Fungsi & Persamaan Kuadrat 2

Kartu · 51

Bentuk umum persamaan kuadrat

ax^2 + bx + c = 0, dengan syarat a tidak sama dengan 0, serta a, b, dan c adalah bilangan real.

Bentuk umum fungsi kuadrat

f(x) = ax^2 + bx + c, dengan syarat a tidak sama dengan 0, menghasilkan kurva berupa parabola.

Rumus Diskriminan (D)

D = b^2 - 4ac. Nilai ini menentukan jenis dan banyaknya akar riil dari persamaan kuadrat.

Karakteristik akar jika D > 0

Persamaan memiliki dua akar riil yang berbeda (grafik memotong sumbu X di dua titik berbeda).

Karakteristik akar jika D = 0

Persamaan memiliki dua akar riil kembar atau sama (grafik menyinggung sumbu X di satu titik).

Karakteristik akar jika D < 0

Persamaan tidak memiliki akar riil, melainkan dua akar imajiner (grafik tidak memotong sumbu X).

Rumus kuadratik (Rumus ABC)

x = (-b +- akar(b^2 - 4ac)) / (2a), digunakan untuk mencari akar-akar persamaan ax^2 + bx + c = 0.

Rumus jumlah akar-akar (x1 + x2)

x1 + x2 = -b / a, berasal dari hubungan koefisien Vieta pada persamaan kuadrat.

Rumus hasil kali akar-akar (x1 . x2)

x1 . x2 = c / a, berasal dari hubungan koefisien Vieta pada persamaan kuadrat.

Rumus selisih akar-akar |x1 - x2|

|x1 - x2| = akar(D) / |a|, didapatkan dari identitas aljabar kuadrat selisih akar.

Rumus kuadrat jumlah akar (x1^2 + x2^2)

x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2(x1 . x2) = (-b/a)^2 - 2(c/a).

Rumus jumlah kebalikan akar (1/x1 + 1/x2)

1/x1 + 1/x2 = (x1 + x2) / (x1 . x2) = (-b/a) / (c/a) = -b/c.

Menyusun persamaan kuadrat dari akar x1 dan x2

Rumusnya adalah x^2 - (x1 + x2)x + (x1 . x2) = 0 atau (x - x1)(x - x2) = 0.

Rumus sumbu simetri fungsi kuadrat

x = -b / (2a), merupakan garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian simetris.

Rumus nilai optimum / ekstrem (y puncak)

y = -D / (4a) = -(b^2 - 4ac) / (4a), merupakan nilai maksimum atau minimum fungsi kuadrat.

Koordinat titik puncak / titik balik parabola

P = (-b / (2a), -D / (4a)), menjadi titik terendah jika a > 0 atau tertinggi jika a < 0.

Pengaruh nilai koefisien a terhadap kurva

Jika a > 0 parabola terbuka ke atas (punya nilai minimum). Jika a < 0 parabola terbuka ke bawah (punya nilai maksimum).

Titik potong kurva f(x) dengan sumbu Y

Terjadi ketika x = 0, sehingga koordinat titik potongnya selalu (0, c).

Definit positif

Kondisi nilai f(x) selalu positif untuk setiap x riil, syaratnya: a > 0 dan D < 0 (kurva di atas sumbu X).

Definit negatif

Kondisi nilai f(x) selalu negatif untuk setiap x riil, syaratnya: a < 0 dan D < 0 (kurva di bawah sumbu X).

Menyusun f(x) jika diketahui titik puncak (xp, yp)

Gunakan bentuk: f(x) = a(x - xp)^2 + yp, lalu substitusikan titik lain untuk mencari nilai a.

Menyusun f(x) jika diketahui memotong sumbu X di (x1, 0) dan (x2, 0)

Gunakan bentuk: f(x) = a(x - x1)(x - x2), lalu substitusikan titik lain untuk mencari nilai a.

Menyusun f(x) jika diketahui tiga titik sembarang

Substitusi ketiga titik ke f(x) = ax^2 + bx + c dan selesaikan sistem persamaan linear 3 variabel.

Hubungan garis y = mx + k dan parabola y = ax^2 + bx + c

Substitusi garis ke parabola: ax^2 + (b-m)x + (c-k) = 0. Cek nilai diskriminan persamaan gabungan.

Garis memotong parabola di dua titik

Diskriminan persamaan kuadrat gabungan garis dan kurva bernilai D > 0.

Garis menyinggung parabola di satu titik

Diskriminan persamaan kuadrat gabungan garis dan kurva bernilai D = 0.

Garis tidak memotong atau menyinggung parabola

Diskriminan persamaan kuadrat gabungan garis dan kurva bernilai D < 0.

Latihan 1: Tentukan akar-akar dari x^2 - 5x + 6 = 0

Faktorisasi menjadi (x - 2)(x - 3) = 0, sehingga akar-akarnya adalah x = 2 atau x = 3.

