Pré-Cálculo

Cartões · 55

Distância entre dois pontos no plano

d = raiz((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2), baseada no Teorema de Pitágoras para coordenadas cartesianas.

Ponto médio de um segmento

M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2), que representa a média aritmética das coordenadas dos extremos.

Coeficiente angular de uma reta (m)

m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = Delta y / Delta x, medindo a taxa média de variação e a inclinação da reta.

Equação ponto-inclinação da reta

y - y0 = m(x - x0), onde m é a inclinação e (x0, y0) é um ponto pertencente à reta.

Equação reduzida da reta

y = mx + b, onde m é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear (interseção com o eixo y).

Retas paralelas no plano

Duas retas não-verticais com inclinações m1 e m2 são paralelas se, e somente se, m1 = m2.

Retas perpendiculares no plano

Duas retas não-verticais são perpendiculares se, e somente se, m1 * m2 = -1 (ou m1 = -1/m2).

Equação da circunferência

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, representando todos os pontos à distância fixa r do centro (h, k).

Definição de função

Relação f entre A e B em que cada elemento x em A está associado a exatamente um elemento f(x) em B.

Domínio e Imagem

Domínio é o conjunto de entradas válidas x; Imagem é o conjunto de todas as saídas f(x) atingidas.

Função injetora

Uma função onde f(a) = f(b) implica a = b; elementos distintos do domínio geram imagens distintas.

Função sobrejetora

Uma função onde para todo y no contradomínio existe pelo menos um x no domínio tal que f(x) = y.

Função bijetora

Função que é simultaneamente injetora e sobrejetora, admitindo uma inversa bem-definida f^(-1).

Função par

f(-x) = f(x) para todo x no domínio; o gráfico apresenta simetria em relação ao eixo vertical y.

Função ímpar

f(-x) = -f(x) para todo x no domínio; o gráfico apresenta simetria rotacional em relação à origem.

Composição de funções

(f o g)(x) = f(g(x)), aplicando primeiro a função g ao elemento x e depois a função f ao resultado.

Função inversa

f^(-1)(y) = x se e somente se f(x) = y, satisfazendo f(f^(-1)(x)) = x e f^(-1)(f(x)) = x.

Taxa média de variação

[f(b) - f(a)] / (b - a), que corresponde à inclinação da reta secante ao gráfico entre a e b.

Quociente de diferenças

[f(x + h) - f(x)] / h com h != 0, base para a definição do limite da derivada no cálculo.

Função modular

|x| = x se x >= 0 e |x| = -x se x < 0; representa a distância euclidiana de x até a origem.

Fórmula quadrática (Bhaskara)

x = (-b +- raiz(Delta)) / (2a), onde o discriminante é Delta = b^2 - 4ac.

Vértice da parábola

V = (-b/(2a), -Delta/(4a)), correspondendo ao ponto de máximo (a < 0) ou mínimo (a > 0) de f(x) = ax^2 + bx + c.

Teorema do Resto

Ao dividir um polinômio P(x) por (x - c), o resto constante da divisão algébrica é igual a P(c).

Teorema de D'Alembert (do Fator)

Um polinômio P(x) possui (x - c) como fator se e somente se P(c) = 0, isto é, c é uma raiz.

Teorema Fundamental da Álgebra

Todo polinômio de grau n >= 1 com coeficientes complexos tem exatamente n raízes no corpo dos complexos.

Assíntota vertical

Reta x = a onde f(x) tende a mais ou menos infinito conforme x se aproxima de a por qualquer dos lados.

Assíntota horizontal

Reta y = L onde f(x) se aproxima de L quando x tende a infinito ou a menos infinito.

Propriedade do produto de potências

a^m * a^n = a^(m + n), válida para qualquer base a > 0 e expoentes reais m e n.

Definição de logaritmo

log_b(a) = c se e somente se b^c = a, onde a base b > 0, b != 1, e o logaritmando a > 0.

Logaritmo do produto

log_b(x * y) = log_b(x) + log_b(y), transformando multiplicação em soma de termos.

Logaritmo do quociente

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y), transformando divisão em subtração de termos.

Logaritmo da potência

log_b(x^k) = k * log_b(x), permitindo descer expoentes como fatores multiplicativos.

Fórmula de mudança de base

log_b(a) = log_c(a) / log_c(b), permitindo reescrever qualquer logaritmo em uma nova base c.

Número de Euler (e)

Limite de (1 + 1/n)^n quando n tende ao infinito; base dos logaritmos naturais (ln(x) = log_e(x)).

Radianos e graus

pi radianos = 180 graus; conversão obtida multiplicando radianos por 180/pi ou graus por pi/180.

Identidade trigonométrica fundamental

sen^2(theta) + cos^2(theta) = 1, derivada diretamente do Teorema de Pitágoras no círculo unitário.

Identidade trigonométrica da tangente e secante

1 + tg^2(theta) = sec^2(theta), obtida dividindo a identidade fundamental por cos^2(theta).

Identidade trigonométrica da cotangente e cossecante

1 + cotg^2(theta) = cossec^2(theta), obtida dividindo a identidade fundamental por sen^2(theta).

Seno da soma de arcos

sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a).

Cosseno da soma de arcos

cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b).

Seno do arco duplo

sen(2theta) = 2sen(theta)cos(theta).

Cosseno do arco duplo

cos(2theta) = cos^2(theta) - sen^2(theta) = 2cos^2(theta) - 1 = 1 - 2sen^2(theta).

Fórmula do arco metade para seno

sen^2(theta / 2) = (1 - cos(theta)) / 2, comumente usada para integração de potências trigonométricas.

Fórmula do arco metade para cosseno

cos^2(theta / 2) = (1 + cos(theta)) / 2, ferramenta clássica para simplificação algébrica.

Lei dos Senos

a / sen(A) = b / sen(B) = c / sen(C) = 2R, relacionando lados, ângulos e o raio da circunferência circunscrita.

Lei dos Cossenos

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C), generalização do Teorema de Pitágoras para triângulos quaisquer.

Período das funções trigonométricas

Seno e cosseno têm período fundamental 2pi; a tangente tem período fundamental pi.

Identidade da diferença de quadrados

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b), fatoração básica frequentemente usada na racionalização.

Identidade da soma e diferença de cubos

a^3 +- b^3 = (a +- b)(a^2 -+ ab + b^2).

Soma de uma Progressão Aritmética (PA)

Sn = n * (a1 + an) / 2, onde n é o total de termos, a1 o primeiro termo e an o enésimo.

Soma de uma Progressão Geométrica finita (PG)

Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q), para razão constante q != 1.

Soma de uma Progressão Geométrica infinita

S = a1 / (1 - q), válida estritamente para razões que satisfazem |q| < 1.

Desigualdade triangular

|a + b| <= |a| + |b|, afirmando que o módulo da soma nunca supera a soma dos módulos.

Conversão de coordenadas polares para cartesianas

x = r * cos(theta) e y = r * sen(theta), onde r é o raio e theta é o ângulo polar.

Conversão de coordenadas cartesianas para polares

r = raiz(x^2 + y^2) e theta = arctg(y / x), ajustando o quadrante conforme os sinais de x e y.