Matrizes e Determinantes

Cartões · 48

Definição de matriz de ordem m por n

Tabela retangular formada por m linhas e n colunas contendo elementos reais ou complexos dispostos na posição a_ij.

Matriz quadrada

Matriz que possui a mesma quantidade de linhas e colunas, ou seja, onde m = n.

Matriz linha

Matriz formada por uma única linha e qualquer quantidade de colunas, ou seja, de ordem 1 x n.

Matriz coluna

Matriz formada por uma única coluna e qualquer quantidade de linhas, ou seja, de ordem m x 1.

Matriz nula

Matriz em que todos os seus elementos são iguais a zero, denotada geralmente por O.

Diagonal principal de uma matriz quadrada

Conjunto formado por todos os elementos a_ij em que o índice da linha é igual ao da coluna (i = j).

Diagonal secundária de uma matriz de ordem n

Conjunto formado pelos elementos a_ij tais que a soma dos índices satisfaz a condição i + j = n + 1.

Matriz diagonal

Matriz quadrada em que todos os elementos fora da diagonal principal são iguais a zero.

Matriz identidade (I_n)

Matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os demais são nulos.

Matriz triangular superior

Matriz quadrada em que todos os elementos localizados abaixo da diagonal principal são iguais a zero (a_ij = 0 para i > j).

Matriz triangular inferior

Matriz quadrada em que todos os elementos localizados acima da diagonal principal são iguais a zero (a_ij = 0 para i < j).

Matriz simétrica

Matriz quadrada A cuja transposta é idêntica a ela mesma, ou seja, A^T = A (a_ij = a_ji).

Matriz antissimétrica

Matriz quadrada A cuja transposta é igual ao seu oposto, A^T = -A; sua diagonal principal é formada por zeros.

Condição para adição e subtração de matrizes

As matrizes envolvidas na soma ou subtração devem ter obrigatoriamente a mesma ordem (m x n).

Multiplicação de uma matriz por um escalar k

Operação na qual cada elemento individual da matriz é multiplicado pelo número real k.

Condição de existência da multiplicação A x B

O número de colunas da matriz A deve ser exatamente igual ao número de linhas da matriz B.

Ordem do produto de matrizes A(m x p) e B(p x n)

A matriz resultante do produto C = A x B terá ordem m x n.

Propriedade comutativa na multiplicação matricial

Em geral, o produto de matrizes não é comutativo: A x B é diferente de B x A na maioria dos casos.

Definição de matriz transposta (A^T)

Matriz obtida trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas da matriz original A.

Transposta da transposta: (A^T)^T

A transposta da matriz transposta é a própria matriz original: (A^T)^T = A.

Transposta do produto: (A x B)^T

A transposta do produto inverte a ordem dos fatores: (A x B)^T = B^T x A^T.

Determinante de ordem 1

O determinante de uma matriz [a11] é o próprio valor numérico do seu único elemento: det(A) = a11.

Determinante de ordem 2

Diferença entre o produto da diagonal principal e o da secundária: det = (a11 * a22) - (a12 * a21).

Regra de Sarrus

Método prático para calcular determinantes de ordem 3 repetindo-se as duas primeiras colunas à direita.

Determinante de matriz com linha ou coluna nula

Se uma matriz quadrada tiver uma fila (linha ou coluna) inteira composta de zeros, seu determinante é nulo.

Determinante de matriz com filas paralelas iguais ou proporcionais

Se duas linhas ou duas colunas forem iguais ou proporcionais, o determinante da matriz será igual a zero.

Efeito da troca de duas filas paralelas no determinante

Ao trocar a posição de duas linhas ou de duas colunas entre si, o sinal do determinante se inverte.

Efeito de multiplicar uma fila por constante k no determinante

Ao multiplicar todos os elementos de uma linha ou coluna por k, o novo determinante fica multiplicado por k.

Determinante de k x A para matriz de ordem n

Multiplicar a matriz inteira de ordem n por k multiplica seu determinante por k elevado a n: det(k*A) = (k^n) * det(A).

Determinante da transposta: det(A^T)

O determinante de uma matriz quadrada é sempre idêntico ao determinante de sua transposta: det(A^T) = det(A).

Teorema de Binet

O determinante do produto de duas matrizes quadradas é o produto dos determinantes: det(A x B) = det(A) * det(B).

Teorema de Jacobi

Somar a uma fila uma combinação linear de outras filas paralelas não altera o determinante da matriz.

Determinante de matriz triangular

O determinante é dado simplesmente pelo produto de todos os elementos situados na sua diagonal principal.

Menor complementar de um elemento (M_ij)

Determinante da submatriz quadrada que resta ao eliminar a linha i e a coluna j da matriz original.

Cofator de um elemento (C_ij)

Valor dado pela fórmula C_ij = (-1)^(i+j) * M_ij, onde M_ij é o menor complementar correspondente.

Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz de ordem n é a soma dos produtos dos elementos de qualquer fila pelos seus cofatores.

Definição de matriz inversa (A^-1)

Matriz quadrada que, multiplicada por A à direita ou à esquerda, resulta na identidade: A * A^-1 = A^-1 * A = I.

Condição de inversibilidade de uma matriz

Uma matriz quadrada A admite inversa se, e somente se, seu determinante for diferente de zero (det(A) != 0).

Determinante da matriz inversa

O determinante da inversa é o inverso multiplicativo do determinante original: det(A^-1) = 1 / det(A).

Fórmula da inversa pela matriz adjunta

A inversa é obtida dividindo-se a transposta da matriz dos cofatores pelo determinante: A^-1 = (1/det(A)) * (cof(A))^T.

Classificação de sistemas lineares: SPD

Sistema Possível e Determinado: possui uma única solução; no caso quadrado tem det(A) diferente de zero.

Classificação de sistemas lineares: SPI

Sistema Possível e Indeterminado: possui infinitas soluções possíveis (grau de liberdade > 0).

Classificação de sistemas lineares: SI

Sistema Impossível: não admite nenhuma solução válida que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Regra de Cramer: cálculo das incógnitas

Em sistemas n x n com det(A) != 0, o valor de cada variável x_i é dado pela razão D_xi / D.

Regra de Cramer: definição de D_xi

Determinante da matriz obtida ao substituir a coluna da variável x_i pela coluna dos termos independentes.

Sistema linear homogêneo

Sistema linear cujos termos independentes de todas as equações são iguais a zero.

Solução trivial de um sistema homogêneo

Solução onde todas as variáveis valem zero (0, 0, ..., 0), existente em qualquer sistema homogêneo.

Condição para soluções próprias em sistema homogêneo

Um sistema homogêneo quadrado admite soluções além da trivial (é SPI) se, e somente se, det(A) = 0.