Cálculo: Limites

Cartões · 52

Definição formal de limite (épsilon-delta)

Para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que, se 0 < |x - a| < δ, então |f(x) - L| < ε. Notação: lim (x->a) f(x) = L.

Limite lateral pela direita

x aproxima-se de a por valores estritamente maiores que a. Notação: lim (x->a+) f(x) = L.

Limite lateral pela esquerda

x aproxima-se de a por valores estritamente menores que a. Notação: lim (x->a-) f(x) = L.

Critério de existência do limite bilateral

O limite lim (x->a) f(x) existe e vale L se, e somente se, os limites laterais lim (x->a+) f(x) e lim (x->a-) f(x) existirem e forem iguais a L.

Propriedade da unicidade do limite

Se o limite de uma função em um ponto existe, esse limite é único.

Limite da soma

lim (x->a) [f(x) + g(x)] = lim (x->a) f(x) + lim (x->a) g(x), desde que ambos os limites individuais existam.

Limite da diferença

lim (x->a) [f(x) - g(x)] = lim (x->a) f(x) - lim (x->a) g(x), desde que ambos os limites existam.

Limite do produto

lim (x->a) [f(x) * g(x)] = [lim (x->a) f(x)] * [lim (x->a) g(x)], caso ambos existam.

Limite do quociente

lim (x->a) [f(x) / g(x)] = [lim (x->a) f(x)] / [lim (x->a) g(x)], desde que o limite do denominador não seja zero.

Limite de uma constante

lim (x->a) c = c, onde c é um número real constante.

Limite do produto por constante

lim (x->a) [c * f(x)] = c * lim (x->a) f(x), sendo c uma constante real.

Limite da potência

lim (x->a) [f(x)]^n = [lim (x->a) f(x)]^n, para qualquer expoente inteiro positivo n.

Limite da raiz

lim (x->a) n-ésima raiz de f(x) = n-ésima raiz de [lim (x->a) f(x)], exigindo f(x) >= 0 para n par.

Continuidade em um ponto

f é contínua em a se f(a) estiver definida, o limite lim (x->a) f(x) existir e lim (x->a) f(x) = f(a).

Propriedade da substituição direta

Se f é uma função polinomial ou racional e a está em seu domínio, então lim (x->a) f(x) = f(a).

Teorema do Confronto (ou do Sanduíche)

Se g(x) <= f(x) <= h(x) perto de a, e lim (x->a) g(x) = lim (x->a) h(x) = L, então lim (x->a) f(x) = L.

Indeterminação do tipo 0/0

Forma indeterminada que requer fatoração, racionalização ou a Regra de L'Hôpital para resolução.

Indeterminação do tipo infinito/infinito

Ocorre quando numerador e denominador tendem a infinito; resolve-se dividindo pelo maior grau ou por L'Hôpital.

Indeterminação do tipo infinito - infinito

Requer manipulação algébrica, como MMC ou racionalização, para transformar em 0/0 ou infinito/infinito.

Indeterminações exponenciais (0^0, 1^infinito, infinito^0)

São resolvidas aplicando-se o logaritmo natural seguido da função exponencial: exp(lim ln(f(x)^g(x))).

Limite Fundamental Trigonométrico

lim (x->0) (sen x)/x = 1, onde x é medido em radianos.

Consequência trigonométrica: (1 - cos x)/x

lim (x->0) (1 - cos x)/x = 0.

Consequência trigonométrica: (tg x)/x

lim (x->0) (tg x)/x = 1.

Limite Fundamental Exponencial (Número e)

lim (x->infinito) (1 + 1/x)^x = e, ou de forma equivalente lim (u->0) (1 + u)^(1/u) = e.

Limite Fundamental Exponencial geral

lim (x->0) (a^x - 1)/x = ln(a), para qualquer base a > 0 e a diferente de 1.

Limite de (e^x - 1)/x no zero

lim (x->0) (e^x - 1)/x = ln(e) = 1.

Limite de (ln(1 + x))/x no zero

lim (x->0) ln(1 + x)/x = 1.

