Geometria Espacial: Áreas e Volumes

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Cubo: Volume

Fórmula: V = a³. Multiplica-se a aresta três vezes por si mesma. Exemplo: se a = 3 cm, então V = 3³ = 27 cm³.

Cubo: Área Total

Fórmula: At = 6 * a². É a soma das áreas dos 6 quadrados congruentes das faces. Exemplo: para a = 4 m, At = 6 * (4²) = 6 * 16 = 96 m².

Cubo: Área Lateral

Fórmula: Al = 4 * a². Soma das 4 faces laterais. Exemplo: se a = 5 cm, Al = 4 * (5²) = 4 * 25 = 100 cm².

Cubo: Diagonal do Cubo

Fórmula: D = a * raiz(3). Distância entre dois vértices opostos. Exemplo: se aresta a = 2 m, D = 2 * raiz(3) m.

Cubo: Diagonal de uma Face

Fórmula: d = a * raiz(2). Diagonal de qualquer quadrado exterior. Exemplo: com a = 6 cm, d = 6 * raiz(2) cm.

Paralelepípedo Retângulo: Volume

Fórmula: V = a * b * c. Produto das três dimensões (comprimento, largura, altura). Exemplo: a = 2, b = 3, c = 5 m -> V = 2 * 3 * 5 = 30 m³.

Paralelepípedo Retângulo: Área Total

Fórmula: At = 2 * (ab + bc + ac). Soma das áreas das 6 faces (três pares iguais). Exemplo: a = 1, b = 2, c = 3 -> At = 2*(2 + 6 + 3) = 22 m².

Paralelepípedo Retângulo: Diagonal

Fórmula: D = raiz(a² + b² + c²). Segmento ligando vértices opostos. Exemplo: dimensões 2, 3 e 6 cm -> D = raiz(4 + 9 + 36) = raiz(49) = 7 cm.

Prisma Reto Regular: Volume

Fórmula: V = Ab * h. Produto da área da base pela altura. Exemplo: base com área 15 cm² e altura 8 cm -> V = 15 * 8 = 120 cm³.

Prisma Reto Regular: Área Lateral

Fórmula: Al = 2p * h (perímetro da base * altura). Soma das faces retangulares. Exemplo: base triangular equilátera de lado 3 e h = 10 -> Al = 9 * 10 = 90.

Prisma Reto Regular: Área Total

Fórmula: At = Al + 2 * Ab. Soma da área lateral com as duas bases. Exemplo: Al = 50 cm² e Ab = 12 cm² -> At = 50 + 2 * 12 = 74 cm².

Prisma Triangular Regular: Volume

Fórmula: V = [a² * raiz(3) / 4] * h. Base equilátera vezes altura. Exemplo: aresta da base 2 cm e h = 5 cm -> V = [4*raiz(3)/4]*5 = 5*raiz(3) cm³.

Prisma Hexagonal Regular: Volume

Fórmula: V = [6 * a² * raiz(3) / 4] * h. Área do hexágono vezes a altura. Exemplo: se Ab = 10 m² e h = 4 m -> V = 10 * 4 = 40 m³.

Cilindro Reto: Volume

Fórmula: V = pi * r² * h. Área da base circular vezes a altura. Exemplo: raio r = 2 cm e h = 5 cm -> V = pi * 4 * 5 = 20*pi cm³.

Cilindro Reto: Área Lateral

Fórmula: Al = 2 * pi * r * h. Perímetro da base vezes altura. Exemplo: r = 3 cm e h = 4 cm -> Al = 2 * pi * 3 * 4 = 24*pi cm².

Cilindro Reto: Área Total

Fórmula: At = 2*pi*r*(h + r). Soma da área lateral com as duas bases circulares. Exemplo: r = 2 e h = 3 -> At = 2*pi*2*(3 + 2) = 20*pi cm².

Cilindro Equilátero: Definição e Volume

Fórmula: h = 2r; V = 2 * pi * r³. Altura igual ao diâmetro da base. Exemplo: r = 3 cm -> h = 6 cm -> V = pi * 9 * 6 = 54*pi cm³.

Cilindro Equilátero: Área Total

Fórmula: At = 6 * pi * r². Obtida substituindo h = 2r em 2*pi*r*(h+r). Exemplo: r = 2 m -> At = 6 * pi * 4 = 24*pi m².

