Geometria para o Enem

Cartões · 50

Área do retângulo (A = b · h)

Terreno de 20 m por 15 m terá grama a 5 reais o m². Área: 20 · 15 = 300 m². Custo total: 300 · 5 = 1500 reais.

Área do quadrado (A = L²)

Piso quadrado de lado 6 m receberá lajotas. A área é 6² = 36 m². Com lajotas de 1 m², serão necessárias 36 peças.

Área do paralelogramo (A = b · h)

Painel solar com base de 3 m e altura perpendicular de 1,5 m. Área: 3 · 1,5 = 4,5 m² de captação de energia solar.

Área do triângulo qualquer (A = (b · h) / 2)

Canteiro triangular com base de 8 m e altura de 5 m. Cálculo da área: (8 · 5) / 2 = 20 m² de terra necessária.

Área do triângulo equilátero (A = (L² · √3) / 4)

Placa de trânsito equilátera de lado 40 cm. Com √3 = 1,7: (1600 · 1,7) / 4 = 400 · 1,7 = 680 cm² de chapa metálica.

Área do trapézio (A = ((B + b) · h) / 2)

Rampa com base maior 10 m, menor 6 m e altura 4 m. Área: ((10 + 6) · 4) / 2 = (16 · 4) / 2 = 32 m² de asfalto.

Área do losango (A = (D · d) / 2)

Pipa com varetas diagonais de 50 cm e 30 cm. Quantidade de papel de seda: (50 · 30) / 2 = 750 cm² de material.

Área do círculo (A = π · r²)

Irrigador circular com raio de alcance de 10 m. Com π = 3,14: Área = 3,14 · 10² = 3,14 · 100 = 314 m² irrigados.

Comprimento da circunferência (C = 2 · π · r)

Pista circular de raio 50 m. Com π = 3: uma volta mede 2 · 3 · 50 = 300 m. Dez voltas totalizam 3000 metros.

Área do setor circular (A = (θ/360°) · π · r²)

Fatia de pizza com ângulo central de 60° e raio 12 cm. Razão: 60/360 = 1/6. Com π = 3: (1/6) · 3 · 144 = 72 cm².

Teorema de Pitágoras (a² = b² + c²)

Escada de 5 m encostada na parede a 3 m do chão. Distância da base: 5² = 3² + c² => 25 = 9 + c² => c = √16 = 4 m.

Soma dos ângulos internos de um triângulo (S = 180°)

Telhado triangular com dois ângulos de apoio de 35° e 65°. O ângulo de vértice é: 180° - (35° + 65°) = 80°.

Soma dos ângulos internos de polígono convexo (S = (n - 2) · 180°)

Praça hexagonal (n = 6). A soma de todos os seus ângulos internos é: (6 - 2) · 180° = 4 · 180° = 720°.

Ângulo interno de polígono regular (Ai = ((n - 2) · 180°) / n)

Ladrilho octogonal regular (n = 8). Cada ângulo mede: ((8 - 2) · 180°) / 8 = 1080° / 8 = 135°.

Número de diagonais de um polígono (d = n · (n - 3) / 2)

Rede de comunicação entre 10 antenas (decágono). Linhas internas diretas possíveis: 10 · (10 - 3) / 2 = 35 conexões.

Teorema de Tales (feixe de paralelas)

Lotes paralelos com frentes de 15 m e 25 m. Se o fundo do primeiro mede 18 m: 15/25 = 18/x => x = 450/15 = 30 m.

Semelhança de triângulos (razão k)

Poste e vara projetam sombras simultâneas de 6 m e 1,5 m. Se a vara tem 2 m: h/2 = 6/1,5 => h = 2 · 4 = 8 metros.

Razão entre áreas de figuras semelhantes (k²)

Mapa na escala 1:100 (k = 1/100). Uma sala mede 4 cm² no papel. Na realidade tem 4 · 100² = 40.000 cm² = 4 m².

Razão trigonométrica no triângulo retângulo: Seno (cat. oposto / hipotenusa)

Rampa inclinada a 30° com 10 m de comprimento. Seno 30° = 0,5. Altura atingida: h = 10 · sen(30°) = 5 metros.

Razão trigonométrica no triângulo retângulo: Cosseno (cat. adjacente / hipotenusa)

Cabo de aço de 20 m a 60° com o solo (cos 60° = 0,5). Distância horizontal do ponto de fixação: 20 · 0,5 = 10 m.

Razão trigonométrica no triângulo retângulo: Tangente (cat. oposto / cat. adjacente)

Observador a 30 m de um prédio o vê sob ângulo de 45° (tg 45° = 1). Altura do prédio: h = 30 · tg(45°) = 30 metros.

Área do triângulo com seno (A = (a · b · sen θ) / 2)

Lote delimitado por lados de 6 m e 8 m com ângulo de 30° entre eles. Área: (6 · 8 · 0,5) / 2 = 24 / 2 = 12 m².

Volume do cubo (V = a³)

Reservatório cúbico com aresta interna de 2 m. Capacidade volumétrica: 2³ = 8 m³. Em litros: 8 · 1000 = 8000 L.

Área total do cubo (At = 6 · a²)

Caixa de madeira de aresta 0,5 m a ser pintada. Área de pintura: 6 · (0,5)² = 6 · 0,25 = 1,5 m² de tinta.

Diagonal do cubo (d = a · √3)

Vara a ser guardada dentro de um baú cúbico de 1 m de aresta. Comprimento máximo: 1 · √3 ≈ 1,73 metro.

