Fungsi & Persamaan Kuadrat

Kartu · 51

Bentuk umum persamaan kuadrat

ax^2 + bx + c = 0, dengan syarat a tidak sama dengan 0, serta a, b, dan c merupakan bilangan real.

Bentuk umum fungsi kuadrat

f(x) = ax^2 + bx + c atau y = ax^2 + bx + c, di mana grafiknya berbentuk parabola dan a tidak sama dengan 0.

Rumus Diskriminan (D)

D = b^2 - 4ac. Nilai ini menentukan jenis dan sifat akar-akar persamaan kuadrat serta titik potong kurva sumbu x.

Karakteristik akar jika D > 0

Persamaan memiliki dua akar real yang berbeda, dan grafik fungsi memotong sumbu x di dua titik berbeda.

Karakteristik akar jika D = 0

Persamaan memiliki dua akar real kembar (satu penyelesaian), dan grafik fungsi menyinggung sumbu x di satu titik.

Karakteristik akar jika D < 0

Persamaan tidak memiliki akar real (akarnya imajiner/kompleks), dan grafik fungsi tidak memotong sumbu x.

Rumus kuadratik (Rumus ABC)

x = (-b +- sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a). Digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat secara langsung.

Rumus jumlah akar (x1 + x2)

x1 + x2 = -b / a. Hubungan Vieta untuk penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat.

Rumus hasil kali akar (x1 * x2)

x1 * x2 = c / a. Hubungan Vieta untuk perkalian akar-akar persamaan kuadrat.

Rumus selisih mutlak akar (|x1 - x2|)

|x1 - x2| = sqrt(D) / |a|. Menghitung jarak antara dua akar pada garis bilangan riil.

Rumus jumlah kuadrat akar (x1^2 + x2^2)

x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2(x1 * x2) = (b^2 - 2ac) / a^2.

Menyusun persamaan kuadrat baru dari akar-akarnya

x^2 - (akar1 + akar2)x + (akar1 * akar2) = 0 atau (x - akar1)(x - akar2) = 0.

Sumbu simetri parabola

x = -b / (2a). Garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian simetris melalui titik puncak.

Nilai optimum / nilai ekstrem (yp)

yp = -D / (4a) = -(b^2 - 4ac) / (4a). Merupakan nilai minimum jika a > 0 atau nilai maksimum jika a < 0.

Koordinat titik puncak / titik balik parabola

(xp, yp) = (-b / (2a), -D / (4a)). Titik di mana arah kurva parabola berbalik.

Pengaruh tanda koefisien a pada grafik parabola

Jika a > 0 grafik terbuka ke atas (memiliki nilai minimum). Jika a < 0 grafik terbuka ke bawah (memiliki nilai maksimum).

Definit positif

Kondisi di mana f(x) > 0 untuk semua x riil. Syaratnya: a > 0 dan D < 0 (seluruh kurva di atas sumbu x).

Definit negatif

Kondisi di mana f(x) < 0 untuk semua x riil. Syaratnya: a < 0 dan D < 0 (seluruh kurva di bawah sumbu x).

Titik potong grafik dengan sumbu y

Didapat saat x = 0, yaitu titik (0, c). Nilai c menentukan titik potong kurva dengan sumbu y.

Bentuk kanonik (vertex form) fungsi kuadrat

f(x) = a(x - h)^2 + k, dengan titik puncak berada tepat pada koordinat (h, k).

Rumus fungsi kuadrat jika diketahui puncak (xp, yp)

y = a(x - xp)^2 + yp. Nilai a ditentukan dengan mensubstitusikan titik lain yang dilalui grafik.

Rumus fungsi kuadrat jika memotong sumbu x di (x1, 0) dan (x2, 0)

y = a(x - x1)(x - x2). Nilai a dicari dengan memasukkan satu titik lain yang diketahui pada kurva.

Syarat dua akar saling berkebalikan (x1 = 1/x2)

x1 * x2 = 1, sehingga c / a = 1 atau a = c.

Syarat dua akar saling berlawanan tanda (x1 = -x2)

x1 + x2 = 0, sehingga -b / a = 0 atau b = 0.

Syarat kedua akar bernilai positif

D >= 0 (akar riil), x1 + x2 > 0 (-b/a > 0), dan x1 * x2 > 0 (c/a > 0).

Syarat kedua akar bernilai negatif

D >= 0 (akar riil), x1 + x2 < 0 (-b/a < 0), dan x1 * x2 > 0 (c/a > 0).

Metode pemfaktoran bentuk ax^2 + bx + c = 0

Cari dua bilangan p dan q sedemikian sehingga p + q = b dan p * q = a * c, lalu faktorkan sukunya.

Metode melengkapkan kuadrat sempurna

Mengubah x^2 + (b/a)x = -c/a menjadi (x + b/(2a))^2 = (b^2 - 4ac) / (4a^2).

