Geometria: Triângulo Equilátero e Hexágono

Cartões · 52

Altura do triângulo equilátero (lado L)

h = (L * raiz(3)) / 2. Aplica-se o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pela altura, metade da base (L/2) e a hipotenusa (L): h² + (L/2)² = L².

Área do triângulo equilátero (lado L)

A = (L² * raiz(3)) / 4. Multiplica-se a base pela altura e divide-se por dois: (L * h) / 2 = (L * (L * raiz(3)) / 2) / 2 = (L² * raiz(3)) / 4.

Área do hexágono regular (lado L)

A = (3 * L² * raiz(3)) / 2. O hexágono regular é composto por 6 triângulos equiláteros congruentes de lado L: 6 * (L² * raiz(3) / 4) = (3 * L² * raiz(3)) / 2.

Apótema do hexágono regular (lado L)

a = (L * raiz(3)) / 2. O apótema do hexágono regular equivale exatamente à altura de um dos seis triângulos equiláteros internos que o compõem.

Relação entre apótema e raio no hexágono regular

a = (R * raiz(3)) / 2. Como o raio da circunferência circunscrita é igual ao lado L do hexágono regular (R = L), o apótema é a altura desse triângulo equilátero.

Área do triângulo equilátero em função da altura h

A = (h² * raiz(3)) / 3. Isolando L em h = (L*raiz(3))/2 obtém-se L = 2h/raiz(3); substituindo na fórmula da área: (4h²/3 * raiz(3)) / 4 = h²/raiz(3) = (h²*raiz(3))/3.

Lado do triângulo equilátero em função da altura h

L = (2 * h) / raiz(3) ou L = (2 * h * raiz(3)) / 3. Obtido diretamente ao isolar a variável L na equação da altura h = (L * raiz(3)) / 2 e racionalizar.

Raio da circunferência circunscrita ao triângulo equilátero (R)

R = (L * raiz(3)) / 3. O baricentro divide a altura h na razão 2:1 a partir do vértice, logo R = (2/3) * h = (2/3) * ((L * raiz(3)) / 2) = (L * raiz(3)) / 3.

Raio da circunferência inscrita no triângulo equilátero (r)

r = (L * raiz(3)) / 6. O baricentro dista da base um terço da altura total: r = (1/3) * h = (1/3) * ((L * raiz(3)) / 2) = (L * raiz(3)) / 6.

Relação entre R e r no triângulo equilátero

R = 2 * r. O circuncentro e incentro coincidem no baricentro, que divide a mediana/altura em segmentos proporcionais a 2 e 1.

Soma dos raios circunscrito e inscrito no triângulo equilátero

R + r = h. A soma da distância do baricentro a um vértice (R) com a distância à base oposta (r) completa a altura h inteira do triângulo.

Perímetro do triângulo equilátero (lado L)

P = 3 * L. Como todos os três lados possuem a mesma medida geométrica, soma-se L + L + L = 3L.

Semiperímetro do triângulo equilátero (lado L)

p = (3 * L) / 2. O semiperímetro corresponde à metade do perímetro total do triângulo: p = P / 2 = 3L / 2.

Área do triângulo equilátero via semiperímetro e raio inscrito

A = p * r. Para qualquer triângulo circunscrito, a área é o produto do semiperímetro pelo raio inscrito: (3L/2) * ((L*raiz(3))/6) = (L²*raiz(3))/4.

Perímetro do hexágono regular (lado L)

P = 6 * L. Como o hexágono regular possui seis lados congruentes, soma-se L seis vezes, resultando em 6L.

Semiperímetro do hexágono regular (lado L)

p = 3 * L. O semiperímetro é a metade do perímetro total: p = 6L / 2 = 3L.

Área do hexágono regular via semiperímetro e apótema

A = p * a. A área de todo polígono regular é semiperímetro vezes apótema: 3L * ((L*raiz(3))/2) = (3 * L² * raiz(3)) / 2.

