Geometria Espacial: Poliedros e Volumes

Cartões · 56

Poliedro

Sólido geométrico espacial delimitado por polígonos planos que compartilham arestas comuns.

Elementos de um poliedro

Vértices (pontos de encontro das arestas), arestas (segmentos de reta) e faces (polígonos planos).

Poliedro convexo

Poliedro onde qualquer segmento conectando dois de seus pontos fica inteiramente contido nele.

Relação de Euler

V - A + F = 2, válida para poliedros convexos fechados (Vértices, Arestas, Faces).

Cálculo do número de arestas (A)

2A = soma do número de lados de todas as faces (ou soma das valências de todos os vértices).

Soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo

S = (V - 2) * 360°, onde V é o número total de vértices do poliedro.

Condições para um Poliedro de Platão

É convexo, todas as faces têm o mesmo número de lados e em cada vértice concorre o mesmo número de arestas.

Quantos são os Poliedros de Platão?

Exatamente 5: tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Tetraedro regular

Poliedro de Platão com 4 faces triangulares regulares, 4 vértices e 6 arestas.

Hexaedro regular (Cubo)

Poliedro de Platão com 6 faces quadradas, 8 vértices e 12 arestas.

Octaedro regular

Poliedro de Platão com 8 faces triangulares regulares, 6 vértices e 12 arestas.

Dodecaedro regular

Poliedro de Platão com 12 faces pentagonais regulares, 20 vértices e 30 arestas.

Icosaedro regular

Poliedro de Platão com 20 faces triangulares regulares, 12 vértices e 30 arestas.

Poliedros duais de Platão

O cubo é dual do octaedro; o dodecaedro é dual do icosaedro; o tetraedro é auto-dual.

Prisma

Poliedro com duas bases poligonais paralelas e congruentes, e faces laterais paralelogrâmicas.

Prisma reto

Prisma cujas arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases; as faces laterais são retângulos.

Prisma oblíquo

Prisma cujas arestas laterais não formam ângulo reto com as bases.

Prisma regular

Prisma reto cujas bases são polígonos regulares congruentes.

Área lateral do prisma reto (Al)

Al = 2p * h, onde 2p é o perímetro da base e h é a altura do prisma.

Área total do prisma (At)

At = Al + 2 * Ab, onde Al é a área lateral e Ab é a área de uma base.

Volume do prisma (geral)

V = Ab * h, produto da área da base pela altura.

Volume do paralelepípedo retângulo

V = a * b * c, produto das três dimensões (comprimento, largura e altura).

Diagonal do paralelepípedo retângulo

D = raiz quadrada de (a² + b² + c²).

Área total do paralelepípedo retângulo

At = 2 * (ab + ac + bc).

Volume do cubo de aresta a

V = a³.

Área total do cubo de aresta a

At = 6 * a².

Diagonal do cubo de aresta a

D = a * raiz quadrada de 3.

Volume do prisma triangular regular

V = ((a² * raiz de 3) / 4) * h, onde a é a aresta da base e h é a altura.

Volume do prisma hexagonal regular

V = (6 * (a² * raiz de 3) / 4) * h = ((3 * a² * raiz de 3) / 2) * h.

Pirâmide

Poliedro delimitado por uma base poligonal e faces laterais triangulares unidas em um vértice comum.

Pirâmide reta

Pirâmide cuja projeção ortogonal do vértice coincide com o centro da base.

Pirâmide regular

Pirâmide reta cuja base é um polígono regular; todas as faces laterais são triângulos isósceles congruentes.

Apótema da pirâmide regular (g)

Altura relativa à base de qualquer uma das faces laterais triangulares.

Relação métrica na pirâmide regular (altura, apótema da pirâmide e da base)

g² = h² + m², onde g é o apótema da pirâmide, h a altura e m o apótema da base.

Relação métrica na pirâmide regular (aresta lateral, altura e raio)

L² = h² + R², onde L é a aresta lateral, h a altura e R o raio da circunferência circunscrita à base.

Área lateral da pirâmide regular (Al)

Al = p * g, semiperímetro da base multiplicado pelo apótema da pirâmide.

Área total da pirâmide (At)

At = Al + Ab, soma da área lateral com a área da base.

Volume da pirâmide (fórmula geral)

V = (1/3) * Ab * h, um terço do produto da área da base pela altura.

Altura do tetraedro regular de aresta a

h = (a * raiz quadrada de 6) / 3.

Área total do tetraedro regular de aresta a

At = a² * raiz quadrada de 3.

Volume do tetraedro regular de aresta a

V = (a³ * raiz quadrada de 2) / 12.

Volume do octaedro regular de aresta a

V = (a³ * raiz quadrada de 2) / 3, equivalente ao dobro de uma pirâmide quadrangular regular.

Seção transversal de uma pirâmide

Interseção da pirâmide por um plano paralelo à base, gerando um polígono semelhante à base.

Semelhança de pirâmides (razão linear k)

k = h_menor / h_maior = aresta_menor / aresta_maior.

Relação entre áreas em pirâmides semelhantes

Ab_menor / Ab_maior = k² = (h_menor / h_maior)².

Relação entre volumes em pirâmides semelhantes

V_menor / V_maior = k³ = (h_menor / h_maior)³.

Volume da pirâmide recortada no topo

V_topo = V_total * (h_topo / H)³.

Tronco de pirâmide de bases paralelas

Sólido delimitado pela base original de uma pirâmide e uma seção transversal plana paralela a ela.

Faces laterais de um tronco de pirâmide regular

Trapézios isósceles congruentes.

Apótema do tronco de pirâmide regular

Altura do trapézio que forma a face lateral do tronco.

Relação métrica no tronco de pirâmide regular

g_t² = h_t² + (m1 - m2)², onde g_t é o apótema do tronco, h_t a altura e m1, m2 os apótemas das bases.

Área lateral do tronco de pirâmide regular

Al = (p1 + p2) * g_t, soma dos semiperímetros das duas bases multiplicada pelo apótema do tronco.

Área total do tronco de pirâmide

At = Al + B + b, soma da área lateral com a área da base maior (B) e da base menor (b).

Fórmula do volume do tronco de pirâmide

V = (h / 3) * (B + raiz quadrada de (B * b) + b), onde B e b são as áreas das bases e h é a altura.

Volume do tronco via diferença de volumes

V_tronco = V_total - V_topo, diferença entre a pirâmide original e a pirâmide semelhante retirada.

Princípio de Cavalieri

Dois sólidos com mesma altura têm volumes iguais se seções planas paralelas às bases à mesma altura têm áreas iguais.