MMC e MDC

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O que significa a sigla MDC?

Máximo Divisor Comum: é o maior número inteiro positivo que divide exatamente dois ou mais números dados.

O que significa a sigla MMC?

Mínimo Múltiplo Comum: é o menor número inteiro positivo, diferente de zero, que é múltiplo simultâneo de dois ou mais números.

Regra prática da fatoração prima para o MDC

Fatora-se cada número em primos. O MDC é o produto apenas dos fatores primos comuns, tomados com seus menores expoentes.

Regra prática da fatoração prima para o MMC

Fatora-se cada número em primos. O MMC é o produto de todos os fatores primos (comuns e não comuns), tomados com seus maiores expoentes.

Relação fundamental entre MMC e MDC de dois números a e b

MDC(a, b) * MMC(a, b) = a * b. O produto do MMC pelo MDC de dois números naturais é igual ao produto desses números.

Calcule o MDC(12, 18) por fatoração

12 = 2² * 3 e 18 = 2 * 3². Fatores comuns com menores expoentes: 2¹ * 3¹ = 6. Logo, MDC(12, 18) = 6.

Calcule o MMC(12, 18) por fatoração

12 = 2² * 3 e 18 = 2 * 3². Todos os fatores com maiores expoentes: 2² * 3² = 4 * 9 = 36. Logo, MMC(12, 18) = 36.

O que são números primos entre si (coprimos)?

São números cujo único divisor comum positivo é o número 1. Ou seja, MDC(a, b) = 1.

Qual é o MMC de dois números primos entre si?

Se a e b são primos entre si (MDC = 1), então MMC(a, b) = a * b.

Calcule o MDC(8, 9)

8 = 2³ e 9 = 3². Não há fatores primos comuns além de 1. Logo, MDC(8, 9) = 1 (são primos entre si).

Calcule o MMC(8, 9)

Como MDC(8, 9) = 1, o MMC é o produto direto: 8 * 9 = 72.

Propriedade: se a é múltiplo de b, qual é o MDC(a, b)?

O MDC(a, b) é igual ao menor número, ou seja, b. Exemplo: MDC(20, 5) = 5.

Propriedade: se a é múltiplo de b, qual é o MMC(a, b)?

O MMC(a, b) é igual ao maior número, ou seja, a. Exemplo: MMC(20, 5) = 20.

Calcule o MDC(15, 45) pela propriedade de múltiplos

Como 45 é múltiplo de 15 (15 * 3 = 45), o MDC(15, 45) é o menor deles: 15.

Calcule o MMC(15, 45) pela propriedade de múltiplos

Como 45 é múltiplo de 15, o MMC(15, 45) é o maior deles: 45.

Como funciona o Algoritmo de Euclides para MDC?

Divide-se o maior número pelo menor. Se o resto for 0, o divisor é o MDC. Se não, divide-se o divisor pelo resto até que o resto seja 0.

Calcule o MDC(48, 18) pelo Algoritmo de Euclides

48 ÷ 18 dá quociente 2 e resto 12. Em seguida, 18 ÷ 12 dá quociente 1 e resto 6. Depois, 12 ÷ 6 dá resto 0. O MDC é 6.

Calcule o MDC(24, 60)

24 = 2³ * 3 e 60 = 2² * 3 * 5. Fatores comuns com menores expoentes: 2² * 3 = 4 * 3 = 12.

Calcule o MMC(24, 60)

24 = 2³ * 3 e 60 = 2² * 3 * 5. Maiores expoentes: 2³ * 3 * 5 = 8 * 3 * 5 = 120.

Calcule o MDC(30, 75)

30 = 2 * 3 * 5 e 75 = 3 * 5². Menores expoentes comuns: 3¹ * 5¹ = 15.

Calcule o MMC(30, 75)

30 = 2 * 3 * 5 e 75 = 3 * 5². Maiores expoentes: 2 * 3 * 5² = 2 * 3 * 25 = 150.

Calcule o MDC(16, 28)

16 = 2⁴ e 28 = 2² * 7. Fator comum de menor expoente: 2² = 4.

Calcule o MMC(16, 28)

16 = 2⁴ e 28 = 2² * 7. Fatores com maiores expoentes: 2⁴ * 7 = 16 * 7 = 112.

Calcule o MDC(14, 35)

14 = 2 * 7 e 35 = 5 * 7. O único fator primo comum é 7. Logo, MDC(14, 35) = 7.

Calcule o MMC(14, 35)

14 = 2 * 7 e 35 = 5 * 7. Fatores: 2 * 5 * 7 = 70. Logo, MMC(14, 35) = 70.

Calcule o MDC de três números: 12, 18 e 30

12 = 2² * 3; 18 = 2 * 3²; 30 = 2 * 3 * 5. Fatores comuns a todos: 2¹ * 3¹ = 6.

Calcule o MMC de três números: 12, 18 e 30

12 = 2² * 3; 18 = 2 * 3²; 30 = 2 * 3 * 5. Maiores expoentes: 2² * 3² * 5 = 4 * 9 * 5 = 180.

