Geometria: Polígonos e Ângulos

Cartões · 52

Fórmula do número de diagonais de um polígono

d = n(n - 3) / 2. Para um hexágono (n = 6): d = 6(6 - 3) / 2 = 6 * 3 / 2 = 9 diagonais.

Número de diagonais que partem de um único vértice

dv = n - 3. Em um decágono (n = 10): dv = 10 - 3 = 7 diagonais partindo de cada vértice.

Número de diagonais de um triângulo (n = 3)

d = 3(3 - 3) / 2 = 0 diagonais. O triângulo é o único polígono sem diagonais internas.

Número de diagonais de um quadrilátero (n = 4)

d = 4(4 - 3) / 2 = 4 * 1 / 2 = 2 diagonais conectando vértices opostos.

Número de diagonais de um pentágono (n = 5)

d = 5(5 - 3) / 2 = 5 * 2 / 2 = 5 diagonais. O pentágono tem número de lados igual ao de diagonais.

Número de diagonais de um octógono (n = 8)

d = 8(8 - 3) / 2 = 8 * 5 / 2 = 20 diagonais.

Número de diagonais de um icoságono (n = 20)

d = 20(20 - 3) / 2 = 20 * 17 / 2 = 170 diagonais.

Descobrir o polígono que possui 35 diagonais

35 = n(n - 3)/2 => n² - 3n - 70 = 0 => (n - 10)(n + 7) = 0 => n = 10 (decágono).

Soma dos ângulos internos de um triângulo (Si)

Si = (3 - 2) * 180° = 180°. Se os ângulos medem 50° e 70°, o terceiro mede 180° - 120° = 60°.

Fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono

Si = (n - 2) * 180°. Para um quadrilátero (n = 4): Si = (4 - 2) * 180° = 360°.

Soma dos ângulos internos de um pentágono (n = 5)

Si = (5 - 2) * 180° = 3 * 180° = 540°.

Soma dos ângulos internos de um hexágono (n = 6)

Si = (6 - 2) * 180° = 4 * 180° = 720°.

Soma dos ângulos internos de um heptágono (n = 7)

Si = (7 - 2) * 180° = 5 * 180° = 900°.

Soma dos ângulos internos de um dodecágono (n = 12)

Si = (12 - 2) * 180° = 10 * 180° = 1800°.

Polígono cuja soma dos ângulos internos é 1260°

1260° = (n - 2) * 180° => n - 2 = 1260 / 180 = 7 => n = 9 (eneágono).

Soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo

Se = 360°. Para qualquer polígono convexo, seja n = 3 ou n = 100, a soma externa é sempre 360°.

Relação entre ângulo interno e externo adjacentes

ai + ae = 180°. Se um ângulo interno mede 135°, o externo correspondente mede 180° - 135° = 45°.

Ângulo interno de um triângulo equilátero

ai = 180° / 3 = 60°. Cada um dos três ângulos internos congruentes mede 60°.

Ângulo interno de um quadrado (n = 4)

ai = 360° / 4 = 90°. Cada ângulo interno de um quadrilátero regular mede 90°.

Ângulo interno de um pentágono regular (n = 5)

ai = Si / n = (5 - 2) * 180° / 5 = 540° / 5 = 108°.

Ângulo interno de um hexágono regular (n = 6)

ai = Si / n = (6 - 2) * 180° / 6 = 720° / 6 = 120°.

Ângulo interno de um octógono regular (n = 8)

ai = (8 - 2) * 180° / 8 = 1080° / 8 = 135°.

Ângulo interno de um decágono regular (n = 10)

ai = (10 - 2) * 180° / 10 = 1440° / 10 = 144°.

Ângulo externo de um triângulo equilátero (n = 3)

ae = 360° / 3 = 120°. Verificação: ai + ae = 60° + 120° = 180°.

Ângulo externo de um quadrado (n = 4)

ae = 360° / 4 = 90°. Verificação: ai + ae = 90° + 90° = 180°.

Ângulo externo de um hexágono regular (n = 6)

ae = 360° / 6 = 60°. Cada ângulo externo mede exatamente 60°.

Ângulo externo de um octógono regular (n = 8)

ae = 360° / 8 = 45°. Cada ângulo externo mede 45°.

Descobrir o polígono regular cujo ângulo externo mede 30°

ae = 360° / n => 30° = 360° / n => n = 360 / 30 = 12 lados (dodecágono).

