Teorema de Tales e Semelhança de Triângulos

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Tales: Feixe de paralelas corta transversais em segmentos 2 e 4 em uma, e 3 e x na outra. Ache x.

Monte a proporção: 2/4 = 3/x. Multiplique cruzado: 2x = 12. Divida: x = 12/2 = 6.

Tales: Segmentos consecutivos em uma reta são 3 e 6; na outra reta são 5 e x. Calcule x.

Monte a proporção: 3/6 = 5/x. Simplifique 3/6 para 1/2. Assim, 1/2 = 5/x, logo x = 10.

Tales: Na transversal r temos segmentos 4 e 8; na s temos x e 12. Determine x.

Monte a proporção: 4/8 = x/12. Simplifique: 1/2 = x/12. Multiplicando cruzado: 2x = 12, então x = 6.

Tales: Segmentos em r são 5 e 15; em s são 4 e x. Qual o valor de x?

Monte a razão: 5/15 = 4/x. Simplifique: 1/3 = 4/x. Multiplique cruzado: x = 3 * 4 = 12.

Tales: Na reta r temos 6 e 9; na reta s temos 8 e x. Ache o valor de x.

Monte a proporção: 6/9 = 8/x. Simplifique 6/9 para 2/3: 2/3 = 8/x. Logo, 2x = 24, resultando em x = 12.

Tales: Segmentos de uma reta medem 7 e 14; na outra medem 9 e x. Calcule x.

Monte a razão: 7/14 = 9/x. Simplificando a fração: 1/2 = 9/x. Multiplique cruzado para obter x = 18.

Tales: Em r temos segmentos x e 8; em s temos 9 e 12. Qual é o valor de x?

Monte a proporção: x/8 = 9/12. Reduza 9/12 para 3/4. Então x/8 = 3/4, logo 4x = 24 e x = 6.

Tales: Uma transversal tem partes 10 e 15; a outra tem x e 6. Encontre x.

Monte a equação: 10/15 = x/6. Reduza 10/15 para 2/3: 2/3 = x/6. Multiplique cruzado: 3x = 12, obtendo x = 4.

Tales com soma: Segmentos em r são 3 e 5. Em s, a soma total é 24. Calcule o menor segmento x em s.

A soma em r é 3 + 5 = 8. Faça a proporção com o total: 3/8 = x/24. Multiplique cruzado: 8x = 72, portanto x = 9.

Tales com soma: Segmentos em r medem 4 e 6. Em s, o total vale 30. Ache o maior segmento y em s.

Soma em r: 4 + 6 = 10. Proporção com o maior: 6/10 = y/30. Simplifique: 3/5 = y/30. Logo 5y = 90, então y = 18.

Tales com incógnita: Em r temos x e (x + 2); em s temos 3 e 5. Calcule o valor de x.

Monte a razão: x/(x + 2) = 3/5. Multiplique cruzado: 5x = 3(x + 2) => 5x = 3x + 6 => 2x = 6 => x = 3.

Tales com incógnita: Segmentos em r são (x - 1) e 4; em s são 6 e 8. Determine x.

Monte a equação: (x - 1)/4 = 6/8. Simplifique 6/8 para 3/4: (x - 1)/4 = 3/4. Igualando numeradores: x - 1 = 3, logo x = 4.

Tales com incógnita: Em r temos 2 e 5; em s temos (x + 1) e 15. Ache x.

Monte a proporção: 2/5 = (x + 1)/15. Multiplique cruzado: 5(x + 1) = 30 => 5x + 5 = 30 => 5x = 25 => x = 5.

Tales com incógnita: Segmentos medem 3 e (2x - 1) na reta r, e 6 e 10 na reta s. Calcule x.

Monte a proporção: 3/(2x - 1) = 6/10. Simplifique 6/10 para 3/5: 3/(2x - 1) = 3/5. Logo 2x - 1 = 5 => 2x = 6 => x = 3.

Tales no triângulo: Reta paralela corta lados AB e AC. Segmentos em AB são 2 e 6; em AC são 3 e x.

Pelo Teorema de Tales: 2/6 = 3/x. Simplifique: 1/3 = 3/x. Multiplique cruzado: x = 9.

Tales no triângulo: Paralela à base corta lado em 4 e 5 cm, e outro em 8 e x cm. Calcule x.

Monte a razão entre partes correspondentes: 4/5 = 8/x. Multiplique cruzado: 4x = 40. Divida por 4: x = 10 cm.

Tales no triângulo: Lado AB dividido em 3 e 9. Lado AC tem parte superior x e total 16. Ache x.

Total de AB = 3 + 9 = 12. Proporção parte/todo: 3/12 = x/16. Simplifique: 1/4 = x/16. Logo 4x = 16 => x = 4.

