Geometria Plana e Analítica (Fuvest)

Cartões · 50

Soma dos ângulos internos de um triângulo

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo plano sempre resulta em 180°.

Soma dos ângulos internos de um polígono convexo

S = (n - 2) * 180°, onde n representa o número de lados do polígono.

Número de diagonais de um polígono convexo

D = [n * (n - 3)] / 2, onde n é o total de lados ou vértices.

Teorema de Pitágoras

a² = b² + c²; aplicável exclusivamente a triângulos retângulos, onde a é a hipotenusa.

Relações métricas no triângulo retângulo: altura e projeções

h² = m * n, onde h é a altura relativa à hipotenusa, e m e n são as projeções dos catetos.

Relações métricas no triângulo retângulo: cateto e projeção

b² = a * m e c² = a * n, onde a é a hipotenusa e m, n são as respectivas projeções.

Relação métrica no triângulo retângulo: produto dos catetos

b * c = a * h, relacionando o produto dos catetos ao produto da hipotenusa pela altura relativa.

Lei dos Cossenos

a² = b² + c² - 2*b*c*cos(A); aplicável a qualquer triângulo conhecendo dois lados e o ângulo entre eles.

Lei dos Senos

a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) = 2R, onde R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

Área do triângulo com seno do ângulo

Área = (a * b * sen(θ)) / 2, válida para quaisquer dois lados e o ângulo compreendido θ.

Fórmula de Heron para área de triângulos

Área = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), em que p = (a + b + c)/2 é o semiperímetro.

Área de triângulo em função do raio inscrito

Área = p * r, onde p é o semiperímetro e r é o raio da circunferência inscrita.

Área de triângulo em função do raio circunscrito

Área = (a * b * c) / (4R), onde R é o raio da circunferência circunscrita.

Área e altura do triângulo equilátero

h = (L * √3) / 2 e Área = (L² * √3) / 4, onde L é o comprimento do lado.

Teorema de Tales

Feixes de retas paralelas cortados por transversais determinam segmentos proporcionais: AB/BC = A'B'/B'C'.

Teorema da Bissetriz Interna

A bissetriz interna divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes: b/c = x/y.

Teorema da Bissetriz Externa

A bissetriz externa divide externamente o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados: b/c = m/n.

Baricentro e razão da mediana

Ponto de encontro das medianas; divide cada mediana na razão 2:1 a partir do vértice correspondente.

Incentro de um triângulo

Ponto de interseção das três bissetrizes internas; centro da circunferência inscrita e equidistante dos lados.

Circuncentro de um triângulo

Interseção das mediatrizes dos lados; centro da circunferência circunscrita e equidistante dos vértices.

Ortocentro de um triângulo

Ponto de encontro das três retas suportes das alturas de um triângulo.

Ângulo inscrito na circunferência

Mede a metade do arco correspondente ou do ângulo central associado: α = (arco)/2.

Ângulo de segmento na circunferência

Ângulo formado por uma corda e uma reta tangente; sua medida é igual à metade do arco subentendido.

Potência de ponto: cordas que se cruzam

PA * PB = PC * PD para duas cordas concorrentes em um ponto P interno ao círculo.

Potência de ponto: reta tangente e reta secante

PT² = PA * PB, sendo PT o segmento tangente e PAB a secante externa.

Quadrilátero inscritível

Um quadrilátero é inscritível se, e somente se, a soma de seus ângulos opostos for igual a 180°.

Teorema de Pitot

Em todo quadrilátero circunscritível, a soma dos lados opostos é igual: AB + CD = BC + DA.

Comprimento e área do setor circular

Comprimento L = θ * R e Área = (θ * R²) / 2, com o ângulo central θ medido em radianos.

Distância entre dois pontos no plano

d = √[(xB - xA)² + (yB - yA)²], decorrente direta do Teorema de Pitágoras no plano cartesiano.

Ponto médio de um segmento

M = ((xA + xB) / 2, (yA + yB) / 2).

Coordenadas do baricentro no plano analítico

G = ((xA + xB + xC) / 3, (yA + yB + yC) / 3).

Alinhamento de três pontos no plano cartesiano

Três pontos A, B e C são colineares se o determinante das coordenadas for identicamente nulo: Det = 0.

Área de triângulo por coordenadas

Área = |D| / 2, onde D é o determinante 3x3 formado pelas coordenadas dos vértices e coluna de 1s.

Equação fundamental da reta (ponto e declividade)

y - y0 = m * (x - x0), onde m é o coeficiente angular e (x0, y0) pertence à reta.

Coeficiente angular da reta

m = tg(θ) = (yB - yA) / (xB - xA), com xB ≠ xA.

Condição de paralelismo entre retas

Duas retas não verticais r e s são paralelas se, e somente se, mr = ms.

Condição de perpendicularismo entre retas

Duas retas oblíquas r e s são perpendiculares se, e somente se, mr * ms = -1.

Equação geral da reta

Ax + By + C = 0, com vetor normal dado por (A, B) e coeficiente angular m = -A/B (para B ≠ 0).

Equação reduzida da reta

y = mx + q, em que m representa a declividade e q o coeficiente linear (interseção com eixo y).

Distância de ponto à reta

d = |A*x0 + B*y0 + C| / √(A² + B²), calculando a distância de (x0, y0) à reta Ax + By + C = 0.

Equação reduzida da circunferência

(x - a)² + (y - b)² = R², onde (a, b) é o centro e R > 0 é o raio.

Identificação de centro e raio na equação geral da circunferência

Em x² + y² - 2ax - 2by + c = 0, o centro é (a, b) e o raio é R = √(a² + b² - c), exigindo radicando positivo.

Posição relativa entre ponto e circunferência

Substitui-se o ponto na equação reduzida: < R² é interno; = R² pertence à borda; > R² é externo.

Posição relativa entre reta e circunferência

Compara-se a distância d do centro à reta com o raio R: d < R (secante), d = R (tangente), d > R (externa).

Equação reduzida da elipse horizontal

(x - x0)²/a² + (y - y0)²/b² = 1, com centro (x0, y0), semieixo maior a horizontal e a² = b² + c².

Relação fundamental da elipse

a² = b² + c², onde a é o semieixo maior, b o semieixo menor e c a distância semifocal.

Excentricidade de uma cônica

e = c / a; na elipse 0 < e < 1, na parábola e = 1, e na hipérbole e > 1.

Relação fundamental da hipérbole

c² = a² + b², onde c é a semidistância focal e 2a é o comprimento do eixo real.

Equação reduzida da hipérbole horizontal

(x - x0)²/a² - (y - y0)²/b² = 1, com focos e vértices dispostos paralelamente ao eixo x.

Equação padrão da parábola de vértice na origem e eixo vertical

x² = 4*p*y, com foco em (0, p) e reta diretriz dada por y = -p.