Introdução ao Cálculo: Exercícios Resolvidos

Cartões · 51

Calcule: lim (x -> 3) (2x + 5)

Substituição direta: 2(3) + 5 = 6 + 5 = 11. Resposta final: 11.

Calcule: lim (x -> 2) (x^2 - 4)/(x - 2)

Indeterminação 0/0. Fatore o numerador: (x - 2)(x + 2)/(x - 2) = x + 2. Substitua x = 2: 2 + 2 = 4. Resposta final: 4.

Calcule: lim (x -> 1) (x^2 + 2x - 3)/(x - 1)

Fatorando o numerador: (x - 1)(x + 3)/(x - 1) = x + 3. Para x = 1: 1 + 3 = 4. Resposta final: 4.

Calcule: lim (x -> 0) sen(x)/x

Este é o limite fundamental trigonométrico. Resposta final: 1.

Calcule: lim (x -> 0) sen(3x)/x

Multiplique e divida por 3: 3 * [sen(3x)/(3x)]. Como lim sen(u)/u = 1 quando u -> 0, temos 3 * 1 = 3. Resposta final: 3.

Calcule: lim (x -> infinito) (3x^2 + 2)/(5x^2 - 1)

Divida todos os termos pelo maior grau x^2: (3 + 2/x^2)/(5 - 1/x^2). No infinito, 2/x^2 e 1/x^2 tendem a 0. Resposta final: 3/5.

Calcule: lim (x -> 4) (sqrt(x) - 2)/(x - 4)

Racionalize multiplicando por (sqrt(x)+2): (x - 4)/[(x - 4)(sqrt(x)+2)] = 1/(sqrt(x)+2). Substitua x = 4: 1/(2+2) = 1/4. Resposta final: 1/4.

Calcule: lim (x -> -1) (x^3 + 1)/(x + 1)

Fatore soma de cubos: (x + 1)(x^2 - x + 1)/(x + 1) = x^2 - x + 1. Substitua x = -1: (-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3. Resposta final: 3.

Calcule: lim (x -> 0) (1 - cos(x))/x

Multiplique por (1 + cos(x)): sen^2(x)/[x(1 + cos(x))] = [sen(x)/x] * [sen(x)/(1 + cos(x))] = 1 * (0/2) = 0. Resposta final: 0.

Calcule: lim (x -> infinito) (2x + 1)/(x^2 + 4)

Grau do denominador é maior que o do numerador. Dividindo por x^2: (2/x + 1/x^2)/(1 + 4/x^2) -> 0/1 = 0. Resposta final: 0.

Calcule: lim (x -> 0) (e^x - 1)/x

Limite fundamental exponencial ou derivada de e^x em x=0. Resposta final: 1.

Calcule: lim (x -> infinito) (1 + 1/x)^x

Definição do número de Euler (base dos logaritmos naturais). Resposta final: e.

Calcule: lim (x -> 3) (x^2 - 9)/(x^2 - 2x - 3)

Fatorando: (x - 3)(x + 3) / [(x - 3)(x + 1)] = (x + 3)/(x + 1). Substitua x = 3: (3 + 3)/(3 + 1) = 6/4 = 3/2. Resposta final: 3/2.

Calcule: lim (x -> 2^+) 1/(x - 2)

Conforme x se aproxima de 2 pela direita, x - 2 > 0 e tende a 0. Portanto, 1/(0+) = +infinito. Resposta final: +infinito.

Calcule: lim (x -> 2^-) 1/(x - 2)

Conforme x se aproxima de 2 pela esquerda, x - 2 < 0 e tende a 0. Portanto, 1/(0-) = -infinito. Resposta final: -infinito.

Calcule: lim (x -> 0) x * sen(1/x)

Pelo Teorema do Confronto: -1 <= sen(1/x) <= 1, logo -|x| <= x*sen(1/x) <= |x|. Como |x| -> 0, o limite é 0. Resposta final: 0.

Derive: f(x) = 7

A derivada de qualquer constante é zero. f'(x) = 0. Resposta final: 0.

Derive: f(x) = x^5

Regra do tombo: d/dx(x^n) = n*x^(n-1). f'(x) = 5x^(5-1) = 5x^4. Resposta final: 5x^4.

Derive: f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 2x - 9

Derive termo a termo: 4(3x^2) - 5(2x) + 2(1) - 0 = 12x^2 - 10x + 2. Resposta final: 12x^2 - 10x + 2.

Derive: f(x) = 1/x

Reescreva como f(x) = x^(-1). Derivando: -1 * x^(-2) = -1/x^2. Resposta final: -1/x^2.

Derive: f(x) = sqrt(x)

Reescreva como f(x) = x^(1/2). Derivando: (1/2) * x^(-1/2) = 1/(2*sqrt(x)). Resposta final: 1/(2*sqrt(x)).

Derive: f(x) = e^x

A derivada da função exponencial natural é ela mesma. Resposta final: e^x.

Derive: f(x) = ln(x)

Pela regra da derivada da função logarítmica natural: d/dx(ln x) = 1/x. Resposta final: 1/x.

Derive: f(x) = sen(x)

A derivada direta do seno é o cosseno. Resposta final: cos(x).

Derive: f(x) = cos(x)

A derivada direta do cosseno é o oposto do seno. Resposta final: -sen(x).

Derive: f(x) = tg(x)

d/dx(sen x / cos x) = (cos^2 x + sen^2 x)/cos^2 x = 1/cos^2 x = sec^2(x). Resposta final: sec^2(x).

