Geometria Espacial para o ENEM

Cartões · 55

Cubo: Volume

V = a³, onde 'a' é a medida da aresta do cubo.

Cubo: Área total da superfície

At = 6 * a², correspondente à soma das áreas dos 6 quadrados congruentes.

Cubo: Diagonal da face

df = a * raiz(2), obtida aplicando o Teorema de Pitágoras na face quadrada.

Cubo: Diagonal principal do sólido

D = a * raiz(3), que atravessa o cubo ligando vértices opostos.

Paralelepípedo reto-retângulo: Volume

V = a * b * c, produto das três dimensões (comprimento, largura e altura).

Paralelepípedo reto-retângulo: Área total

At = 2*(a*b + a*c + b*c), soma das áreas dos pares de faces retangulares opostas.

Paralelepípedo reto-retângulo: Diagonal principal

D = raiz(a² + b² + c²), obtida via Teorema de Pitágoras em três dimensões.

Prisma reto genérico: Volume

V = Ab * h, onde Ab é a área da base poligonal e h é a altura do prisma.

Prisma reto genérico: Área lateral

Al = 2p * h, onde 2p representa o perímetro do polígono da base e h é a altura.

Prisma reto genérico: Área total

At = Al + 2*Ab, somando a área lateral às áreas das duas bases congruentes.

Prisma triangular regular: Área da base

Ab = (L² * raiz(3)) / 4, referente à área de um triângulo equilátero de lado L.

Prisma triangular regular: Volume

V = ((L² * raiz(3)) / 4) * h, produto da área do triângulo equilátero pela altura.

Prisma hexagonal regular: Área da base

Ab = 6 * ((L² * raiz(3)) / 4) = (3 * L² * raiz(3)) / 2, soma de seis triângulos equiláteros.

Prisma hexagonal regular: Volume

V = ((3 * L² * raiz(3)) / 2) * h, área da base hexagonal multiplicada pela altura.

Cilindro reto: Volume

V = pi * r² * h, onde r é o raio da base circular e h é a altura do cilindro.

Cilindro reto: Área da base

Ab = pi * r², correspondente à área de um círculo.

Cilindro reto: Área lateral

Al = 2 * pi * r * h, que retificada forma um retângulo de base 2*pi*r e altura h.

Cilindro reto: Área total

At = 2*pi*r*h + 2*pi*r² = 2 * pi * r * (h + r).

Cilindro equilátero: Definição e relações

Cilindro cuja seção meridiana é um quadrado; a altura é igual ao diâmetro da base (h = 2r).

Cilindro equilátero: Volume

V = pi * r² * (2r) = 2 * pi * r³.

Cilindro equilátero: Área total

At = 2 * pi * r * (2r + r) = 6 * pi * r².

Pirâmide genérica: Volume

V = (1/3) * Ab * h, sendo um terço do produto da área da base pela altura.

Pirâmide de base quadrada regular: Volume

V = (1/3) * L² * h, onde L é o lado da base quadrada e h é a altura da pirâmide.

Pirâmide regular: Relação entre apótemas e altura

g² = h² + m², onde g é o apótema da pirâmide, h é a altura e m é o apótema da base.

Pirâmide regular: Área lateral

Al = n * (L * g / 2), soma das áreas dos n triângulos isósceles que formam as faces laterais.

Pirâmide regular: Área total

At = Ab + Al, soma da área da base poligonal com a área lateral.

Tetraedro regular: Definição

Pirâmide regular cujas quatro faces são triângulos equiláteros congruentes de aresta 'a'.

Tetraedro regular: Altura

h = a * raiz(6) / 3.

Tetraedro regular: Área total

At = 4 * ((a² * raiz(3)) / 4) = a² * raiz(3).

Tetraedro regular: Volume

V = (a³ * raiz(2)) / 12.

Cone reto: Volume

V = (1/3) * pi * r² * h, um terço do volume do cilindro de mesmo raio e altura.

Cone reto: Relação fundamental (Pitágoras)

g² = h² + r², ligando a geratriz (g), a altura (h) e o raio da base (r).

Cone reto: Área da base

Ab = pi * r², área do círculo de raio r.

Cone reto: Área lateral

Al = pi * r * g, correspondente ao setor circular gerado pela planificação.

Cone reto: Área total

At = pi * r * g + pi * r² = pi * r * (g + r).

Cone reto: Ângulo do setor circular da planificação

theta = (360 * r) / g graus, ou theta = (2 * pi * r) / g radianos.

Cone equilátero: Definição e relações

Cone cuja seção meridiana é um triângulo equilátero; a geratriz equivale ao diâmetro (g = 2r).

Cone equilátero: Altura em função do raio

h = r * raiz(3), obtido da relação g² = h² + r² com g = 2r.

Cone equilátero: Área total

At = pi * r * (2r + r) = 3 * pi * r².

Esfera: Volume

V = (4/3) * pi * r³, onde r é o raio da esfera.

Esfera: Área da superfície esférica

A = 4 * pi * r², equivalente à área lateral de um cilindro circunscrito à esfera.

Esfera: Seção plana circular (Pitágoras)

R² = d² + r_seção², onde R é o raio da esfera, d a distância do plano ao centro e r_seção o raio do corte.

Semiesfera maciça: Área total

At = 2*pi*r² (superfície curva) + pi*r² (base plana) = 3 * pi * r².

Semiesfera: Volume

V = (2/3) * pi * r³, metade do volume da esfera completa correspondente.

Fuso esférico: Área

Afuso = (alpha / 360) * 4 * pi * r², proporcional ao ângulo diedro alpha em graus.

Cunha esférica: Volume

Vcunha = (alpha / 360) * (4/3) * pi * r³, fração de volume proporcional ao ângulo diedro alpha.

Tronco de pirâmide de bases paralelas: Volume

V = (h/3) * (Ab + raiz(Ab * AB) + AB), com Ab e AB sendo as áreas das bases menor e maior.

Tronco de cone reto: Volume

V = (pi * h / 3) * (R² + R*r + r²), onde R é o raio maior, r o menor e h a altura do tronco.

Tronco de cone reto: Área lateral

Al = pi * g * (R + r), onde g é a geratriz do tronco e R, r são os raios das bases.

Relação de Euler para poliedros convexos

V - A + F = 2, onde V é o número de vértices, A é o de arestas e F o de faces.

Soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo

S = (V - 2) * 360 graus, onde V é a quantidade de vértices do poliedro.

Cálculo de arestas pelas faces de um poliedro

2A = 3*F3 + 4*F4 + 5*F5 + ..., onde Fn é o número de faces com n lados.

Razão de semelhança entre sólidos (Comprimentos)

L1 / L2 = k, onde k é a razão linear entre duas medidas lineares homólogas.

Razão de semelhança entre sólidos (Áreas)

A1 / A2 = k², a razão entre áreas homólogas equivale ao quadrado da razão linear.

Razão de semelhança entre sólidos (Volumes)

V1 / V2 = k³, a razão entre volumes de sólidos semelhantes equivale ao cubo da razão linear.