Geometria Espacial (ENEM e UFRGS)

Cartões · 50

Relação de Euler para poliedros convexos

V - A + F = 2. Relaciona vértices, arestas e faces. Clássica no ENEM para contar elementos de estruturas geométricas ou moléculas como o fulereno.

Soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo

S = (V - 2) * 360°. Calcula a soma de todos os ângulos internos de todas as faces planas. Comum na UFRGS em questões teóricas de poliedros.

Cálculo do número de arestas a partir das faces

2A = n1*F1 + n2*F2 + ... Cada aresta é compartilhada por 2 faces. Muito cobrada no ENEM e UFRGS para poliedros com faces mistas (ex.: hexágonos e pentágonos).

Volume do paralelepípedo retângulo

V = a * b * c (comprimento x largura x altura). Mede a capacidade tridimensional. Essencial no ENEM em problemas de caixas d'água, estoques e piscinas.

Área total do paralelepípedo retângulo

At = 2(ab + ac + bc). Soma das áreas das 6 faces retangulares. Usada para calcular gasto de material para embalagens ou pintura no ENEM.

Diagonal do paralelepípedo retângulo

D = √(a² + b² + c²). Teorema de Pitágoras no espaço 3D. Cobrado para verificar se um objeto linear longo (como um cano) cabe em uma caixa.

Volume do cubo

V = a³. Produto das três arestas iguais. Aparece no ENEM envolvendo empilhamento de blocos e capacidade de recipientes cúbicos.

Área total do cubo

At = 6a². Soma das áreas dos 6 quadrados congruentes. Usada para calcular custo de revestimento ou papel de presente.

Diagonal do cubo

D = a√3. Segmento interno que une dois vértices opostos. Frequente na UFRGS em geometria de posição e distâncias máximas.

Volume do prisma reto ou oblíquo

V = Ab * h. Área da base multiplicada pela altura perpendicular. Fórmula-chave do ENEM para prismas triangulares, hexagonais e trapezoidais.

Área lateral do prisma reto

Al = 2p * h (perímetro da base x altura). Soma das áreas das faces laterais retangulares. Usada em cálculos de revestimento de colunas.

Área total do prisma

At = Al + 2Ab. Soma da área lateral com as áreas das duas bases congruentes. Aplicada em gastos de materiais para prismas fechados.

Volume do prisma hexagonal regular

V = [6 * (L²√3)/4] * h. A base é formada por 6 triângulos equiláteros. Muito comum no ENEM em embalagens e estruturas alveolares.

Volume do cilindro circular reto

V = π * r² * h. Capacidade de reservatórios circulares. O sólido mais frequente no ENEM em problemas de vazão, chuva e latas.

Área lateral do cilindro circular reto

Al = 2π * r * h. Equivale à área do retângulo obtido ao planificar a lateral. Utilizada para calcular a área de rótulos de latas no ENEM.

Área total do cilindro circular reto

At = 2πr(h + r). Soma da área lateral com as duas bases circulares. Usada para calcular consumo de folha de metal em embalagens cilíndricas.

Cilindro equilátero

h = 2r (altura igual ao diâmetro da base). Secção meridiana é um quadrado de lado 2r. Muito cobrado na UFRGS em testes conceituais.

Volume de qualquer pirâmide

V = (1/3) * Ab * h. Um terço do produto da base pela altura. Usada em monumentos, telhados e sólidos compostos no ENEM.

Área total da pirâmide

At = Al + Ab. Soma da área lateral triangular com a base. Usada para calcular cobertura de telhados piramidais no ENEM.

Relação de Pitágoras na pirâmide regular

g² = h² + m² (g: apótema da pirâmide, h: altura, m: apótema da base). Triângulo retângulo interno. Essencial na UFRGS para achar a altura.

Volume do tetraedro regular

V = (a³√2) / 12. Pirâmide com 4 faces triangulares equiláteras de aresta a. Bastante cobrado na UFRGS em geometria analítica espacial e métrica.

Altura do tetraedro regular

h = (a√6) / 3. Distância do vértice ao baricentro da base oposta. Típico na UFRGS para cálculo direto de dimensões internas.

Área total do tetraedro regular

At = a²√3. Soma das áreas dos quatro triângulos equiláteros. Usada para quantificar superfícies de estruturas moleculares tetraédricas.

Volume do cone circular reto

V = (1/3) * π * r² * h. Um terço do volume do cilindro circunscrito. Frequente no ENEM em ampulhetas, funis e casquinhas de sorvete.

Geratriz do cone circular reto

g² = h² + r². Relação pitagórica entre geratriz, altura e raio da base. Passo inicial indispensável na resolução de problemas de cone no ENEM e UFRGS.

Área lateral do cone circular reto

Al = π * r * g. Planifica-se como um setor circular de raio g. Cobrada no ENEM para calcular papel em chapéus de festa e filtros de café.

