Funções: Domínio, Contradomínio e Imagem

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Domínio de uma função (D(f))

Conjunto de todos os valores de entrada possíveis (valores de x) para os quais a lei da função está bem definida e resulta em um número real.

Contradomínio de uma função (CD(f))

Conjunto de chegada no qual a função é definida; reúne todos os valores potenciais que a função pode assumir, explicitado na notação f: A -> B como o conjunto B.

Conjunto Imagem de uma função (Im(f))

Subconjunto do contradomínio formado por todos os valores reais f(x) efetivamente atingidos pela função a partir dos elementos do domínio.

Relação entre Imagem e Contradomínio

O conjunto imagem é sempre um subconjunto do contradomínio (Im(f) está contido em CD(f)).

Função Sobrejetora

Função em que o conjunto imagem é exatamente igual ao contradomínio (Im(f) = CD(f)), ou seja, todo elemento de Chegada é imagem de ao menos um elemento de Partida.

Função Injetora

Função em que elementos distintos do domínio possuem imagens distintas no contradomínio: se x1 != x2, então f(x1) != f(x2).

Função Bijetora

Função que é simultaneamente injetora e sobrejetora, permitindo a existência de uma função inversa.

Restrição: Denominador de fração algébrica

O denominador de qualquer fração real deve ser estritamente diferente de zero, pois a divisão por zero é indefinida.

Restrição: Raiz com índice par

O radicando de uma raiz com índice par (como a raiz quadrada) deve ser maior ou igual a zero no conjunto dos números reais.

Restrição: Raiz com índice ímpar

Não impõe restrições ao radicando nos números reais; o radicando pode assumir valores negativos, nulos ou positivos.

Restrição: Raiz par no denominador

O radicando deve ser estritamente maior que zero (radicando > 0), unindo a condição de não ser negativo com a de não ser zero.

Restrição: Logaritmando de um logaritmo

O logaritmando deve ser estritamente maior do que zero (positivo).

Restrição: Base de um logaritmo

A base do logaritmo deve ser estritamente positiva e diferente de 1 (base > 0 e base != 1).

Domínio de f(x) = 1/x

D(f) = {x em R | x != 0}, ou R*.

Domínio de f(x) = raiz(x)

D(f) = {x em R | x >= 0}, ou [0, +infinito).

Domínio de f(x) = raiz cúbica de x

D(f) = R, pois raízes de índice ímpar admitem qualquer valor real no radicando.

Domínio de f(x) = 1 / raiz(x - 3)

D(f) = {x em R | x > 3}, pois o radicando precisa ser estritamente maior que zero.

Domínio de f(x) = ln(x - 2)

D(f) = {x em R | x > 2}, pois o argumento do logaritmo natural deve ser positivo.

Domínio de uma função polinomial

D(f) = R, pois qualquer polinômio admite operações bem definidas para qualquer número real.

Imagem de uma função afim f(x) = ax + b (com a != 0)

Im(f) = R, pois uma reta não horizontal cobre todos os valores do eixo y.

Imagem de uma função constante f(x) = c

Im(f) = {c}, contendo apenas o único valor constante assumido pela função.

Domínio de f(x) = x^2

D(f) = R.

Imagem de f(x) = x^2 no domínio real

Im(f) = [0, +infinito), pois o quadrado de qualquer número real é sempre maior ou igual a zero.

Vértice da parábola: cálculo do Y do vértice (Yv)

Yv = -Delta / (4a), correspondendo ao valor máximo ou mínimo da função quadrática f(x) = ax^2 + bx + c.

Imagem da função quadrática quando a > 0

Im(f) = [Yv, +infinito), pois a parábola tem concavidade para cima e atinge um ponto de mínimo em Yv.

Imagem da função quadrática quando a < 0

Im(f) = (-infinito, Yv], pois a parábola tem concavidade para baixo e atinge um ponto de máximo em Yv.

Domínio de f(x) = sen(x)

D(f) = R.

Imagem de f(x) = sen(x)

Im(f) = [-1, 1], pois a função seno oscila ciclicamente apenas entre esses dois limites.

Domínio de f(x) = cos(x)

D(f) = R.

Imagem de f(x) = cos(x)

Im(f) = [-1, 1], oscilando ciclicamente entre -1 e 1 para qualquer valor de x real.