Latihan 2: Tentukan akar-akar dari x^2 + 2x - 8 = 0

Faktorisasi menjadi (x + 4)(x - 2) = 0, sehingga akar-akarnya adalah x = -4 atau x = 2.

Latihan 3: Tentukan akar-akar dari 2x^2 + 5x - 3 = 0

Faktorisasi (2x - 1)(x + 3) = 0, menghasilkan akar x = 1/2 atau x = -3.

Latihan 4: Hitung diskriminan dari 3x^2 - 4x + 2 = 0

D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(3)(2) = 16 - 24 = -8 (karena D < 0, akarnya imajiner).

Latihan 5: Hitung diskriminan dari x^2 - 6x + 9 = 0

D = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0 (memiliki dua akar kembar, yaitu x = 3).

Latihan 6: Jika x1 dan x2 akar dari 2x^2 - 8x + 6 = 0, berapa x1 + x2?

x1 + x2 = -b / a = -(-8) / 2 = 8 / 2 = 4.

Latihan 7: Jika x1 dan x2 akar dari 3x^2 - 5x + 12 = 0, berapa x1 . x2?

x1 . x2 = c / a = 12 / 3 = 4.

Latihan 8: Cari x1^2 + x2^2 untuk persamaan x^2 - 4x + 3 = 0

x1 + x2 = 4, x1 . x2 = 3. Maka x1^2 + x2^2 = (4)^2 - 2(3) = 16 - 6 = 10.

Latihan 9: Susun persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -5

x^2 - (3 + (-5))x + (3 . -5) = 0, menghasilkan x^2 + 2x - 15 = 0.

Latihan 10: Tentukan sumbu simetri f(x) = x^2 - 6x + 5

x = -b / (2a) = -(-6) / (2 . 1) = 6 / 2 = 3.

Latihan 11: Tentukan titik puncak f(x) = x^2 - 4x - 5

xp = -(-4)/2 = 2. yp = 2^2 - 4(2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9. Puncak di (2, -9).

Latihan 12: Tentukan nilai maksimum dari f(x) = -2x^2 + 8x - 3

xp = -8 / (2 . -2) = 2. Nilai maks = -2(2)^2 + 8(2) - 3 = -8 + 16 - 3 = 5.

Latihan 13: Tentukan titik potong f(x) = x^2 - x - 6 dengan sumbu X

x^2 - x - 6 = 0 -> (x - 3)(x + 2) = 0. Titik potongnya adalah (3, 0) dan (-2, 0).

Latihan 14: Tentukan titik potong f(x) = 2x^2 - 7x + 10 dengan sumbu Y

Substitusi x = 0, didapat y = 10. Jadi titik potongnya adalah (0, 10).

Latihan 15: Cari nilai k agar x^2 + 6x + k = 0 punya akar kembar

Syarat D = 0 -> b^2 - 4ac = 0 -> 6^2 - 4(1)(k) = 0 -> 36 = 4k -> k = 9.

Latihan 16: Cari nilai p agar f(x) = x^2 - 4x + p definit positif

Syarat a > 0 (1 > 0 terpenuhi) dan D < 0 -> (-4)^2 - 4(1)(p) < 0 -> 16 < 4p -> p > 4.

Latihan 17: Persamaan kuadrat baru yang akarnya dua kali akar x^2 - 3x + 1 = 0

Akar baru y = 2x -> x = y/2. Substitusi: (y/2)^2 - 3(y/2) + 1 = 0 -> y^2 - 6y + 4 = 0.

Latihan 18: Akar dari 4x^2 - 16 = 0

4x^2 = 16 -> x^2 = 4 -> x = 2 atau x = -2.

Latihan 19: Akar dari 3x^2 + 9x = 0

3x(x + 3) = 0 -> 3x = 0 atau x + 3 = 0, maka x = 0 atau x = -3.

Latihan 20: Tentukan persamaan parabola dengan puncak (1, 4) melalui (0, 3)

y = a(x - 1)^2 + 4. Substitusi (0,3): 3 = a(0-1)^2 + 4 -> a = -1. Persamaan: y = -(x-1)^2 + 4.

Metode melengkapkan kuadrat sempurna: ax^2 + bx + c = 0

Ubah ke x^2 + (b/a)x = -c/a, lalu tambahkan kedua ruas dengan kuadrat dari setengah koefisien x, yaitu (b/2a)^2.

Sifat simetri titik potong sumbu X

Absis sumbu simetri xp berada tepat di tengah kedua titik potong akar: xp = (x1 + x2) / 2.

Akar berkebalikan (x1 = 1/x2)

Hasil kali akarnya adalah 1: x1 . x2 = c / a = 1, yang berarti syaratnya adalah a = c.

Akar berlawanan tanda (x1 = -x2)

Jumlah akarnya adalah 0: x1 + x2 = -b / a = 0, yang berarti syaratnya adalah b = 0.