Ângulo do setor na planificação do cone

θ = (r / g) * 360° (em graus) ou θ = 2πr / g (em rad). Ângulo central do setor planificado. Questão típica da UFRGS sobre planificação.

Cone equilátero

g = 2r (geratriz igual ao diâmetro da base; secção meridiana equilátera). Implica h = r√3. Frequente na UFRGS em relações trigonométricas espaciais.

Volume da esfera

V = (4/3) * π * r³. Espaço ocupado pela esfera. Clássico do ENEM em esferas metálicas imersas em recipientes com água (empuxo/deslocamento).

Área da superfície esférica

A = 4 * π * r². Área externa correspondente a 4 círculos máximos. Usada no ENEM em problemas sobre área da Terra ou tecidos para bolas esportivas.

Secção plana em uma esfera

R² = d² + r² (R: raio da esfera, d: distância do plano ao centro, r: raio do círculo seccionado). Pitágoras no corte. Muito recorrente na UFRGS.

Volume do fuso e cunha esférica

V_cunha = (α / 360°) * (4/3)πr³; A_fuso = (α / 360°) * 4πr². Partes proporcionais ao ângulo diedral α. Cobrado na UFRGS com gomos de frutas.

Volume do tronco de cone

V = (π * h / 3) * (R² + R*r + r²). Sólido obtido pelo corte paralelo à base. Muito comum no ENEM em baldes, copos descartáveis e vasos.

Volume do tronco de pirâmide de bases paralelas

V = (h / 3) * (B + √(B*b) + b). Sendo B e b as áreas das bases. Usado no ENEM em caçambas de caminhão e formas de bolo invertidas.

Razão de semelhança linear entre sólidos

k = L1 / L2 = h1 / h2 = r1 / r2. Fator de escala entre dimensões lineares correspondentes. Base para proporções métricas no ENEM.

Razão entre áreas de sólidos semelhantes

A1 / A2 = k². A razão entre quaisquer áreas homólogas varia com o quadrado da escala. Frequente no ENEM em problemas de escala de mapas e maquetes.

Razão entre volumes de sólidos semelhantes

V1 / V2 = k³. A razão volumétrica varia com o cubo da razão linear. Clássica do ENEM (ex.: peso/volume ao dobrar as dimensões de um objeto).

Princípio de Cavalieri

Se dois sólidos têm a mesma altura e secções de mesma área em cada nível paralelo, têm volumes iguais. Justifica fórmulas de prismas oblíquos.

Volume de sólido de revolução: cilindro

V = π * r² * h, obtido pela rotação completa (360°) de um retângulo em torno de um lado. Questão visual recorrente na UFRGS.

Volume de sólido de revolução: cone

V = (1/3) * π * r² * h, gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um dos catetos. Frequente em giros de figuras planas na UFRGS.

Teorema de Pappus-Guldin para volume de revolução

V = 2π * d * A (d: distância do baricentro da figura plana ao eixo; A: área). Cobrado em questões avançadas da UFRGS como o volume do toro.

Esfera inscrita no cubo

2r = a (o diâmetro da esfera é igual à aresta do cubo; r = a/2). Relação direta usada no ENEM em acondicionamento de esferas em caixas cúbicas.

Esfera circunscrita ao cubo

2r = D = a√3 (o diâmetro da esfera coincide com a diagonal do cubo). Questão clássica de inscrição e circunscrição da UFRGS.

Cilindro inscrito na esfera

(2R)² = (2r)² + h² (o diâmetro da esfera é a diagonal da secção meridiana do cilindro). Problema típico de otimização métrica na UFRGS.

Sólido composto: semiesfera sobreposta a cilindro

V = πr²h + (2/3)πr³. Soma de volumes simples. Muito frequente no ENEM em silos de grãos, tanques industriais e cápsulas de remédio.

Cálculo de volume por deslocamento de líquido

V_objeto = Ab_recipiente * Δh. O volume do corpo imerso equivale ao volume da coluna de água que subiu. Clássico recorrente no ENEM.

Paralelismo entre reta e plano

Uma reta é paralela a um plano se for paralela a pelo menos uma reta contida nesse plano. Conceito teórico indispensável na prova da UFRGS.

Perpendicularismo entre reta e plano

Uma reta é perpendicular a um plano se for perpendicular a duas retas concorrentes contidas no plano. Muito cobrado em teoria na UFRGS.

Retas reversas

Retas que não pertencem ao mesmo plano (não são paralelas nem concorrentes). Conceito de geometria de posição sempre presente na UFRGS.

Projeção ortogonal no plano

Projeção perpendicular de pontos ou curvas sobre uma superfície plana. Figura entre os temas mais frequentes de raciocínio espacial no ENEM.