Cone Reto: Relação Fundamental (Geratriz)

Fórmula: g² = h² + r². Teorema de Pitágoras entre raio, altura e geratriz. Exemplo: r = 3 e h = 4 -> g = raiz(9 + 16) = 5 cm.

Cone Reto: Volume

Fórmula: V = (1/3) * pi * r² * h. Um terço do volume do cilindro circunscrito. Exemplo: r = 3 cm, h = 6 cm -> V = (1/3)*pi*9*6 = 18*pi cm³.

Cone Reto: Área Lateral

Fórmula: Al = pi * r * g. Produto de pi, raio da base e geratriz. Exemplo: r = 4 cm e geratriz g = 5 cm -> Al = pi * 4 * 5 = 20*pi cm².

Cone Reto: Área Total

Fórmula: At = pi * r * (g + r). Soma da área lateral com a base circular. Exemplo: r = 3 e g = 5 -> At = pi * 3 * (5 + 3) = 24*pi cm².

Cone Equilátero: Propriedades

Fórmula: g = 2r e h = r * raiz(3). A seção meridiana é um triângulo equilátero. Exemplo: r = 4 cm -> g = 8 cm e h = 4*raiz(3) cm.

Pirâmide Qualquer: Volume

Fórmula: V = (1/3) * Ab * h. Um terço da área da base pela altura vertical. Exemplo: base de 30 cm² e h = 10 cm -> V = (1/3) * 30 * 10 = 100 cm³.

Pirâmide Regular: Área Lateral

Fórmula: Al = n * (aresta_base * apótema_pirâmide / 2). Soma dos triângulos isósceles. Exemplo: 4 faces com b = 6 e ap = 5 -> Al = 4*(6*5/2) = 60 cm².

Pirâmide Regular: Relação dos Apótemas

Fórmula: g² = h² + m² (onde g é o apótema da pirâmide e m o da base). Exemplo: h = 4 e m = 3 -> g = raiz(16 + 9) = 5 cm.

Pirâmide de Base Quadrada: Volume

Fórmula: V = (L² * h) / 3. Quadrado do lado da base vezes h sobre 3. Exemplo: L = 6 cm e h = 5 cm -> V = (36 * 5) / 3 = 60 cm³.

Tetraedro Regular: Altura

Fórmula: h = a * raiz(6) / 3. Distância do vértice ao centro da face oposta. Exemplo: aresta a = 6 cm -> h = 6 * raiz(6) / 3 = 2*raiz(6) cm.

Tetraedro Regular: Área Total

Fórmula: At = a² * raiz(3). Soma de 4 triângulos equiláteros. Exemplo: aresta a = 2 m -> At = 2² * raiz(3) = 4*raiz(3) m².

Tetraedro Regular: Volume

Fórmula: V = a³ * raiz(2) / 12. Volume do poliedro de 4 faces equiláteras. Exemplo: aresta a = 3 cm -> V = 27 * raiz(2) / 12 = 2,25*raiz(2) cm³.

Esfera: Volume

Fórmula: V = (4/3) * pi * r³. Espaço tridimensional contido na esfera. Exemplo: r = 3 cm -> V = (4/3) * pi * 27 = 36*pi cm³.

Esfera: Área da Superfície

Fórmula: A = 4 * pi * r². Área da superfície esférica externa. Exemplo: r = 5 cm -> A = 4 * pi * 25 = 100*pi cm².

Hemisfério (Sólido): Volume

Fórmula: V = (2/3) * pi * r³. Metade do volume de uma esfera. Exemplo: r = 3 cm -> V = (2/3) * pi * 27 = 18*pi cm³.

Hemisfério (Sólido): Área Total

Fórmula: At = 3 * pi * r². Casca esférica (2*pi*r²) + círculo basal (pi*r²). Exemplo: r = 2 m -> At = 3 * pi * 4 = 12*pi m².

Fuso Esférico: Área

Fórmula: A = (alpha * pi * r²) / 90 (com alpha em graus). Superfície entre dois meridianos. Exemplo: alpha = 90 graus e r = 2 -> A = 90*pi*4/90 = 4*pi.