Derive: f(x) = x * e^x

Regra do produto (u*v)' = u'v + uv': (x)'*e^x + x*(e^x)' = 1*e^x + x*e^x = (x + 1)e^x. Resposta final: (x + 1)e^x.

Derive: f(x) = x^2 * sen(x)

Regra do produto: (x^2)'*sen(x) + x^2*(sen x)' = 2x*sen(x) + x^2*cos(x). Resposta final: 2x*sen(x) + x^2*cos(x).

Derive: f(x) = (x + 1)/(x - 1)

Regra do quociente: [(1)(x-1) - (x+1)(1)]/(x-1)^2 = (x - 1 - x - 1)/(x-1)^2 = -2/(x-1)^2. Resposta final: -2/(x-1)^2.

Derive: f(x) = (2x + 3)^4

Regra da cadeia: 4(2x + 3)^3 * d/dx(2x + 3) = 4(2x + 3)^3 * 2 = 8(2x + 3)^3. Resposta final: 8(2x + 3)^3.

Derive: f(x) = sen(3x^2)

Regra da cadeia: cos(3x^2) * d/dx(3x^2) = cos(3x^2) * 6x = 6x*cos(3x^2). Resposta final: 6x*cos(3x^2).

Derive: f(x) = e^(5x)

Regra da cadeia: e^(5x) * d/dx(5x) = 5*e^(5x). Resposta final: 5e^(5x).

Derive: f(x) = ln(x^2 + 1)

Regra da cadeia: (1/(x^2 + 1)) * d/dx(x^2 + 1) = 2x/(x^2 + 1). Resposta final: 2x/(x^2 + 1).

Encontre a reta tangente a f(x) = x^2 no ponto x = 1

f(1) = 1. f'(x) = 2x => f'(1) = 2 (inclinação m). Equação: y - 1 = 2(x - 1) => y = 2x - 1. Resposta final: y = 2x - 1.

Calcule a derivada de ordem 2: f(x) = x^4 - 2x^3

f'(x) = 4x^3 - 6x^2. f''(x) = d/dx(4x^3 - 6x^2) = 12x^2 - 12x. Resposta final: 12x^2 - 12x.

Calcule: integral de 5 dx

Integral de constante: integral de k dx = kx + C. Resposta final: 5x + C.

Calcule: integral de x^3 dx

Regra da potência: x^(3+1)/(3+1) + C = x^4 / 4 + C. Resposta final: x^4 / 4 + C.

Calcule: integral de (3x^2 - 4x + 1) dx

Integre termo a termo: 3(x^3/3) - 4(x^2/2) + x + C = x^3 - 2x^2 + x + C. Resposta final: x^3 - 2x^2 + x + C.

Calcule: integral de (1/x) dx

A antiderivada de 1/x é o logaritmo natural do módulo de x. Resposta final: ln|x| + C.

Calcule: integral de e^x dx

A antiderivada da função exponencial natural é ela mesma mais a constante. Resposta final: e^x + C.

Calcule: integral de sen(x) dx

Como d/dx[-cos(x)] = sen(x), a integral indefinida é -cos(x) + C. Resposta final: -cos(x) + C.

Calcule: integral de cos(x) dx

Como d/dx[sen(x)] = cos(x), a integral indefinida é sen(x) + C. Resposta final: sen(x) + C.

Calcule: integral de sec^2(x) dx

Como d/dx[tg(x)] = sec^2(x), a integral é tg(x) + C. Resposta final: tg(x) + C.

Calcule: integral de 1/sqrt(x) dx

Reescreva como x^(-1/2). Pela regra da potência: x^(1/2) / (1/2) + C = 2*sqrt(x) + C. Resposta final: 2*sqrt(x) + C.

Calcule a integral definida: integral de 0 a 2 de 3x^2 dx

Antiderivada: x^3. Pelo TFC: [x^3] de 0 a 2 = 2^3 - 0^3 = 8 - 0 = 8. Resposta final: 8.

Calcule a integral definida: integral de 1 a 3 de (2x + 1) dx

Antiderivada: x^2 + x. Avaliando: (3^2 + 3) - (1^2 + 1) = (9 + 3) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10. Resposta final: 10.

Calcule a integral definida: integral de 0 a pi de sen(x) dx

Antiderivada: -cos(x). Avaliando: -cos(pi) - (-cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2. Resposta final: 2.

Calcule: integral de 2x * e^(x^2) dx

Substituição: u = x^2, du = 2x dx. Integral fica: integral de e^u du = e^u + C = e^(x^2) + C. Resposta final: e^(x^2) + C.

Calcule: integral de 2x / (x^2 + 3) dx

Substituição: u = x^2 + 3, du = 2x dx. Integral: integral de 1/u du = ln|u| + C = ln(x^2 + 3) + C. Resposta final: ln(x^2 + 3) + C.

Calcule: integral de cos(2x) dx

Substituição: u = 2x, du = 2 dx => dx = du/2. (1/2)*integral de cos(u) du = (1/2)*sen(u) + C. Resposta final: (1/2)*sen(2x) + C.

Calcule a área sob f(x) = x de x = 0 até x = 4

Área = integral de 0 a 4 de x dx = [x^2 / 2] de 0 a 4 = 4^2 / 2 - 0 = 16 / 2 = 8. Resposta final: 8.