Volume do paralelepípedo reto-retângulo (V = a · b · c)

Piscina com 10 m de comprimento, 4 m de largura e 1,5 m de profundidade. Volume: 10 · 4 · 1,5 = 60 m³ = 60.000 L.

Área total do paralelepípedo (At = 2 · (ab + bc + ac))

Tijolo de dimensões 20 cm, 10 cm e 5 cm. Área externa: 2 · (200 + 50 + 100) = 2 · 350 = 700 cm² para impermeabilizar.

Diagonal do paralelepípedo (d = √(a² + b² + c²))

Caixa com lados 3 cm, 4 cm e 12 cm. O maior espeto suportado mede: √(3² + 4² + 12²) = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 cm.

Volume do cilindro (V = π · r² · h)

Tambor cilíndrico com raio de 2 m e altura de 3 m (π = 3). Volume: 3 · (2)² · 3 = 3 · 4 · 3 = 36 m³ = 36.000 L.

Área lateral do cilindro (Al = 2 · π · r · h)

Rótulo de lata cilíndrica de raio 5 cm e altura 10 cm (π = 3,14). Área do rótulo: 2 · 3,14 · 5 · 10 = 314 cm².

Área total do cilindro (At = 2 · π · r · (h + r))

Silo fechado com r = 1 m e h = 4 m (π = 3). Chapa de metal para construir: 2 · 3 · 1 · (4 + 1) = 6 · 5 = 30 m².

Volume do cone (V = (π · r² · h) / 3)

Casquinha de sorvete de raio 3 cm e altura 10 cm (π = 3). Capacidade: (3 · 3² · 10) / 3 = 90 cm³ de massa.

Relação fundamental do cone reto (g² = h² + r²)

Cone com raio 6 cm e altura 8 cm. A geratriz necessária para calcular a área lateral é: g² = 6² + 8² = 100 => g = 10 cm.

Área lateral do cone (Al = π · r · g)

Chapéu de festa cônico com raio 7 cm e geratriz 20 cm (π = 3). Cartolina gasta: 3 · 7 · 20 = 420 cm² por unidade.

Volume da esfera (V = (4 · π · r³) / 3)

Bola esférica com raio de 3 cm (π = 3). Volume interno: (4 · 3 · 3³) / 3 = 4 · 27 = 108 cm³ de ar comprimido.

Área da superfície esférica (A = 4 · π · r²)

Globo terrestre de raio 10 cm (π = 3,14). Plástico para revestir: 4 · 3,14 · 10² = 4 · 3,14 · 100 = 1256 cm².

Volume da pirâmide reta (V = (Ab · h) / 3)

Monumento com base quadrada de 6 m de lado e altura 10 m. Ab = 36 m². Volume: (36 · 10) / 3 = 120 m³ de concreto.

Relação de Euler para poliedros convexos (V - A + F = 2)

Poliedro tem 8 vértices e 6 faces (cubo). Número de arestas: 8 - A + 6 = 2 => 14 - A = 2 => A = 12 arestas.

Razão entre volumes de sólidos semelhantes (k³)

Miniatura em escala 1:10 (k = 1/10). Se o original tem 5.000 litros, o modelo comporta: 5000 · (1/10)³ = 5000/1000 = 5 L.

Conversão: Metros cúbicos para Litros (1 m³ = 1000 L)

Caminhão pipa despeja 4,5 m³ de água em um reservatório. Capacidade recebida em litros: 4,5 · 1000 = 4500 litros.

Conversão: Centímetros cúbicos para Mililitros (1 cm³ = 1 mL)

Seringa tem volume interno medido em 15 cm³. A dose líquida injetável correspondente é diretamente de 15 mL.

Conversão: Decímetros cúbicos para Litros (1 dm³ = 1 L)

Aquário de dimensões 5 dm por 4 dm por 3 dm. Volume: 5 · 4 · 3 = 60 dm³, o que equivale a exatamente 60 litros.

Projeção ortogonal sobre o plano

Hélice inclinada girando sob sol a pino. A sombra projetada no chão plano horizontal desenha um segmento ou elipse.

Tronco de pirâmide: V = (h/3) · (Ab + √(Ab·ab) + ab)

Vaso com bases quadradas de lados 4 m (Ab=16) e 2 m (ab=4) e h=3. V = (3/3)·(16 + √(64) + 4) = 16 + 8 + 4 = 28 m³.

Tronco de cone: V = (π · h / 3) · (R² + R·r + r²)

Balde com R=30 cm, r=10 cm e h=30 cm (π=3). Volume: (3·30/3) · (900 + 300 + 100) = 30 · 1300 = 39.000 cm³ = 39 L.

Área de coroa circular (A = π · (R² - r²))

Pista circular entre raios 10 m e 8 m (π = 3,14). Área transitável: 3,14 · (100 - 64) = 3,14 · 36 = 113,04 m².

Perímetro e vedação (P = soma dos lados)

Cerca de 4 fios para lote retangular de 30 m por 20 m. Perímetro: 2·(30+20) = 100 m. Arame: 100 · 4 = 400 metros.

Planificação de sólidos geométricos

Embalagem de pasta de dente tem 6 faces retangulares opostas congruentes. Ao ser desdobrada, forma um paralelepípedo.

Relação métrica no triângulo retângulo (h² = m · n)

A projeção da altura divide a hipotenusa em trechos de 9 cm e 4 cm. A altura relativa à hipotenusa é: h = √(9 · 4) = 6 cm.

Princípio de Cavalieri (equivalência de volumes)

Dois sólidos de mesma altura têm secções planas de mesma área em todo nível horizontal. Logo, têm volumes iguais.