Hubungan garis y = mx + n dan parabola y = ax^2 + bx + c

Substitusikan y, bentuk ax^2 + (b - m)x + (c - n) = 0, lalu uji diskriminan persamaan gabungan tersebut.

Garis memotong parabola di dua titik

D > 0 dari persamaan kuadrat sekutu antara garis dan kurva parabola.

Garis menyinggung parabola

D = 0 dari persamaan kuadrat sekutu antara garis dan kurva parabola.

Garis tidak memotong maupun menyinggung parabola

D < 0 dari persamaan kuadrat sekutu antara garis dan kurva parabola.

Soal: Tentukan akar-akar dari x^2 - 5x + 6 = 0

Faktorkan menjadi (x - 2)(x - 3) = 0, sehingga akar-akarnya adalah x = 2 atau x = 3.

Soal: Tentukan akar-akar dari 2x^2 + 5x - 3 = 0

Faktorkan menjadi (2x - 1)(x + 3) = 0, didapat x = 1/2 atau x = -3.

Soal: Hitung diskriminan dari 3x^2 - 4x + 2 = 0

D = (-4)^2 - 4(3)(2) = 16 - 24 = -8. Karena D < 0, akar-akarnya imajiner/tidak riil.

Soal: Tentukan jumlah dan hasil kali akar dari 2x^2 - 8x + 6 = 0

x1 + x2 = -(-8)/2 = 4, dan x1 * x2 = 6/2 = 3.

Soal: Jika x1 dan x2 akar dari x^2 - 3x + 1 = 0, hitung x1^2 + x2^2

x1 + x2 = 3, x1 * x2 = 1. Nilai x1^2 + x2^2 = 3^2 - 2(1) = 9 - 2 = 7.

Soal: Tentukan sumbu simetri f(x) = 2x^2 - 12x + 7

xp = -b / (2a) = -(-12) / (2 * 2) = 12 / 4 = 3.

Soal: Tentukan nilai optimum f(x) = -x^2 + 4x + 5

xp = -4 / (2 * -1) = 2. Masukkan ke fungsi: f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9 (maksimum).

Soal: Tentukan titik puncak dari f(x) = x^2 - 6x + 8

xp = 6 / 2 = 3. yp = 3^2 - 6(3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1. Koordinat puncak adalah (3, -1).

Soal: Bentuk persamaan kuadrat yang akar-akarnya 4 dan -5

x^2 - (4 + (-5))x + (4 * -5) = 0, menghasilkan persamaan x^2 + x - 20 = 0.

Soal: Tentukan k agar kx^2 + 4x + 1 = 0 memiliki akar kembar

Syarat D = 0 -> 4^2 - 4(k)(1) = 0 -> 16 - 4k = 0 -> k = 4 (dengan syarat k tidak sama dengan 0).

Soal: Tentukan titik potong f(x) = x^2 - 4x - 5 dengan sumbu x

Atur y = 0: (x - 5)(x + 1) = 0, maka titik potongnya berada di (5, 0) dan (-1, 0).

Soal: Tentukan titik potong f(x) = 3x^2 - 5x + 9 dengan sumbu y

Atur x = 0, diperoleh y = 9. Jadi titik potong sumbu y adalah (0, 9).

Soal: Persamaan baru berakar 2 kali akar x^2 - 4x + 3 = 0

Ganti x dengan y/2: (y/2)^2 - 4(y/2) + 3 = 0 -> y^2/4 - 2y + 3 = 0 -> y^2 - 8y + 12 = 0.

Soal: Tentukan nilai 1/x1 + 1/x2 untuk x^2 + 5x + 2 = 0

1/x1 + 1/x2 = (x1 + x2) / (x1 * x2) = (-5) / 2 = -2,5.

Soal: Selidiki kedudukan garis y = 2x - 3 terhadap y = x^2 - x + 1

x^2 - x + 1 = 2x - 3 -> x^2 - 3x + 4 = 0. D = (-3)^2 - 4(1)(4) = -7 < 0, garis tidak memotong kurva.

Soal: Tentukan nilai m agar f(x) = mx^2 + 4x + m selalu definit positif

Syarat: m > 0 dan D < 0. D = 16 - 4(m)(m) < 0 -> 16 - 4m^2 < 0 -> m^2 > 4 -> m > 2 (ambil irisan m > 0).

Soal: Tentukan persamaan kuadrat bila puncaknya (1, 4) dan lewat (0, 3)

y = a(x - 1)^2 + 4. Substitusi (0, 3): 3 = a(0 - 1)^2 + 4 -> a = -1. Persamaan: y = -(x - 1)^2 + 4.

Soal: Tentukan akar-akar x^2 - 9 = 0 dengan selisih dua kuadrat

Faktorkan (x - 3)(x + 3) = 0, sehingga akar-akarnya adalah x = 3 atau x = -3.

Soal: Hitung nilai minimum fungsi f(t) = 5t^2 - 20t + 25

tp = 20 / (2 * 5) = 2. f(2) = 5(4) - 20(2) + 25 = 20 - 40 + 25 = 5.