Vetores: Definições e Propriedades

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Vetor (definição abstrata)

Qualquer elemento pertencente a um espaço vetorial sobre um corpo K arbitrário.

Espaço Vetorial

Conjunto V não-vazio munido de adição e multiplicação por escalar que satisfazem 8 axiomas fundamentais.

Fechamento da Adição

Para quaisquer u e v em V, a soma u + v pertence obrigatoriamente a V.

Comutatividade da Adição

Para quaisquer vetores u e v em V, u + v = v + u.

Associatividade da Adição

Para quaisquer u, v e w em V, (u + v) + w = u + (v + w).

Elemento Neutro da Adição

Existe um vetor 0 em V tal que u + 0 = u para todo vetor u pertencente a V.

Elemento Oposto (Inverso Aditivo)

Para todo u em V, existe um vetor -u em V tal que u + (-u) = 0.

Fechamento da Multiplicação por Escalar

Para qualquer escalar c em K e vetor v em V, o produto c * v pertence a V.

Distributividade do Escalar em Relação à Adição de Vetores

Para todo escalar c em K e vetores u e v em V, c * (u + v) = c * u + c * v.

Distributividade do Vetor em Relação à Soma de Escalares

Para escalares a e b em K e vetor v em V, (a + b) * v = a * v + b * v.

Compatibilidade da Multiplicação Escalar

Para escalares a e b em K e vetor v em V, a * (b * v) = (a * b) * v.

Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar

Para todo vetor v em V, 1 * v = v, onde 1 é a unidade multiplicativa do corpo K.

Vetor Nulo

Vetor único 0 que atua como a identidade aditiva no espaço vetorial.

Unicidade do Vetor Nulo

O vetor nulo em qualquer espaço vetorial é estritamente único.

Unicidade do Oposto Aditivo

Para cada vetor v em V, o vetor simétrico aditivo -v é único.

Multiplicação pelo Escalar Zero

Para todo vetor v em V, 0 * v = 0 (vetor nulo).

Multiplicação de Escalar pelo Vetor Nulo

Para todo escalar c em K, c * 0 = 0 (vetor nulo).

Produto Escalar Nulo

Se c * v = 0, então c = 0 ou v = 0.

Propriedade do Oposto Escalar

(-1) * v = -v para todo vetor v pertencente a V.

Subespaço Vetorial

Subconjunto W de V que é ele próprio um espaço vetorial sob as mesmas operações herdadas de V.

Critério de Subespaço Vetorial

W é subespaço se contém o vetor nulo, é fechado para soma e fechado para multiplicação escalar.

Combinação Linear de Vetores

Vetor v expresso como c1*v1 + c2*v2 + ... + ck*vk, onde c_i são escalares e v_i são vetores.

Espaço Gerado (Span)

Conjunto de todas as combinações lineares possíveis de um dado conjunto de vetores S.

Conjunto Gerador

Conjunto S de vetores cujo espaço gerado span(S) é igual a todo o espaço vetorial V.

Independência Linear (LI)

Conjunto {v1, ..., vk} onde c1*v1 + ... + ck*vk = 0 implica necessariamente que c1 = ... = ck = 0.

Dependência Linear (LD)

Conjunto {v1, ..., vk} onde c1*v1 + ... + ck*vk = 0 admite solução não trivial com algum ci != 0.

Conjunto com Vetor Nulo

Qualquer conjunto de vetores contendo o vetor nulo é obrigatoriamente linearmente dependente.

Base de um Espaço Vetorial

Conjunto ordenado B de vetores que é simultaneamente linearmente independente e gerador de V.

Coordenadas em Relação a uma Base

Tupla única de escalares que expressa um vetor específico como combinação linear dos elementos da base.

Dimensão de um Espaço Vetorial

Número cardinal de vetores em qualquer base do espaço vetorial.

Produto Interno (Definição)

Função que associa a cada par de vetores um escalar, sendo linear, simétrica/conjugada e positiva definida.

Positividade do Produto Interno

<v, v> >= 0 para todo vetor v, e <v, v> = 0 se e somente se v = 0.

Simetria do Produto Interno Real

<u, v> = <v, u> para quaisquer vetores u e v em um espaço vetorial real.

Bilinearidade / Linearidade no Primeiro Argumento

<au + bv, w> = a<u, w> + b<v, w> para escalares a, b e vetores u, v, w.

Espaço com Produto Interno

Espaço vetorial munido de uma operação de produto interno bem definida.

Norma Induzida por Produto Interno

O comprimento ou norma de um vetor v dado formalmente por ||v|| = sqrt(<v, v>).

Não-Negatividade da Norma

||v|| >= 0 para todo vetor v, e ||v|| = 0 se e somente se v = 0.

Homogeneidade Absoluta da Norma

||c * v|| = |c| * ||v|| para todo escalar c e vetor v.

Desigualdade Triangular

||u + v|| <= ||u|| + ||v|| para quaisquer vetores u e v.

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

|<u, v>| <= ||u|| * ||v|| para quaisquer vetores u e v em um espaço com produto interno.

Vetores Ortogonais

Dois vetores u e v são ortogonais se e somente se o seu produto interno <u, v> = 0.

Vetor Unitário (Versor)

Vetor v cuja norma é estritamente igual a 1, isto é, ||v|| = 1.

Normalização de um Vetor

Processo de multiplicar um vetor v != 0 pelo escalar 1/||v|| para obter um versor.

Conjunto Ortonormal

Conjunto de vetores mutuamente ortogonais em que cada vetor possui norma unitária.

Independência de Conjuntos Ortogonais

Qualquer conjunto de vetores ortogonais não-nulos é linearmente independente.

Projeção Ortogonal de Vetores

Projeção de u sobre v: proj_v(u) = (<u, v> / <v, v>) * v.

Complemento Ortogonal

Conjunto de todos os vetores de V ortogonais a todos os vetores de um subespaço W.

Processo de Gram-Schmidt

Algoritmo que transforma uma base qualquer em uma base ortogonal ou ortonormal.

Autovetor (Vetor Próprio)

Vetor não-nulo v tal que T(v) = lambda * v para um operador linear T e escalar lambda.

Autovalor (Valor Próprio)

Escalar lambda associado a um autovetor não-nulo v tal que T(v) = lambda * v.

Autoespaço

Subespaço gerado por todos os autovetores associados a um dado autovalor lambda, unido ao vetor 0.

Espaço Vetorial Quociente

Espaço V/W composto pelas classes laterais v + W onde W é um subespaço de V.

Espaço Dual V*

Espaço vetorial composto por todos os funcionais lineares de V no corpo base K.