Cunha Esférica: Volume

Fórmula: V = (alpha * pi * r³) / 270 (com alpha em graus). Volume do gomo esférico. Exemplo: alpha = 60 graus, r = 3 -> V = 60*pi*27/270 = 6*pi.

Tronco de Cone: Volume

Fórmula: V = (pi * h / 3) * (R² + R*r + r²). Exemplo: R = 4, r = 2 e h = 3 -> V = (3*pi/3)*(16 + 8 + 4) = 28*pi cm³.

Tronco de Cone: Área Lateral

Fórmula: Al = pi * g * (R + r). Área lateral curva do tronco. Exemplo: geratriz g = 5, R = 4, r = 2 -> Al = pi * 5 * (4 + 2) = 30*pi cm².

Tronco de Cone: Geratriz

Fórmula: g² = h² + (R - r)². Relação pitagórica do corte axial. Exemplo: h = 4, R = 5, r = 2 -> g² = 16 + (3)² = 25 -> g = 5.

Tronco de Pirâmide Regular: Volume

Fórmula: V = (h / 3) * (B + raiz(B * b) + b). B e b são as áreas das bases. Exemplo: B = 16, b = 4 e h = 3 -> V = (3/3)*(16 + 8 + 4) = 28 cm³.

Octaedro Regular: Área Total

Fórmula: At = 2 * a² * raiz(3). Composto por 8 faces de triângulos equiláteros. Exemplo: aresta a = 2 cm -> At = 2 * 4 * raiz(3) = 8*raiz(3) cm².

Octaedro Regular: Volume

Fórmula: V = (a³ * raiz(2)) / 3. Soma de duas pirâmides de base quadrada opostas. Exemplo: a = 3 m -> V = 27 * raiz(2) / 3 = 9*raiz(2) m³.

Dodecaedro Regular: Área Total

Fórmula: At = 3 * raiz(25 + 10*raiz(5)) * a². Soma dos 12 pentágonos regulares das faces. Usada para revestimento externo de dados de 12 faces.

Icosaedro Regular: Área Total

Fórmula: At = 5 * a² * raiz(3). Soma dos 20 triângulos equiláteros das faces. Exemplo: aresta a = 1 m -> At = 5 * 1 * raiz(3) = 5*raiz(3) m².

Relação de Euler para Poliedros Convexos

Fórmula: V - A + F = 2. Número de vértices, arestas e faces. Exemplo: cubo tem V = 8, F = 6 -> 8 - A + 6 = 2 -> A = 12 arestas.

Soma dos Ângulos das Faces de um Poliedro

Fórmula: S = (V - 2) * 360 graus. Exemplo: octaedro regular possui 6 vértices -> S = (6 - 2) * 360 = 4 * 360 = 1440 graus.

Razão de Semelhança: Comprimento vs Volume

Fórmula: V1 / V2 = k³. Se dimensões lineares dobram (k = 2), o volume multiplica por 8. Exemplo: aresta do cubo duplica -> volume aumenta 2³ = 8 vezes.

Razão de Semelhança: Comprimento vs Área

Fórmula: A1 / A2 = k². Se o raio da esfera triplica (k = 3), a área superficial se multiplica por 3² = 9 vezes a original.

Secção Transversal da Esfera

Fórmula: R² = r² + d². Relaciona raio da esfera R, raio do corte r e distância d do centro. Exemplo: R = 5, d = 3 -> r = raiz(25 - 9) = 4 cm.

Calota Esférica: Volume

Fórmula: V = (pi * h² / 3) * (3R - h). Região da esfera interceptada por um plano. Exemplo: esfera de R = 10 cortada com altura h = 2 -> calcula volume parcial.

Calota Esférica: Área

Fórmula: A = 2 * pi * R * h. Área da superfície curva de corte da esfera. Exemplo: esfera de raio R = 5 e calota com altura h = 2 -> A = 2 * pi * 5 * 2 = 20*pi.

Toro Circular (Donut): Volume

Fórmula: V = 2 * pi² * R * r². Teorema de Pappus: R é raio do centro ao tubo, r é raio do tubo. Exemplo: R = 10, r = 2 -> V = 2 * pi² * 10 * 4 = 80*pi².