Raio da circunferência circunscrita ao hexágono regular (R)

R = L. Os triângulos que ligam o centro aos vértices são equiláteros, de modo que a distância do centro a qualquer vértice equivale ao próprio lado L.

Raio da circunferência inscrita no hexágono regular (r)

r = (L * raiz(3)) / 2. O raio da circunferência inscrita toca os pontos médios dos lados, correspondendo identicamente ao apótema a do hexágono.

Maior diagonal do hexágono regular (lado L)

D = 2 * L. A maior diagonal passa pelo centro da figura e é igual ao diâmetro da circunferência circunscrita: 2 * R = 2L.

Menor diagonal do hexágono regular (lado L)

d = L * raiz(3). Liga vértices não adjacentes adjacentes ao mesmo vértice; pela Lei dos Cossenos em triângulo com ângulo de 120°: d² = L² + L² - 2L²cos(120°) = 3L².

Número total de diagonais do hexágono regular

d_tot = 9. Pela fórmula geral d = n(n - 3) / 2 para n = 6: d = 6 * (6 - 3) / 2 = (6 * 3) / 2 = 9.

Número de diagonais que passam pelo centro no hexágono

D_centro = 3. Em polígonos regulares de n lados com n par, o número de diagonais que passam pelo centro é n / 2: 6 / 2 = 3.

Ângulo interno do triângulo equilátero

theta_i = 60 graus. A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°; como todos os três ângulos são iguais: 180° / 3 = 60° (pi/3 rad).

Ângulo externo do triângulo equilátero

theta_e = 120 graus. É o suplemento do ângulo interno: 180° - 60° = 120° (ou 360° / 3 = 120°).

Ângulo interno do hexágono regular

theta_i = 120 graus. Fórmula Si = (n - 2) * 180° = 4 * 180° = 720°; dividindo pelos 6 vértices iguais: 720° / 6 = 120°.

Ângulo externo do hexágono regular

theta_e = 60 graus. É a divisão da volta completa pelo número de lados: 360° / 6 = 60° (suplementar a 120°).

Ângulo central do hexágono regular

theta_c = 60 graus. Dividindo a circunferência central pelos 6 setores triangulares congruentes: 360° / 6 = 60°.

Razão entre áreas: hexágono e triângulo de mesmo lado L

Razão = 6. O hexágono regular decompõe-se exatamente em 6 triângulos equiláteros de lado L idênticos, logo A_hex = 6 * A_tri.

Razão entre perímetros: hexágono e triângulo de mesmo lado L

Razão = 2. Perímetro do hexágono é 6L e do triângulo equilátero é 3L; calculando a divisão: 6L / 3L = 2.

Área do hexágono regular em função do apótema a

A = 2 * raiz(3) * a². Sabendo que a = (L*raiz(3))/2, temos L = 2a/raiz(3); substituindo em (3L²*raiz(3))/2 resulta em 2 * raiz(3) * a².

Área do triângulo equilátero com L = 2 cm

A = raiz(3) cm². Substitui-se L = 2 na fórmula: (2² * raiz(3)) / 4 = (4 * raiz(3)) / 4 = raiz(3) cm².

Altura do triângulo equilátero com L = 2 cm

h = raiz(3) cm. Substitui-se L = 2 na fórmula da altura: (2 * raiz(3)) / 2 = raiz(3) cm.

Área do hexágono regular com L = 2 cm

A = 6 * raiz(3) cm². Como são 6 triângulos equiláteros de lado 2 (cada um com área raiz(3)), multiplica-se: 6 * raiz(3) cm².

Área do triângulo equilátero com L = 4 cm

A = 4 * raiz(3) cm². Substitui-se L = 4 na fórmula: (4² * raiz(3)) / 4 = (16 * raiz(3)) / 4 = 4 * raiz(3) cm².

