Análise Combinatória (2º Ano)

Cartões · 51

Calcule o valor de 5!

Multiplicam-se os números de 5 até 1: 5 x 4 x 3 x 2 x 1. Resposta: 120.

Calcule o valor de 6! / 4!

Simplifica-se expandindo 6! até 4!: (6 x 5 x 4!) / 4! = 6 x 5. Resposta: 30.

Calcule o valor de 0! + 1!

Por definição, 0! = 1 e 1! = 1; logo, 1 + 1 = 2. Resposta: 2.

Calcule o valor da expressão (7! - 6!) / 5!

Fatorando 6!: 6!(7 - 1) / 5! = (6 x 5! x 6) / 5! = 6 x 6. Resposta: 36.

Calcule 8! / (6! x 2!)

Expande-se: (8 x 7 x 6!) / (6! x 2) = 56 / 2. Resposta: 28.

Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5?

Pelo princípio multiplicativo: 5 opções para a centena, 4 para a dezena e 3 para a unidade: 5 x 4 x 3. Resposta: 60.

Quantos números de 4 algarismos podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5 (com repetição)?

Cada uma das 4 posições tem 5 possibilidades: 5 x 5 x 5 x 5 = 5^4. Resposta: 625.

Quantos números de 3 algarismos distintos existem no sistema decimal?

A centena não pode ser 0 (9 opções), a dezena tem 9 opções e a unidade 8: 9 x 9 x 8. Resposta: 648.

Quantos números pares de 3 algarismos distintos podem ser formados com 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

O último dígito deve ser par (2, 4 ou 6: 3 opções). Restam 5 opções para a centena e 4 para a dezena: 5 x 4 x 3. Resposta: 60.

Quantos números ímpares de 2 algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 7?

Unidade ímpar (3, 5 ou 7: 3 opções). Restam 4 opções para a dezena: 4 x 3. Resposta: 12.

Quantos anagramas possui a palavra LIVRO?

Permutação simples de 5 letras distintas: P5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1. Resposta: 120.

Quantos anagramas possui a palavra AMOR?

Permutação simples de 4 letras distintas: P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1. Resposta: 24.

Quantos anagramas da palavra LIVRO começam com a letra L?

Fixa-se o L na 1ª posição e permuta-se o restante (4 letras): 1 x P4 = 4!. Resposta: 24.

Quantos anagramas da palavra BRASIL terminam com vogal?

As vogais são A e I (2 opções). As outras 5 letras permuta-se nas 5 posições restantes: 2 x 5! = 2 x 120. Resposta: 240.

Quantos anagramas da palavra PATO mantêm as letras P e A sempre juntas e nessa ordem?

Trate (PA) como um único bloco; sobram (PA), T, O (3 elementos): P3 = 3!. Resposta: 6.

Quantos anagramas da palavra ESCOLA mantêm as letras E e S juntas em qualquer ordem?

Bloco (ES) pode permutar entre si (2! formas); com as demais letras são 5 elementos: 2! x 5! = 2 x 120. Resposta: 240.

De quantas maneiras 5 pessoas podem se organizar em uma fila indiana?

Trata-se de permutação simples de 5 elementos: P5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1. Resposta: 120.

De quantas formas 4 homens e 4 mulheres podem formar uma fila se os sexos devem se alternar?

Iniciando por homem: 4! x 4! = 576. Iniciando por mulher: 4! x 4! = 576. Total: 576 + 576. Resposta: 1152.

Calcule o arranjo simples A(6, 2).

Fórmula A(n, p) = n! / (n - p)!: 6! / (6 - 2)! = 6! / 4! = 6 x 5. Resposta: 30.

Calcule o arranjo simples A(7, 3).

Fórmula: 7! / (7 - 3)! = 7! / 4! = 7 x 6 x 5. Resposta: 210.

Calcule o arranjo simples A(5, 4).

Fórmula: 5! / (5 - 4)! = 5! / 1! = 5 x 4 x 3 x 2. Resposta: 120.

Em uma corrida com 8 atletas, de quantas maneiras diferentes pode ser formado o pódio (1º, 2º e 3º)?

A ordem importa, logo é arranjo: A(8, 3) = 8 x 7 x 6. Resposta: 336.

Uma sala tem 10 alunos. De quantas formas pode-se escolher um presidente e um vice-presidente?

Cargos distintos implicam ordem: A(10, 2) = 10 x 9. Resposta: 90.

Quantas senhas de 4 dígitos distintos podem ser geradas usando os dígitos de 0 a 9?

A ordem importa: A(10, 4) = 10 x 9 x 8 x 7. Resposta: 5040.

Calcule a combinação simples C(6, 2).

Fórmula n! / (p!(n - p)!): 6! / (2! x 4!) = (6 x 5) / 2. Resposta: 15.

Calcule a combinação simples C(7, 3).

Fórmula: 7! / (3! x 4!) = (7 x 6 x 5) / (3 x 2 x 1) = 210 / 6. Resposta: 35.

Calcule a combinação simples C(8, 4).

Fórmula: 8! / (4! x 4!) = (8 x 7 x 6 x 5) / (4 x 3 x 2 x 1) = 1680 / 24. Resposta: 70.

Calcule a combinação simples C(10, 2).