Definição de limite infinito

lim (x->a) f(x) = +infinito significa que f(x) cresce arbitrariamente quando x se aproxima suficientemente de a.

Assíntota vertical

A reta vertical x = a é uma assíntota vertical se lim (x->a+) f(x) = ±infinito ou lim (x->a-) f(x) = ±infinito.

Definição de limite no infinito

lim (x->infinito) f(x) = L significa que os valores de f(x) aproximam-se de L quando x cresce arbitrariamente.

Assíntota horizontal

A reta y = L é uma assíntota horizontal ao gráfico de f se lim (x->+infinito) f(x) = L ou lim (x->-infinito) f(x) = L.

Limite de 1/x quando x tende a infinito

lim (x->+infinito) 1/x^r = 0, para todo r racional maior que zero.

Limite do quociente de polinômios no infinito (mesmo grau)

Se numerador e denominador têm o mesmo grau, o limite no infinito é a razão entre os coeficientes líderes.

Limite de polinômio quando x tende a ±infinito

O comportamento do polinômio é determinado unicamente pelo seu termo de maior grau (termo líder).

Regra de L'Hôpital

Se lim f(x)/g(x) resulta em 0/0 ou infinito/infinito, então lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x), se o último limite existir.

Teorema da Conservação do Sinal

Se lim (x->a) f(x) = L e L > 0, então existe uma vizinhança de a onde f(x) > 0 para todo x diferente de a.

Teorema da Função Limitada vezes Infinitésimo

Se lim (x->a) f(x) = 0 e g(x) é limitada em uma vizinhança de a, então lim (x->a) [f(x) * g(x)] = 0.

Exemplo do produto limitada vezes infinitésimo

lim (x->0) x * sen(1/x) = 0, pois |sen(1/x)| <= 1 (limitada) e lim (x->0) x = 0.

Limite da função composta

Se f é contínua em b e lim (x->a) g(x) = b, então lim (x->a) f(g(x)) = f(lim (x->a) g(x)) = f(b).

Continuidade em um intervalo fechado [a, b]

f é contínua em (a, b), contínua à direita em a (lim x->a+ = f(a)) e à esquerda em b (lim x->b- = f(b)).

Teorema do Valor Intermediário (TVI)

Se f é contínua em [a, b] e d está entre f(a) e f(b), existe c em (a, b) tal que f(c) = d.

Teorema de Weierstrass (Valor Extremo)

Toda função contínua definida em um intervalo fechado e limitado [a, b] atinge valor máximo e mínimo globais.

Descontinuidade removível

Ocorre quando lim (x->a) f(x) existe, mas f(a) não está definida ou lim (x->a) f(x) é diferente de f(a).

Descontinuidade de salto

Ocorre quando ambos os limites laterais existem, mas são diferentes entre si: lim (x->a-) f(x) != lim (x->a+) f(x).

Descontinuidade essencial (infinita)

Ocorre quando ao menos um dos limites laterais é infinito ou não existe.

Limite da derivada (Definição de Newton)

f'(x) = lim (h->0) [f(x + h) - f(x)] / h, representando a taxa de variação instantânea da função.

Diferenciabilidade implica continuidade

Se uma função f é derivável em um ponto a, então f é necessariamente contínua em a.

Limite de 1/x quando x tende a 0 pela direita

lim (x->0+) 1/x = +infinito.

Limite de 1/x quando x tende a 0 pela esquerda

lim (x->0-) 1/x = -infinito. Como os limites laterais diferem, lim (x->0) 1/x não existe.

Limite de 1/x^2 quando x tende a 0

lim (x->0) 1/x^2 = +infinito, pois os dois limites laterais tendem simultaneamente a +infinito.

Racionalização de limites com raízes quadradas

Multiplica-se e divide-se a expressão pelo seu conjugado para eliminar raízes geradoras de 0/0.

Assíntota oblíqua (condição de limite)

A reta y = mx + n é oblíqua se m = lim (f(x)/x) e n = lim (f(x) - mx) quando x tende a ±infinito.