Altura do triângulo equilátero com L = 4 cm

h = 2 * raiz(3) cm. Substitui-se L = 4 na expressão: (4 * raiz(3)) / 2 = 2 * raiz(3) cm.

Área do hexágono regular com L = 4 cm

A = 24 * raiz(3) cm². Substitui-se L = 4 na fórmula da área: (3 * 4² * raiz(3)) / 2 = (3 * 16 * raiz(3)) / 2 = 24 * raiz(3) cm².

Área do triângulo equilátero com L = 6 cm

A = 9 * raiz(3) cm². Aplica-se a fórmula de área: (6² * raiz(3)) / 4 = (36 * raiz(3)) / 4 = 9 * raiz(3) cm².

Altura do triângulo equilátero com L = 6 cm

h = 3 * raiz(3) cm. Aplica-se a fórmula da altura: (6 * raiz(3)) / 2 = 3 * raiz(3) cm.

Área do hexágono regular com L = 6 cm

A = 54 * raiz(3) cm². Multiplica-se a área do triângulo equilátero de lado 6 por seis: 6 * (9 * raiz(3)) = 54 * raiz(3) cm².

Área do triângulo equilátero com L = 10 cm

A = 25 * raiz(3) cm². Cálculo direto com L = 10: (10² * raiz(3)) / 4 = (100 * raiz(3)) / 4 = 25 * raiz(3) cm².

Altura do triângulo equilátero com L = 10 cm

h = 5 * raiz(3) cm. Cálculo direto com L = 10: (10 * raiz(3)) / 2 = 5 * raiz(3) cm.

Área do hexágono regular com L = 10 cm

A = 150 * raiz(3) cm². Substituindo L = 10: (3 * 10² * raiz(3)) / 2 = (3 * 100 * raiz(3)) / 2 = 150 * raiz(3) cm².

Dedução trigonométrica da altura do triângulo equilátero

h = L * sen(60°) = (L * raiz(3)) / 2. No triângulo retângulo formado pela altura e um lado L, o seno de 60° relaciona o cateto oposto h à hipotenusa L.

Dedução da área do triângulo equilátero por seno

A = (1/2) * L * L * sen(60°) = (L² * raiz(3)) / 4. Pela fórmula trigonométrica da área de dois lados e o ângulo compreendido: (1/2) * L² * (raiz(3)/2).

Relação de semelhança ao dobrar o lado de um triângulo equilátero

A área quadruplica (fator 4). A área é proporcional ao quadrado da dimensão linear: (2L)² / L² = 4L² / L² = 4.

Relação de semelhança ao dobrar o lado de um hexágono regular

A área quadruplica (fator 4). Razão entre áreas de figuras semelhantes equivale ao quadrado da razão linear k²: 2² = 4.

Hexágono inscrito em círculo de raio R: área

A = (3 * R² * raiz(3)) / 2. Como o lado do hexágono inscrito é idêntico ao raio da circunferência (L = R), substitui-se L por R diretamente.

Hexágono circunscrito a círculo de raio r: lado

L = (2 * r * raiz(3)) / 3. O raio r é o apótema do hexágono circunscrito: r = (L*raiz(3))/2, logo L = 2r / raiz(3) = (2 * r * raiz(3)) / 3.

Hexágono circunscrito a círculo de raio r: área

A = 2 * raiz(3) * r². Usa-se a área em função do apótema A = 2 * raiz(3) * a², onde o raio r tangencia os lados atuando como o próprio apótema.

Triângulo equilátero inscrito em círculo de raio R: lado

L = R * raiz(3). Pela Lei dos Senos (L / sen(60°) = 2R) ou invertendo R = (L*raiz(3))/3, obtém-se diretamente L = R * raiz(3).

Triângulo equilátero circunscrito a círculo de raio r: lado

L = 2 * raiz(3) * r. Sabendo que r = (L*raiz(3))/6, isola-se L: L = 6r / raiz(3) = (6 * r * raiz(3)) / 3 = 2 * raiz(3) * r.