Descobrir o polígono regular cujo ângulo interno mede 150°

ae = 180° - 150° = 30° => n = 360° / 30° = 12 lados (dodecágono).

Condição de existência de um triângulo (desigualdade)

Lados 3, 4 e 8: 3 + 4 = 7 < 8, logo não formam triângulo. Lados 3, 4 e 5: 3 + 4 > 5, formam triângulo.

Teorema do ângulo externo de um triângulo

O externo equivale à soma dos internos não adjacentes. Se dois ângulos são 40° e 70°, o externo ao terceiro é 110°.

Classificação de triângulos quanto aos lados: equilátero

Três lados congruentes: triângulo com lados 5 cm, 5 cm e 5 cm. Todos os ângulos medem 60°.

Classificação de triângulos quanto aos lados: isósceles

Dois lados congruentes: triângulo com lados 6 cm, 6 cm e 4 cm. Os ângulos da base oposta aos lados iguais são congruentes.

Classificação de triângulos quanto aos lados: escaleno

Três lados desiguais: triângulo com medidas 4 cm, 6 cm e 8 cm. Todos os três ângulos internos são distintos.

Classificação de triângulos por ângulos: retângulo

Possui um ângulo reto de 90°. Exemplo: triângulo retângulo com ângulos de 90°, 30° e 60° (90 + 30 + 60 = 180°).

Classificação de triângulos por ângulos: acutângulo

Todos os três ângulos internos menores que 90°. Exemplo: triângulo com ângulos de 50°, 60° e 70°.

Classificação de triângulos por ângulos: obtusângulo

Possui um ângulo obtuso maior que 90°. Exemplo: triângulo com ângulos de 120°, 25° e 35° (120° > 90°).

Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo

a² = b² + c². Em um triângulo retângulo com catetos 6 e 8: a² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 => a = 10.

Cálculo da área de um triângulo comum

A = (b * h) / 2. Para base b = 10 cm e altura h = 7 cm: A = (10 * 7) / 2 = 35 cm².

Cálculo da área do triângulo equilátero

A = (l² * √3) / 4. Para lado l = 4 cm: A = (4² * √3) / 4 = 16√3 / 4 = 4√3 cm².

Altura de um triângulo equilátero

h = (l * √3) / 2. Para lado l = 6 cm: h = (6 * √3) / 2 = 3√3 cm.

Ângulo central de um polígono regular

ac = 360° / n. Para um hexágono regular (n = 6): ac = 360° / 6 = 60°.

Ângulo central de um pentágono regular

ac = 360° / 5 = 72°. Cada setor angular do centro a vértices adjacentes mede 72°.

Número de triângulos formados ao traçar diagonais de 1 vértice

t = n - 2. Em um octógono (n = 8), ao fixar um vértice formam-se 8 - 2 = 6 triângulos internos.

Polígono regular em que o ângulo interno é o triplo do externo

ai = 3 * ae. Como ai + ae = 180°: 3ae + ae = 180° => 4ae = 180° => ae = 45°. n = 360° / 45° = 8 lados (octógono).

Polígono regular em que o ângulo interno é o dobro do externo

ai = 2 * ae => 2ae + ae = 180° => 3ae = 180° => ae = 60°. n = 360° / 60° = 6 lados (hexágono).

Polígono regular que ladrilha o plano sozinho

360° / ai deve ser inteiro. Triângulo (60°), quadrado (90°) e hexágono (120°) dividem 360° (360/120 = 3), ladrilhando perfeitamente.

Por que o pentágono regular não ladrilha o plano?

ai = 108°. Como 360° / 108° = 3,33 (não inteiro), sobram ou sobrepõem-se frestas ao redor do vértice.

Diagonais que passam pelo centro em polígono de número par de lados

dc = n / 2. Em um dodecágono regular (n = 12): passam pelo centro exatamente 12 / 2 = 6 diagonais principais.

Diagonais que passam pelo centro em polígonos de n ímpar

dc = 0. Em um heptágono regular (n = 7), nenhuma diagonal passa pelo centro exato da figura.

Polígono cujo número de diagonais é o dobro do número de lados

d = 2n => n(n - 3)/2 = 2n => n - 3 = 4 => n = 7 lados (heptágono convexo).

Polígono cujo número de diagonais é o triplo do número de lados

d = 3n => n(n - 3)/2 = 3n => n - 3 = 6 => n = 9 lados (eneágono convexo).