Calcule o MDC(20, 50, 100)

20 = 2² * 5; 50 = 2 * 5²; 100 = 2² * 5². Menores expoentes comuns: 2¹ * 5¹ = 10.

Calcule o MMC(20, 50, 100)

100 é múltiplo de 20 (20 * 5) e de 50 (50 * 2). Pela regra de múltiplos, MMC(20, 50, 100) = 100.

Como calcular o MMC por divisão simultânea?

Dividem-se os números simultaneamente por fatores primos até obter 1 em todas as colunas. O MMC é o produto de todos os divisores usados.

Como calcular o MDC por divisão simultânea?

Executa-se a divisão simultânea e marcam-se os fatores que dividiram todos os números ao mesmo tempo. O MDC é o produto desses fatores marcados.

Qual é o MDC de dois números primos distintos p e q?

MDC(p, q) = 1, pois os divisores de p são 1 e p, e de q são 1 e q; não possuem outros divisores em comum.

Qual é o MMC de dois números primos distintos p e q?

MMC(p, q) = p * q, pois não compartilham nenhum fator primo comum.

Calcule o MDC(7, 13)

7 e 13 são primos distintos. Portanto, MDC(7, 13) = 1.

Calcule o MMC(7, 13)

7 e 13 são primos distintos. Logo, MMC(7, 13) = 7 * 13 = 91.

Propriedade distributiva da multiplicação no MDC: MDC(k*a, k*b)

MDC(k*a, k*b) = k * MDC(a, b), para qualquer número natural positivo k.

Propriedade distributiva da multiplicação no MMC: MMC(k*a, k*b)

MMC(k*a, k*b) = k * MMC(a, b), para qualquer número natural positivo k.

Se MDC(a, b) = 4 e MMC(a, b) = 40, qual é o produto a * b?

Pela relação a * b = MDC * MMC, temos a * b = 4 * 40 = 160.

Se a * b = 300 e MDC(a, b) = 5, qual é o MMC(a, b)?

Como a * b = MDC * MMC, temos MMC = (a * b) / MDC = 300 / 5 = 60.

Calcule o MDC(36, 90)

36 = 2² * 3² e 90 = 2 * 3² * 5. Fatores comuns com menores expoentes: 2¹ * 3² = 2 * 9 = 18.

Calcule o MMC(36, 90)

36 = 2² * 3² e 90 = 2 * 3² * 5. Fatores com maiores expoentes: 2² * 3² * 5 = 4 * 9 * 5 = 180.

Calcule o MDC(40, 60)

40 = 2³ * 5 e 60 = 2² * 3 * 5. Menores expoentes comuns: 2² * 5 = 4 * 5 = 20.

Calcule o MMC(40, 60)

40 = 2³ * 5 e 60 = 2² * 3 * 5. Maiores expoentes: 2³ * 3 * 5 = 8 * 3 * 5 = 120.

Calcule o MDC(11, 33)

Como 33 é múltiplo de 11 (11 * 3 = 33), o MDC(11, 33) é 11.

Calcule o MMC(11, 33)

Como 33 é múltiplo de 11 (11 * 3 = 33), o MMC(11, 33) é 33.

Calcule o MDC(25, 40)

25 = 5² e 40 = 2³ * 5. Fator comum de menor expoente: 5¹ = 5.

Calcule o MMC(25, 40)

25 = 5² e 40 = 2³ * 5. Maiores expoentes: 2³ * 5² = 8 * 25 = 200.

Calcule o MDC(54, 72)

54 = 2 * 3³ e 72 = 2³ * 3². Fatores comuns com menores expoentes: 2¹ * 3² = 2 * 9 = 18.

Calcule o MMC(54, 72)

54 = 2 * 3³ e 72 = 2³ * 3². Maiores expoentes: 2³ * 3³ = 8 * 27 = 216.

Em problemas de encontro periódico, usa-se MMC ou MDC?

Usa-se MMC. Problemas sobre luzes que piscam juntas ou corredores que se reencontram buscam o menor tempo múltiplo comum.

Em problemas de divisão em partes iguais e máximas, usa-se MMC ou MDC?

Usa-se MDC. Problemas de cortar tecidos, fitas ou lotes no maior tamanho possível sem sobras buscam o divisor comum máximo.

Calcule o MDC(45, 60, 75)

45 = 3² * 5; 60 = 2² * 3 * 5; 75 = 3 * 5². O fator 3¹ e o fator 5¹ são comuns a todos. MDC = 3 * 5 = 15.

Calcule o MMC(45, 60, 75)

Fatores com maiores expoentes: 2² * 3² * 5² = 4 * 9 * 25 = 900.

Qual é o MDC de dois números consecutivos n e n + 1?

O MDC(n, n + 1) é sempre 1. Dois números inteiros consecutivos são sempre primos entre si.

Qual é o MMC de dois números consecutivos n e n + 1?

Como são sempre primos entre si, MMC(n, n + 1) = n * (n + 1). Exemplo: MMC(6, 7) = 42.