Domínio de f(x) = tan(x)

D(f) = {x em R | x != pi/2 + k*pi, com k inteiro}, pontos onde o cosseno é zero.

Imagem de f(x) = tan(x)

Im(f) = R, cobrindo todos os números reais verticalmente em cada ramo.

Domínio de f(x) = a^x (função exponencial com a > 0 e a != 1)

D(f) = R.

Imagem de f(x) = a^x (função exponencial com a > 0 e a != 1)

Im(f) = (0, +infinito) ou R*+, pois potências de base positiva nunca resultam em zero ou valores negativos.

Domínio de f(x) = log_a(x) (função logarítmica com a > 0 e a != 1)

D(f) = (0, +infinito) ou R*+.

Imagem de f(x) = log_a(x)

Im(f) = R, pois o logaritmo pode assumir qualquer valor real positivo, nulo ou negativo.

Domínio de f(x) = |x| (função modular)

D(f) = R.

Imagem de f(x) = |x| (função modular)

Im(f) = [0, +infinito), pois o módulo de qualquer número real é sempre não negativo.

Domínio de f(x) = 1/(x^2 - 4)

D(f) = {x em R | x != -2 e x != 2}, pois x^2 - 4 = 0 quando x = 2 ou x = -2.

Domínio de f(x) = raiz(9 - x^2)

D(f) = [-3, 3], obtido resolvendo a inequação 9 - x^2 >= 0.

Domínio de f(x) = raiz(x^2 - 9)

D(f) = (-infinito, -3] união [3, +infinito), obtido resolvendo a inequação x^2 - 9 >= 0.

Determinação gráfica do Domínio

Identificado pela projeção ortogonal do gráfico da função sobre o eixo das abscissas (eixo x).

Determinação gráfica da Imagem

Identificado pela projeção ortogonal do gráfico da função sobre o eixo das ordenadas (eixo y).

Teste da reta vertical

Critério geométrico para verificar se uma curva representa uma função: toda reta vertical deve cruzar o gráfico em no máximo um ponto.

Teste da reta horizontal

Critério geométrico para verificar se uma função é injetora: nenhuma reta horizontal pode interceptar o gráfico em mais de um ponto.

Domínio da soma ou diferença (f +/- g)(x)

D(f +/- g) = D(f) interseção D(g), requerendo que x pertença simultaneamente a ambos os domínios.

Domínio do produto (f * g)(x)

D(f * g) = D(f) interseção D(g).

Domínio do quociente (f / g)(x)

D(f / g) = {x em D(f) interseção D(g) | g(x) != 0}.

Domínio da função composta (f o g)(x)

D(f o g) = {x em D(g) | g(x) em D(f)}, ou seja, x deve estar no domínio de g e sua saída g(x) deve ser válida para f.

Domínio e Imagem da função inversa f^(-1)

D(f^(-1)) = Im(f) e Im(f^(-1)) = D(f); o domínio e a imagem se invertem mutuamente.

Domínio de f(x) = arcsen(x)

D(f) = [-1, 1], pois a função é a inversa do seno restrito ao intervalo principal.

Imagem de f(x) = arcsen(x)

Im(f) = [-pi/2, pi/2].

Domínio de f(x) = arccos(x)

D(f) = [-1, 1].

Imagem de f(x) = arccos(x)

Im(f) = [0, pi].

Domínio de f(x) = arctan(x)

D(f) = R.

Imagem de f(x) = arctan(x)

Im(f) = (-pi/2, pi/2).

Cálculo algébrico da imagem de f(x) = y

Isola-se a variável x em função de y e analisam-se as restrições de existência que recaem sobre a variável y.

Imagem de f(x) = (2x + 1)/(x - 3)

Im(f) = R - {2}, encontrada isolando x = (3y + 1)/(y - 2), o que exige y != 2.

Assíntota vertical e o domínio

Uma assíntota vertical x = a indica que x não pertence ao domínio da função e os valores de f(x) tendem ao infinito quando x se aproxima de a.

Assíntota horizontal e a imagem

Uma assíntota horizontal y = b descreve o comportamento no infinito e frequentemente (mas nem sempre) exclui b do conjunto imagem.