Geometria Espacial de Posição 2

Cartões · 55

Entes primitivos da geometria

Ponto, reta e plano: noções geométricas aceitas intuitivamente sem a necessidade de definição formal.

Espaço geométrico

Conjunto infinito de todos os pontos existentes na geometria espacial tridimensional.

Postulado da existência de pontos na reta

Em qualquer reta, assim como fora dela, existem infinitos pontos.

Postulado da existência de pontos no plano

Em qualquer plano, assim como fora dele, existem infinitos pontos.

Postulado da determinação da reta

Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.

Pontos colineares

Pontos que pertencem a uma mesma reta.

Pontos coplanares

Pontos que pertencem a um mesmo plano.

Postulado da determinação do plano por três pontos

Três pontos distintos e não colineares determinam um único plano.

Determinação do plano por reta e ponto

Uma reta e um ponto fora dela determinam um único plano.

Determinação do plano por duas retas concorrentes

Duas retas que se interceptam em um único ponto determinam um único plano.

Determinação do plano por retas paralelas distintas

Duas retas paralelas distintas determinam um único plano.

Postulado da inclusão de reta no plano

Se uma reta possui dois pontos distintos em um plano, ela está inteiramente contida nesse plano.

Posições relativas entre duas retas

Podem ser coplanares (concorrentes, paralelas distintas ou coincidentes) ou reversas.

Retas concorrentes

Retas coplanares que possuem exatamente um único ponto em comum.

Retas paralelas distintas

Retas coplanares que não possuem nenhum ponto em comum.

Retas coincidentes

Retas coplanares que compartilham todos os seus infinitos pontos.

Retas reversas

Retas não coplanares que não se interceptam e não têm direção paralela.

Posições relativas entre reta e plano

A reta pode estar contida no plano, ser secante (concorrente) ao plano ou ser paralela ao plano.

Reta contida no plano

Reta que possui todos os seus infinitos pontos pertencentes ao plano.

Reta secante (ou concorrente) ao plano

Reta que intercepta o plano em exatamente um único ponto (traço da reta).

Reta paralela ao plano

Reta que não possui nenhum ponto em comum com o plano.

Critério de paralelismo entre reta e plano

Uma reta externa a um plano é paralela a ele se for paralela a pelo menos uma reta contida nesse plano.

Posições relativas entre dois planos

Podem ser secantes (concorrentes), paralelos distintos ou paralelos coincidentes.

Planos secantes

Dois planos cuja intersecção é exatamente uma única reta.

Postulado da intersecção de planos

Se dois planos distintos têm um ponto em comum, a intersecção deles é uma reta que passa por esse ponto.

Planos paralelos distintos

Dois planos que não possuem nenhum ponto em comum.

Planos coincidentes

Planos que possuem todos os seus pontos em comum, representando o mesmo plano.

Critério de paralelismo entre dois planos

Se um plano contém duas retas concorrentes paralelas a outro plano, os dois planos são paralelos.

Postulado de Euclides (Playfair) no espaço

Por um ponto fora de uma reta, passa uma única reta paralela à reta dada no mesmo plano.

Unicidade do plano paralelo

Por um ponto fora de um plano dado, passa um único plano paralelo ao plano dado.

Transitividade do paralelismo de retas

Se duas retas distintas são paralelas a uma terceira reta, elas são paralelas entre si.

Transitividade do paralelismo de planos

Se dois planos distintos são paralelos a um terceiro plano, eles são paralelos entre si.

Intersecção de um plano com planos paralelos

Se um terceiro plano intercepta dois planos paralelos distintos, as retas de intersecção são paralelas.

Retas ortogonais

Retas reversas ou concorrentes cujos vetores diretores formam um ângulo reto (90 graus).

Diferença entre retas perpendiculares e ortogonais

Retas perpendiculares são concorrentes e formam 90 graus; retas ortogonais formam 90 graus e podem ser reversas.

Reta perpendicular a um plano

Reta que é perpendicular ou ortogonal a todas as retas contidas no plano.

Critério de perpendicularidade de reta e plano

Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano no ponto de encontro, é perpendicular ao plano.

Planos perpendiculares

Dois planos são perpendiculares se um deles contém uma reta que é perpendicular ao outro plano.

Teorema das três perpendiculares

Se uma reta r é perpendicular a um plano alfa e do pé traça-se uma perpendicular a s em alfa, a reta oblíqua é perpendicular a s.

Projeção ortogonal de um ponto sobre um plano

É o ponto de intersecção do plano com a reta perpendicular ao plano traçada a partir do ponto dado.

Projeção ortogonal de uma reta sobre um plano

É o conjunto das projeções ortogonais de todos os seus pontos, sendo uma reta ou um único ponto.

Ângulo entre reta e plano

É o ângulo agudo formado entre a reta secante e sua projeção ortogonal sobre o referido plano.

Semiplano

Cada uma das duas regiões em que um plano fica dividido por uma reta contida nele (reta de origem).

Semiespaço

Cada uma das duas regiões infinitas em que o espaço tridimensional fica dividido por um plano.

Ângulo diedro (ou diedro)

Figura geométrica formada pela união de dois semiplanos com a mesma reta de origem (aresta).

Secção reta de um diedro

Ângulo plano formado pela intersecção do diedro com um plano perpendicular à sua aresta.

Medida de um diedro

A medida do ângulo diedro é igual à medida angular de sua secção reta correspondente.

Ângulo triedro

Figura espacial formada por três semirretas de mesma origem não coplanares e os ângulos entre elas.

Feixe de planos

Conjunto de todos os planos distintos que contêm uma mesma reta comum (eixo do feixe).

Retas concorrentes determinam quantas retas paralelas?

Por um ponto exterior a ambas, passa no máximo uma reta paralela a cada uma das retas dadas.

Condição para retas serem coplanares

Duas retas são coplanares se e somente se forem concorrentes, paralelas ou coincidentes.

Distância entre ponto e plano

Comprimento do segmento perpendicular traçado do ponto até o ponto de intersecção com o plano.

Distância entre dois planos paralelos

Comprimento do segmento perpendicular comum compreendido entre os dois planos paralelos.

Distância entre duas retas reversas

Comprimento do único segmento de reta perpendicular comum que intercepta ambas as retas reversas.

Plano mediador de um segmento

Plano perpendicular a um segmento que passa exatamente pelo seu ponto médio.