Geometria: Ângulos e Triângulos

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Ângulo Nulo

Possui 0°. Os dois lados coincidem. Exemplo: ponteiros do relógio sobrepostos às 12h00 exatas.

Ângulo Agudo

Ângulo com medida maior que 0° e menor que 90°. Exemplo: 45° ou a abertura de uma tesoura semiaberta.

Ângulo Reto

Ângulo que mede exatamente 90°. Formado por retas perpendiculares, como o canto de um quadrado.

Ângulo Obtuso

Ângulo com medida maior que 90° e menor que 180°. Exemplo: 120° ou um encosto de cadeira reclinada.

Ângulo Raso

Ângulo que mede exatamente 180°. Os lados são semirretas opostas, formando uma linha reta.

Ângulo Côncavo (Reentrante)

Ângulo com medida maior que 180° e menor que 360°. Exemplo: 240°, o setor externo de um Pac-Man.

Ângulo Convexo

Ângulo cuja medida está entre 0° e 180°. Todos os ângulos agudos, retos e obtusos são convexos.

Ângulo Completo (Volta Completa)

Ângulo que mede exatamente 360°, dando uma volta inteira ao redor do vértice.

Ângulos Opostos pelo Vértice (OPV)

Ângulos formados pelo cruzamento de duas retas. São congruentes (possuem a mesma medida).

Propriedade dos Ângulos OPV

Se dois ângulos são opostos pelo vértice e um mede x, o outro também mede x. Ângulos vizinhos somam 180°.

Bissetriz de um Ângulo

Semirreta que divide um ângulo em dois ângulos adjacentes congruentes. Exemplo: bissetriz de 60° gera dois de 30°.

Retas Paralelas Cortadas por Transversal

Formam 8 ângulos classificados como correspondentes, alternos (internos/externos) e colaterais (internos/externos).

Ângulos Correspondentes

Ocupam a mesma posição relativa em cada interseção. São congruentes (ex: topo-direito de cada cruzamento).

Ângulos Alternos Internos

Estão em lados opostos da transversal, entre as paralelas. São congruentes (formam a letra Z).

Ângulos Alternos Externos

Estão em lados opostos da transversal, fora das paralelas. São congruentes entre si.

Ângulos Colaterais Internos

Estão do mesmo lado da transversal, entre as paralelas. São suplementares (sua soma é 180°).

Ângulos Colaterais Externos

Estão do mesmo lado da transversal, fora das paralelas. São suplementares (sua soma é 180°).

Condição de Existência de um Triângulo

A medida de qualquer lado deve ser menor que a soma das medidas dos outros dois lados (a < b + c).

Exemplo da Regra de Existência

Lados 3, 4 e 5 formam triângulo (5 < 3+4). Lados 1, 2 e 4 NÃO formam triângulo (4 > 1+2).

Soma dos Ângulos Internos do Triângulo

A soma dos três ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180°.

Soma dos Ângulos Externos do Triângulo

A soma dos ângulos externos de qualquer triângulo (um por vértice) é sempre 360°.

Teorema do Ângulo Externo

A medida de um ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.

Triângulo Escaleno

Possui os três lados com medidas diferentes. Consequentemente, os três ângulos internos também são diferentes.

Triângulo Isósceles

Possui pelo menos dois lados congruentes. Os ângulos da base (opostos aos lados iguais) são congruentes.

Triângulo Equilátero

Possui os três lados congruentes. Todos os seus três ângulos internos medem exatamente 60°.

Triângulo Acutângulo

Triângulo que possui os três ângulos internos agudos (todos menores que 90°).

Triângulo Retângulo

Possui um ângulo interno reto (90°). O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa; os outros são catetos.

Triângulo Obtusângulo

Possui um ângulo interno obtuso (maior que 90°). Os outros dois ângulos são obrigatoriamente agudos.

Teorema de Pitágoras

No triângulo retângulo: hipotenusa² = cateto¹² + cateto²². Exemplo: 5² = 3² + 4² (25 = 9 + 16).

Mediana de um Triângulo

Segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto.

Baricentro

Ponto de encontro das três medianas de um triângulo. É o centro de gravidade ou ponto de equilíbrio.

Propriedade do Baricentro

O baricentro divide cada mediana na razão 2:1. A distância do vértice ao baricentro é o dobro da distância ao ponto médio.

Bissetriz Interna do Triângulo

Segmento que parte de um vértice, divide seu ângulo interno ao meio e vai até o lado oposto.

Incentro

Ponto de encontro das três bissetrizes internas. É o centro da circunferência inscrita no triângulo.

Propriedade do Incentro

O incentro é equidistante dos três lados do triângulo.

Mediatriz de um Segmento

Reta perpendicular a um segmento que passa exatamente pelo seu ponto médio.

Circuncentro

Ponto de encontro das três mediatrizes dos lados do triângulo. É o centro da circunferência circunscrita.

Propriedade do Circuncentro

O circuncentro é equidistante dos três vértices do triângulo.

Posição do Circuncentro no Triângulo Retângulo

O circuncentro de um triângulo retângulo fica exatamente no ponto médio da hipotenusa.

Posição do Circuncentro no Triângulo Obtusângulo

O circuncentro de um triângulo obtusângulo fica localizado na região externa do triângulo.

Altura de um Triângulo

Segmento perpendicular que liga um vértice à reta suporte do lado oposto.

Ortocentro

Ponto de encontro das três alturas (ou de suas retas suporte) de um triângulo.

Posição do Ortocentro no Triângulo Retângulo

O ortocentro de um triângulo retângulo coincide com o vértice do ângulo reto.

Posição do Ortocentro no Triângulo Obtusângulo

O ortocentro de um triângulo obtusângulo fica localizado na região externa do triângulo.

Pontos Notáveis no Triângulo Equilátero

No triângulo equilátero, o Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro coincidem no mesmo ponto.

Reta de Euler

Reta que passa pelo Baricentro, Ortocentro e Circuncentro de qualquer triângulo não equilátero.

Ângulos Complementares

Dois ângulos cuja soma das medidas é igual a 90°. Exemplo: 30° e 60°.

Ângulos Suplementares

Dois ângulos cuja soma das medidas é igual a 180°. Exemplo: 110° e 70°.

Ângulos Replementares

Dois ângulos cuja soma das medidas é igual a 360°. Exemplo: 100° e 260°.

Aplicações do Baricentro na Física

Usado na engenharia e navegação para determinar o centro de massa e garantir estabilidade estrutural.