Geometria Plana e Trigonometria (ENEM e UFRGS)

Cartões · 58

Soma dos ângulos internos de um triângulo

Sempre igual a 180 graus (A + B + C = 180°).

Teorema do Ângulo Externo

A medida de qualquer ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.

Condição de existência de um triângulo

Cada lado deve ser menor que a soma dos outros dois e maior que o módulo da diferença: |b - c| < a < b + c.

Classificação dos triângulos quanto aos lados

Equilátero (3 lados iguais), Isósceles (pelo menos 2 lados iguais) e Escaleno (todos os lados desiguais).

Classificação dos triângulos quanto aos ângulos

Acutângulo (todos agudos < 90°), Retângulo (um ângulo reto = 90°) e Obtusângulo (um ângulo obtuso > 90°).

Teorema de Pitágoras

Em qualquer triângulo retângulo: a² = b² + c² (o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos).

Relações métricas no triângulo retângulo: altura relativa à hipotenusa

h² = m . n (o quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções dos catetos).

Relações métricas no triângulo retângulo: produto dos lados e altura

a . h = b . c (o produto da hipotenusa pela altura relativa é igual ao produto dos dois catetos).

Relações métricas no triângulo retângulo: cateto e projeção

b² = a . m e c² = a . n (o quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela sua projeção).

Pontos notáveis do triângulo: Baricentro (G)

Ponto de encontro das medianas; divide cada mediana na razão 2:1 a partir do vértice.

Pontos notáveis do triângulo: Incentro (I)

Encontro das bissetrizes internas; é o centro da circunferência inscrita no triângulo.

Pontos notáveis do triângulo: Circuncentro (O)

Encontro das mediatrizes dos lados; é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

Pontos notáveis do triângulo: Ortocentro (H)

Ponto de interseção das três retas suportes das alturas do triângulo.

Teorema da Bissetriz Interna

A bissetriz interna divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes: b / c = x / y.

Teorema de Tales

Um feixe de retas paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos diretamente proporcionais.

Casos de semelhança de triângulos

AA (Ângulo-Ângulo), LAL (Lado-Ângulo-Lado proporcional) e LLL (Lado-Lado-Lado proporcional).

Razão entre áreas de figuras semelhantes

Se a razão linear de semelhança é k, a razão entre suas áreas correspondentes é k².

Área do triângulo (fórmula clássica)

A = (base . altura) / 2.

Área do triângulo com seno do ângulo

A = (a . b . sen(θ)) / 2, em que θ é o ângulo compreendido entre os lados a e b.

Fórmula de Heron para área do triângulo

A = √(p . (p - a) . (p - b) . (p - c)), em que p é o semiperímetro: p = (a + b + c) / 2.

Altura do triângulo equilátero de lado L

h = (L . √3) / 2.

Área do triângulo equilátero de lado L

A = (L² . √3) / 4.

Soma dos ângulos internos de um polígono convexo (Si)

Si = (n - 2) . 180°, em que n é o número de lados do polígono.

Soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo (Se)

Se = 360°, independentemente do número de lados.

Ângulo interno de um polígono regular (ai)

ai = [(n - 2) . 180°] / n.

Número de diagonais de um polígono convexo (d)

d = [n . (n - 3)] / 2.

Área do retângulo e do quadrado

Retângulo: A = base . altura; Quadrado: A = L² (com diagonal d = L√2).

Área do paralelogramo

A = base . altura.

Área do losango

A = (D . d) / 2, em que D é a diagonal maior e d é a diagonal menor.

Área do trapézio

A = [(B + b) . h] / 2, em que B é a base maior, b é a base menor e h é a altura.

Área do hexágono regular de lado L

A = 6 . (L² . √3 / 4) = (3L² . √3) / 2 (equivale a 6 triângulos equiláteros).

Comprimento da circunferência

C = 2 . π . r, em que r é o raio.

Área do círculo

A = π . r².

Área do setor circular

A = (θ / 360°) . π . r² (para ângulo em graus) ou A = (α . r²) / 2 (para ângulo em radianos).

Comprimento do arco de circunferência

s = (θ / 360°) . 2 . π . r = α . r (com α em radianos).

Área da coroa circular

A = π . (R² - r²), em que R é o raio maior e r é o raio menor.

Ângulo inscrito na circunferência

Mede metade do ângulo central correspondente: α = (arco AB) / 2.

Potência de ponto: cordas que se cruzam

PA . PB = PC . PD para duas cordas AB e CD que se interceptam no ponto P.

Potência de ponto: reta tangente e reta secante

PT² = PA . PB, sendo PT o segmento tangente e PAB o segmento secante.

Definição trigonométrica: Seno no triângulo retângulo

sen(θ) = Cateto Oposto / Hipotenusa.

Definição trigonométrica: Cosseno no triângulo retângulo

cos(θ) = Cateto Adjacente / Hipotenusa.

Definição trigonométrica: Tangente no triângulo retângulo

tan(θ) = Cateto Oposto / Cateto Adjacente = sen(θ) / cos(θ).

Seno, cosseno e tangente de 30°

sen(30°) = 1/2; cos(30°) = √3/2; tan(30°) = √3/3.

Seno, cosseno e tangente de 45°

sen(45°) = √2/2; cos(45°) = √2/2; tan(45°) = 1.

Seno, cosseno e tangente de 60°

sen(60°) = √3/2; cos(60°) = 1/2; tan(60°) = √3.

Conversão entre graus e radianos

180° equivale a π radianos.

Identidade fundamental da trigonometria

sen²(x) + cos²(x) = 1 para todo arco real x.

Definição de Secante, Cossecante e Cotangente

sec(x) = 1/cos(x); csc(x) = 1/sen(x); cot(x) = 1/tan(x) = cos(x)/sen(x).

Identidades trigonométricas derivadas da fundamental

1 + tan²(x) = sec²(x) e 1 + cot²(x) = csc²(x).

Sinal do Seno e do Cosseno nos quadrantes

Seno é positivo no 1º e 2º quadrantes (eixo Y); Cosseno é positivo no 1º e 4º quadrantes (eixo X).

Fórmula do arco duplo do seno: sen(2x)

sen(2x) = 2 . sen(x) . cos(x).

Fórmula do arco duplo do cosseno: cos(2x)

cos(2x) = cos²(x) - sen²(x) = 2cos²(x) - 1 = 1 - 2sen²(x).

Fórmula da soma de arcos para seno: sen(a ± b)

sen(a ± b) = sen(a) . cos(b) ± sen(b) . cos(a).

Fórmula da soma de arcos para cosseno: cos(a ± b)

cos(a ± b) = cos(a) . cos(b) ∓ sen(a) . sen(b).

Lei dos Senos

a / sen(A) = b / sen(B) = c / sen(C) = 2R, em que R é o raio da circunferência circunscrita.

Lei dos Cossenos

a² = b² + c² - 2 . b . c . cos(A).

Período fundamental das funções sen(x) e cos(x)

O período padrão é 2π. Para f(x) = sen(k.x), o período é P = 2π / |k|.

Período da função tangente tan(x)

O período padrão é π. Para f(x) = tan(k.x), o período é P = π / |k|.