Teorema de Pitágoras em Espanhol

Cartões · 52

¿Qué establece el teorema de Pitágoras?

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a² + b² = c².

Fórmula general del teorema de Pitágoras

c² = a² + b², donde c representa la longitud de la hipotenusa y a, b las longitudes de los catetos.

Hipotenusa

El lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo y siempre el de mayor longitud.

Cateto

Cualquiera de los dos lados menores que forman el ángulo recto (90 grados) en un triángulo rectángulo.

Triángulo rectángulo

Triángulo que posee exactamente un ángulo interior recto, es decir, de 90 grados.

¿A qué tipo de triángulos se aplica directamente este teorema?

Únicamente a los triángulos rectángulos en la geometría euclidiana plana.

Fórmula para despejar la hipotenusa (c)

c = √(a² + b²), calculando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de ambos catetos.

Fórmula para despejar un cateto (a)

a = √(c² - b²), restando el cuadrado del otro cateto al cuadrado de la hipotenusa y extrayendo la raíz.

Fórmula para despejar el cateto (b)

b = √(c² - a²), extrayendo la raíz cuadrada de la diferencia entre la hipotenusa al cuadrado y el cateto a al cuadrado.

Interpretación geométrica del teorema

El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa equivale a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

¿Qué es una terna pitagórica?

Un conjunto de tres números enteros positivos (a, b, c) que satisfacen exactamente la ecuación a² + b² = c².

Terna pitagórica básica (3, 4, 5)

3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Es la terna pitagórica de números enteros más pequeña y conocida.

Terna pitagórica común (5, 12, 13)

5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13².

Terna pitagórica común (8, 15, 17)

8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17².

Terna pitagórica común (7, 24, 25)

7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25².

Terna pitagórica primitiva

Terna (a, b, c) donde a, b y c son números enteros coprimos entre sí, es decir, su máximo común divisor es 1.

Múltiplos de una terna pitagórica

Si (a, b, c) es una terna pitagórica, entonces (ka, kb, kc) también lo es para cualquier entero positivo k (ej. 6, 8, 10).

Recíproco del teorema de Pitágoras

Si en un triángulo con lados a, b y c se cumple que a² + b² = c², entonces el triángulo es obligatoriamente rectángulo.

Criterio para triángulo acutángulo

Si c es el lado mayor y a² + b² > c², todos los ángulos interiores son agudos (menores de 90°).

Criterio para triángulo obtusángulo

Si c es el lado mayor y a² + b² < c², el triángulo posee un ángulo obtuso (mayor de 90°).

Diagonal de un rectángulo de lados a y b

d = √(a² + b²), obtenida aplicando directamente el teorema al triángulo rectángulo formado por la diagonal.

Diagonal de un cuadrado de lado L

d = L√2, resultado de calcular √(L² + L²) = √(2L²).

Altura de un triángulo equilátero de lado L

h = (L√3) / 2, deducida dividiendo el triángulo en dos rectángulos con base L/2 e hipotenusa L.

Distancia euclidiana entre dos puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂)

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²), aplicación directa del teorema de Pitágoras en el plano cartesiano.

Ecuación canónica de una circunferencia centrada en el origen

x² + y² = r², donde cualquier punto (x, y) forma con los ejes y el radio r un triángulo rectángulo.

Identidad trigonométrica fundamental

sen²(θ) + cos²(θ) = 1, derivada directa del teorema al dividir a² + b² = c² entre la hipotenusa c².

Diagonal espacial de un ortoedro de aristas a, b y c

D = √(a² + b² + c²), extensión tridimensional del teorema de Pitágoras.

Diagonal espacial de un cubo de lado L

D = L√3, obtenida mediante la extensión tridimensional √(L² + L² + L²).

Apotema de una pirámide regular cuadrangular

Ap = √(h² + (L/2)²), donde h es la altura de la pirámide y L la longitud del lado de la base.

Generatriz de un cono recto (g)

g = √(h² + r²), calculada a partir de la altura h y el radio de la base r.

¿Quién fue Pitágoras de Samos?

Filósofo y matemático griego del siglo VI a.C., fundador de la escuela pitagórica.

Demostración geométrica por reagrupamiento de áreas

Se disponen 4 triángulos rectángulos congruentes dentro de un cuadrado mayor, igualando el área restante c² a a² + b².

Demostración de Bhaskara

Descompone un cuadrado de lado c en cuatro triángulos de catetos a y b más un cuadrado central de lado (b - a).

Demostración de Euclides (Elementos, Proposición I.47)

Prueba que el área de cada cuadrado sobre un cateto equivale al área de un rectángulo subtendido bajo la hipotenusa.

Demostración de James A. Garfield (1876)

Utiliza el área de un trapecio formado por tres triángulos rectángulos para demostrar algebraicamente que a² + b² = c².

Generalización a figuras semejantes construidas sobre los lados

Las áreas de figuras semejantes construidas sobre los catetos suman el área de la figura semejante sobre la hipotenusa.

Teorema del coseno como generalización

c² = a² + b² - 2ab·cos(C); si el ángulo C es de 90°, cos(90°) = 0 y se reduce a c² = a² + b².

¿Qué ocurre con el teorema en una superficie esférica?

No se cumple de forma estándar: la suma de los cuadrados difiere debido a la curvatura positiva del espacio.

¿Qué es la regla práctica de albañilería 3-4-5?

Técnica de medir 3 m y 4 m en paredes contiguas para verificar que una diagonal de 5 m garantice una esquina a 90°.

Cálculo del módulo de un vector bidimensional v = (x, y)

|v| = √(x² + y²), obtenido usando las componentes ortogonales del vector como catetos.

Cálculo del módulo de un vector tridimensional v = (x, y, z)

|v| = √(x² + y² + z²), aplicando el teorema de Pitágoras en tres dimensiones.

Triángulo rectángulo isósceles (ángulos 45°-45°-90°)

Los dos catetos miden lo mismo (a = b); la hipotenusa mide exactamente c = a√2.

Triángulo rectángulo notable de 30°-60°-90°

Si el cateto menor opuesto a 30° mide a, la hipotenusa mide 2a y el cateto mayor adyacente mide a√3.

Teorema de la altura en el triángulo rectángulo

h² = m · n, donde h es la altura relativa a la hipotenusa y m, n son las proyecciones de los catetos sobre ella.

Teorema del cateto

El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por su proyección: a² = c · m y b² = c · n.

Fórmula para generar ternas pitagóricas (Euclides)

Para enteros m > n > 0: a = m² - n², b = 2mn, c = m² + n².

Relación entre catetos y el radio de la circunferencia inscrita (inradio r)

r = (a + b - c) / 2, válida exclusivamente para triángulos rectángulos.

Radio de la circunferencia circunscrita (circunradio R)

R = c / 2; el centro de la circunferencia circunscrita se encuentra siempre en el punto medio de la hipotenusa.

Área de un triángulo rectángulo en función de los catetos

Área = (a · b) / 2, tomando un cateto como base y el otro como altura perpendicular.

Relación del área con la altura relativa a la hipotenusa (h)

h = (a · b) / c, resultado de igualar las expresiones del área (a · b)/2 = (c · h)/2.

Desigualdad triangular

En cualquier triángulo se cumple que a + b > c; en el triángulo rectángulo garantiza que la suma de catetos supera la hipotenusa.

Último teorema de Fermat y el teorema de Pitágoras

Plantea que aⁿ + bⁿ = cⁿ no tiene soluciones enteras positivas para ningún exponente n mayor que 2.