios solares são considerados paralelos; a projeção da sombra é cilíndrica e usa triângulos semelhantes.

Dica de prova: lâmpada pontual projetando sombra de objeto

Raios divergem de um único ponto; a projeção é cônica e o cálculo usa semelhança com vértice na fonte de luz.

Volume da calota esférica de raio R e altura h

V = (pi * h² / 3) * (3R - h).

Área da superfície da calota esférica

A = 2 * pi * R * h.

Planificação do dodecaedro regular

Consiste em 12 pentágonos regulares congruentes organizados em rede bidimensional.

Condição para retas r e s serem coplanares

Elas devem ser concorrentes (possuir um ponto comum) ou paralelas (distintas ou coincidentes).

Condição para uma reta ser perpendicular a um plano

A reta deve ser perpendicular a pelo menos duas retas concorrentes contidas nesse plano.

Dica: tronco de cone em canecas e copos d'água

Em questões de capacidade, identifique o raio da boca (R) e do fundo (r) e use a fórmula do tronco de cone.

Cálculo da área da base hexagonal regular de lado a

Ab = 6 * (a² * raiz(3) / 4) = (3 * a² * raiz(3)) / 2.

Volume ocupado por esferas empilhadas em caixa cúbica de aresta 2R

A caixa comporta 1 esfera de raio R. Volume da caixa = 8R³; fração ocupada pela esfera = pi / 6 (~52%).

Proporção entre áreas quando uma pirâmide é cortada a h/2

A área da seção intermediária vale (1/2)² = 1/4 da área da base principal.

Definição de ângulo diedro

Região do espaço limitada por dois semiplanos não coplanares que possuem a mesma reta de origem.

Tetraedro com 3 arestas perpendiculares duas a duas no vértice O

V = (a * b * c) / 6, onde a, b, c são os comprimentos das arestas mutuamente ortogonais.

Dica de prova: cuidado com o diâmetro vs raio

Enunciados frequentemente fornecem o diâmetro; sempre divida por 2 antes de aplicar fórmulas com raio (r).

Dica de prova: aproximações comuns de pi nas provas

Verifique no enunciado se o valor adotado é pi = 3, pi = 3,1 ou pi = 3,14 para evitar contas desnecessárias.