Cálculo 1 e Pré-Cálculo Essencial

Cartões · 52

Quadrado da soma de dois termos

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. O quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.

Quadrado da diferença de dois termos

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. O quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.

Produto da soma pela diferença

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2. Resulta na diferença entre os quadrados do primeiro e do segundo termo.

Cubo da soma de dois termos

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3. Soma dos cubos e termos cruzados ponderados por 3.

Cubo da diferença de dois termos

(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3. Termos alternam sinais começando pelo cubo positivo de a.

Soma de dois cubos

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2). Fatoração com a soma linear multiplicada por um trinômio com sinal alternado.

Diferença de dois cubos

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2). Fatoração com a diferença linear multiplicada por um trinômio todo positivo.

Produto de Stevin (termo comum)

(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab. Trinômio cujo termo linear é a soma das raízes opostas e o constante é o produto.

Propriedade de expoente fracionário

a^(m/n) = raiz enésima de a^m. O numerador vira potência do radicando e o denominador vira o índice da raiz.

Radiciação: raiz de um produto

raiz_n(a * b) = raiz_n(a) * raiz_n(b). A raiz do produto é igual ao produto das raízes de mesmo índice.

Radiciação: raiz de um quociente

raiz_n(a / b) = raiz_n(a) / raiz_n(b), com b diferente de zero. A raiz da divisão é o quociente das raízes.

Radiciação: raiz de uma raiz

raiz_m(raiz_n(a)) = raiz_(m*n)(a). Os índices das raízes consecutivas multiplicam-se para formar um único radical.

Racionalização: denominador simples raiz(a)

1 / raiz(a) = raiz(a) / a. Multiplica-se o numerador e o denominador por raiz(a) para eliminar a raiz do divisor.

Racionalização: denominador com conjugado

1 / (raiz(a) + raiz(b)) = (raiz(a) - raiz(b)) / (a - b). Multiplica-se pelo conjugado para aplicar a diferença de quadrados.

Produto de potências de mesma base

a^m * a^n = a^(m + n). Conserva-se a base e somam-se os expoentes.

Divisão de potências de mesma base

a^m / a^n = a^(m - n), com a diferente de 0. Conserva-se a base e subtrai-se o expoente do denominador.

Potência de potência

(a^m)^n = a^(m * n). Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.

Potência com expoente negativo

a^(-n) = 1 / a^n, com a diferente de 0. O inverso da base elevado ao expoente positivo correspondente.

Definição de logaritmo

log_b(a) = c se e somente se b^c = a, com a > 0, b > 0 e b diferente de 1. O logaritmo é o expoente da base b que resulta em a.

Logaritmo de um produto

log_b(x * y) = log_b(x) + log_b(y). O logaritmo da multiplicação equivale à soma dos logaritmos dos fatores.

Logaritmo de um quociente

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y). O logaritmo da divisão equivale à subtração dos logaritmos.

Logaritmo de uma potência

log_b(x^k) = k * log_b(x). O expoente do logaritmando passa a multiplicar o logaritmo.

Fórmula de mudança de base

log_b(a) = log_c(a) / log_c(b). Converte um logaritmo na base b para uma nova base conveniente c.

Propriedade fundamental de exponencial e logaritmo

b^(log_b(x)) = x. A função exponencial e a função logarítmica de mesma base são inversas entre si.

Logaritmo natural (ln)

ln(x) = log_e(x), onde e é o número de Euler (aproximadamente 2,718). Base natural usada no Cálculo.

Identidade fundamental da trigonometria

sen^2(x) + cos^2(x) = 1. Decorre diretamente do Teorema de Pitágoras no círculo trigonométrico unitário.

Relação entre tangente, seno e cosseno

tg(x) = sen(x) / cos(x), com cos(x) diferente de zero. A tangente é a razão entre o cateto oposto e o adjacente.

Relação pitagórica da secante e tangente

1 + tg^2(x) = sec^2(x). Obtida dividindo-se sen^2(x) + cos^2(x) = 1 por cos^2(x).