Teorema da Bissetriz Interna: Lados adjacentes medem 6 e 8. O lado oposto tem segmentos 3 e x. Ache x.

A bissetriz divide o lado oposto na razão dos lados adjacentes: 6/8 = 3/x. Simplifique: 3/4 = 3/x, logo x = 4.

Bissetriz Interna: Triângulo com lados 10 e 15 cm. Segmentos no terceiro lado são x e 6 cm. Calcule x.

Aplique a relação da bissetriz: 10/15 = x/6. Simplifique 10/15 para 2/3: 2/3 = x/6. Multiplique: 3x = 12 => x = 4 cm.

Bissetriz Interna: Lados medem 12 e 16 cm. O terceiro lado mede 14 cm. Calcule o menor segmento x.

Sejam os segmentos x e 14 - x. Proporção: 12/16 = x/(14 - x). Reduza: 3/4 = x/(14 - x). Logo 3(14 - x) = 4x => 42 = 7x => x = 6 cm.

Semelhança AA: Triângulo com ângulos de 40° e 60° é semelhante a outro com quais ângulos?

A outro triângulo que possua pelo menos dois ângulos congruentes: 40° e 60° (o terceiro será 80° em ambos).

Semelhança: Triângulo T1 tem lados 3, 4, 5. T2 é semelhante com razão k = 2. Quais os lados de T2?

Multiplique cada lado pelo fator k = 2: 3 * 2 = 6; 4 * 2 = 8; 5 * 2 = 10. Os lados de T2 medem 6, 8 e 10.

Semelhança: Triângulos têm lados correspondentes 5 e 15. Qual é a razão de semelhança k?

A razão de semelhança k é a divisão do lado homólogo pelo original: k = 15/5 = 3 (ou 1/3 se reduzido).

Semelhança: Triângulos T1 e T2 têm lados correspondentes 6 e 9. Um lado de T1 mede 8; ache em T2.

Monte a proporção: 6/9 = 8/x. Simplifique: 2/3 = 8/x. Multiplique cruzado: 2x = 24 => x = 12.

Semelhança: Triângulo ABC com lados 4, 6 e 8 é semelhante a DEF com menor lado igual a 10. Ache o maior.

Menor lado de ABC é 4; em DEF é 10. Razão: 10/4 = 2,5. Maior lado de ABC é 8. Em DEF: 8 * 2,5 = 20.

Semelhança: Triângulo com base 12 e altura 8. Outro semelhante tem base 18. Qual é sua altura h?

A razão entre alturas é igual à entre bases: 8/h = 12/18. Simplifique: 8/h = 2/3. Logo 2h = 24 => h = 12.

Sombra e Semelhança: Poste de 6 m projeta sombra de 4 m. Um prédio projeta sombra de 20 m. Altura h?

Semelhança por ângulo solar (AA): altura/sombra => 6/4 = h/20. Simplifique: 3/2 = h/20. Logo 2h = 60 => h = 30 m.

Sombra e Semelhança: Pessoa de 1,80 m projeta sombra de 1,20 m. Uma torre projeta 16 m. Altura da torre?

Monte a razão: 1,80/1,20 = h/16. Reduza 1,80/1,20 para 3/2. Então 3/2 = h/16 => 2h = 48 => h = 24 m.

Semelhança no triângulo: Segmento paralelo à base de 15 cm mede 6 cm. Lado total é 20 cm. Ache o topo x.

O triângulo menor é semelhante ao total: x/20 = 6/15. Reduza 6/15 para 2/5: x/20 = 2/5. Multiplique: 5x = 40 => x = 8 cm.

Semelhança no triângulo: Topo do lado mede 4 e o total mede 12. A base menor é x e a maior é 18. Ache x.

Pela semelhança dos triângulos: topo/total = base menor/base maior => 4/12 = x/18. Simplifique: 1/3 = x/18 => 3x = 18 => x = 6.

Semelhança LAL: Lados 4 e 6 formam ângulo de 50°. Outro tem lados 8 e 12 com ângulo de 50°. São semelhantes?

Sim, pois os ângulos entre os lados são iguais (50°) e os lados são proporcionais: 8/4 = 12/6 = 2 (Caso LAL).

Semelhança LLL: Triângulo 1 tem lados 6, 9, 12. Triângulo 2 tem lados 8, 12, 16. São semelhantes?

Sim, pois 8/6 = 4/3, 12/9 = 4/3 e 16/12 = 4/3. Todos os lados homólogos têm a mesma razão (Caso LLL).

Semelhança e Perímetro: Triângulos semelhantes têm razão k = 3/2. O perímetro de T1 é 24. Ache o de T2.

A razão entre perímetros é igual à razão de semelhança: P2/P1 = 3/2 => P2/24 = 3/2 => P2 = 24 * 3 / 2 = 36.