Fórmula: 10! / (2! x 8!) = (10 x 9) / 2. Resposta: 45.

Calcule C(5, 5) + C(5, 0).

Por propriedade das combinações: C(n, n) = 1 e C(n, 0) = 1. Logo, 1 + 1 = 2. Resposta: 2.

De um grupo de 8 pessoas, quantas comissões de 3 membros podem ser formadas?

A ordem não importa, logo é combinação: C(8, 3) = (8 x 7 x 6) / (3 x 2 x 1). Resposta: 56.

Uma equipe de 4 médicos deve ser escolhida entre 9 disponíveis. De quantas maneiras isso é feito?

Combinação C(9, 4) = (9 x 8 x 7 x 6) / (4 x 3 x 2 x 1) = 3024 / 24. Resposta: 126.

Quantos triângulos distintos podem ser formados com vértices escolhidos entre 7 pontos não colineares?

Um triângulo requer 3 vértices: C(7, 3) = (7 x 6 x 5) / 6. Resposta: 35.

Quantas diagonais possui um octógono regular (8 lados)?

Segmentos entre vértices menos os lados: C(8, 2) - 8 = 28 - 8. Resposta: 20.

Quantas retas distintas são determinadas por 6 pontos no plano, sendo que não há 3 colineares?

Cada reta precisa de 2 pontos: C(6, 2) = (6 x 5) / 2. Resposta: 15.

De quantas formas podemos escolher 3 rapazes e 2 moças em um grupo de 5 rapazes e 4 moças?

Multiplicam-se as combinações: C(5, 3) x C(4, 2) = 10 x 6. Resposta: 60.

De um grupo de 6 homens e 5 mulheres, forma-se uma comissão de 4 pessoas com 2 de cada sexo. Quantas opções?

C(6, 2) x C(5, 2) = ((6 x 5)/2) x ((5 x 4)/2) = 15 x 10. Resposta: 150.

Com 4 tipos de frutas disponíveis, quantas vitaminas diferentes com 2 frutas distintas podemos fazer?

A ordem das frutas não importa: C(4, 2) = (4 x 3) / 2. Resposta: 6.

Quantos anagramas tem a palavra CASA?

Permutação com repetição: 4 letras com 2 'A': P4^(2) = 4! / 2! = 24 / 2. Resposta: 12.

Quantos anagramas tem a palavra ARARA?

Permutação com repetição: 5 letras com 3 'A' e 2 'R': 5! / (3! x 2!) = 120 / (6 x 2). Resposta: 10.

Quantos anagramas tem a palavra MATEMATICA (desconsiderando acento)?

10 letras com 3 'A', 2 'M', 2 'T': 10! / (3! x 2! x 2!) = 3628800 / 24. Resposta: 151200.

Quantos anagramas tem a palavra BANANA?

6 letras com 3 'A' e 2 'N': P6^(3,2) = 6! / (3! x 2!) = 720 / 12. Resposta: 60.

De quantas maneiras 5 pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular?

Permutação circular PC(n) = (n - 1)!: (5 - 1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1. Resposta: 24.

De quantas maneiras 6 crianças podem brincar de roda de mãos dadas?

Permutação circular: (6 - 1)! = 5! = 120. Resposta: 120.

Uma moeda é lançada 4 vezes sucessivas. Quantas sequências distintas de cara e coroa podem ocorrer?

Pelo princípio multiplicativo: 2 x 2 x 2 x 2 = 2^4. Resposta: 16.

Uma prova tem 5 questões de múltipla escolha com 4 alternativas cada. De quantas maneiras ela pode ser respondida?

Cada questão tem 4 escolhas: 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 4^5. Resposta: 1024.

Quantos números de 3 algarismos maiores que 500 podem ser formados com os algarismos 3, 4, 5, 6 e 7 sem repetição?

Centena: 5, 6 ou 7 (3 opções). Dezenas: 4 opções restantes. Unidades: 3 opções. Total: 3 x 4 x 3. Resposta: 36.

Quantos números pares de 4 algarismos podemos formar no sistema decimal usando apenas 1, 2, 3 e 4 com repetição?

Posições 1, 2 e 3 têm 4 opções cada; a unidade deve ser 2 ou 4 (2 opções): 4 x 4 x 4 x 2. Resposta: 128.

Entre 10 candidatos, devem ser eleitos 1 representante e 2 suplentes de mesma função. Quantas formas há?

Escolha do titular: 10 opções. Escolha de 2 suplentes entre 9 restantes: C(9, 2) = 36. Total: 10 x 36. Resposta: 360.

De quantas maneiras podemos distribuir 3 prêmios distintos entre 5 pessoas, se ninguém pode ganhar mais de um?

A ordem de distribuição importa: A(5, 3) = 5 x 4 x 3. Resposta: 60.

Em um torneio com 6 times, onde todos jogam contra todos em turno único, quantas partidas são realizadas?

Cada jogo envolve 2 times sem ordem: C(6, 2) = (6 x 5) / 2. Resposta: 15.

De quantas maneiras 4 livros diferentes de Matemática e 3 de Física podem ser postos em fila se os de Matemática ficarem juntos?

Bloco de Matemática (4!) tratado como 1 item; permuta com os 3 de Física (4 elementos): 4! x 4! = 24 x 24. Resposta: 576.