Relação pitagórica da cossecante e cotangente

1 + cotg^2(x) = cossec^2(x). Obtida dividindo-se a identidade fundamental por sen^2(x).

Seno da soma de arcos

sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a). Fórmula de expansão do seno da soma.

Cosseno da soma de arcos

cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b). Fórmula de expansão do cosseno com troca de sinal.

Seno do arco duplo

sen(2x) = 2 * sen(x) * cos(x). Caso particular de sen(a + b) quando a = b.

Cosseno do arco duplo

cos(2x) = cos^2(x) - sen^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sen^2(x). Três formas equivalentes úteis em simplificações.

Definição intuitiva de limite

lim (x -> a) f(x) = L significa que f(x) se aproxima de L tanto quanto se queira quando x se aproxima arbitrariamente de a.

Definição formal de limite (épsilon-delta)

Para todo e > 0 existe d > 0 tal que se 0 < |x - a| < d, então |f(x) - L| < e. Rigor matemático de proximidade.

Existência do limite por limites laterais

lim (x -> a) f(x) = L se e somente se lim (x -> a+) f(x) = lim (x -> a-) f(x) = L. Limites laterais devem convergir ao mesmo valor.

Limite da soma de funções

lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x), desde que ambos os limites existam isoladamente.

Limite do produto de funções

lim (f(x) * g(x)) = lim f(x) * lim g(x), desde que ambos os limites existam.

Limite do quociente de funções

lim (f(x) / g(x)) = lim f(x) / lim g(x), desde que lim g(x) seja diferente de zero.

Limite fundamental trigonométrico

lim (x -> 0) sen(x) / x = 1, com x expresso em radianos. Base para encontrar derivadas de funções trigonométricas.

Limite fundamental exponencial (número de Euler)

lim (x -> infinito) (1 + 1/x)^x = e. Limite que define a base natural e nos processos de crescimento contínuo.

Limite fundamental exponencial com logaritmo

lim (x -> 0) (a^x - 1) / x = ln(a), para a > 0 e a diferente de 1. Fornece a taxa de variação de a^x em x = 0.

Teorema do Confronto (ou do Sanduíche)

Se g(x) <= f(x) <= h(x) próximo de a e lim g(x) = lim h(x) = L, então lim f(x) = L. Usado para cercar limites difíceis.

Continuidade de uma função em um ponto

f é contínua em a se f(a) existe, lim (x -> a) f(x) existe e lim (x -> a) f(x) = f(a). O limite coincide com a imagem.

Indeterminações clássicas de limites

0/0, infinito/infinito, 0 * infinito, infinito - infinito, 1^infinito, 0^0 e infinito^0. Formas que exigem manipulação algébrica.

Limite de polinômios no infinito

lim (x -> infinito) P(x)/Q(x) depende apenas da razão entre os termos de maior grau de P(x) e Q(x).

Limite com constante dividida por infinito

lim (x -> infinito) c / x^n = 0 para n > 0 e constante c. Valores no denominador crescendo indefinidamente anulam a fração.

Limite com constante positiva dividida por zero positivo

lim (x -> a) c / f(x) = +infinito se c > 0 e f(x) tende a zero com valores positivos. A fração cresce sem limites.

Simetria: função par

f(-x) = f(x) para todo x no domínio. O gráfico é simétrico em relação ao eixo y (exemplo: cos(x), x^2).

Simetria: função ímpar

f(-x) = -f(x) para todo x no domínio. O gráfico é simétrico em relação à origem (exemplo: sen(x), x^3).

Assíntota horizontal

A reta y = L é assíntota horizontal de f(x) se lim (x -> +infinito) f(x) = L ou lim (x -> -infinito) f(x) = L.

Assíntota vertical

A reta x = c é assíntota vertical de f(x) se pelo menos um dos limites laterais quando x -> c resulta em +infinito ou -infinito.