Semelhança e Perímetro: T1 tem lados 5, 7, 8 (P = 20). T2 é semelhante com menor lado 15. Ache o perímetro de T2.

Razão entre lados homólogos: k = 15/5 = 3. O perímetro de T2 será o perímetro de T1 multiplicado por 3: 20 * 3 = 60.

Semelhança e Áreas: Razão entre lados de triângulos semelhantes é k = 2. Se Área(T1) = 10, qual é Área(T2)?

A razão entre áreas é k²: k² = 2² = 4. Portanto, Área(T2) = Área(T1) * 4 = 10 * 4 = 40.

Semelhança e Áreas: Razão entre lados é 3/4. Se a área do menor é 18 cm², qual é a área do maior?

Razão de áreas = (3/4)² = 9/16. Monte: 18/A = 9/16. Multiplique cruzado: 9A = 288 => A = 32 cm².

Semelhança e Áreas: Se a razão entre as áreas de dois triângulos é 25/49, qual é a razão linear k?

A razão linear é a raiz quadrada da razão de áreas: k = raiz(25/49) = 5/7.

Triângulo retângulo: Altura relativa à hipotenusa divide-a em 4 e 9. Calcule a altura h.

Relação métrica (semelhança): h² = m * n => h² = 4 * 9 = 36 => h = raiz(36) = 6.

Triângulo retângulo: Projeção m = 3 e hipotenusa a = 12. Calcule o cateto b adjacente a m.

Por semelhança: b² = a * m => b² = 12 * 3 = 36 => b = raiz(36) = 6.

Triângulo retângulo: Catetos medem 6 e 8 (hipotenusa = 10). Calcule a altura relativa à hipotenusa h.

Relação métrica: a * h = b * c => 10 * h = 6 * 8 => 10h = 48 => h = 4,8.

Tales com 3 segmentos: Em r temos 2, 4 e 6; em s temos 3, y e z. Ache y e z.

Razão constante = 3/2 = 1,5. Então y = 4 * 1,5 = 6; e z = 6 * 1,5 = 9.

Tales com trapézio: Lados não paralelos medem 15 e 20. Segmento paralelo corta o primeiro em 6 e 9. Ache x no outro.

Monte a proporção: 6/9 = x/(20 - x). Simplifique: 2/3 = x/(20 - x). Multiplique: 2(20 - x) = 3x => 40 - 2x = 3x => 5x = 40 => x = 8.

Semelhança: Dois triângulos isósceles têm ângulos do vértice de 70°. Eles são semelhantes?

Sim. Os ângulos da base em ambos serão (180° - 70°)/2 = 55°. Possuem os três ângulos iguais (Caso AA).

Tales: Segmentos em r são 2x e 10; em s são 6 e 15. Calcule o valor de x.

Monte a razão: 2x/10 = 6/15. Reduza 6/15 para 2/5. Multiplique cruzado: 5 * 2x = 10 * 2 => 10x = 20 => x = 2.

Tales: Reta r tem segmentos (x + 3) e 6; s tem 10 e 4. Ache o valor de x.

Monte: (x + 3)/6 = 10/4. Reduza 10/4 para 5/2. Multiplique em cruz: 2(x + 3) = 30 => 2x + 6 = 30 => 2x = 24 => x = 12.

Semelhança em ampulheta: Triângulos opostos pelo vértice têm bases paralelas de 8 e 12 cm. Altura do menor é 6 cm. Altura do maior?

São semelhantes por AA: base1/base2 = h1/h2 => 8/12 = 6/H. Simplifique: 2/3 = 6/H => 2H = 18 => H = 9 cm.

Semelhança em ampulheta: Bases paralelas medem 5 e 15. Se o lado que passa pelo vértice mede 24 no total, qual a parte menor?

A razão é 5/15 = 1/3. Divida o total em 1 + 3 = 4 partes. Cada parte vale 24 / 4 = 6. O lado menor mede 6.

Tales no triângulo: Lado total mede 25 cm. Paralela divide outro lado na razão 2/3. Quanto mede o menor pedaço do primeiro?

A razão das partes é a mesma: 2/(2 + 3) = x/25 => 2/5 = x/25. Multiplique cruzado: 5x = 50 => x = 10 cm.

Semelhança: Triângulo equilátero de lado 4 e outro de lado 12 são semelhantes? Qual a razão?

Sim, todos os triângulos equiláteros são semelhantes entre si (ângulos de 60°). A razão é 12/4 = 3.

Bissetriz Interna: Lados medem 5 e 7. O segmento do lado oposto adjacente ao lado 5 mede 4. Quanto mede o outro segmento?

Monte a proporção: 5/7 = 4/x. Multiplique em cruz: 5x = 28. Divida: x = 28/5 = 5,6.