Trilha Completa de Matemática

Cartões · 52

Derivada (Cálculo)

Taxa de variação instantânea de uma função em relação a uma variável. Notação: f'(x) = lim (h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / h.

Integral de Riemann (Cálculo)

Limite da soma de áreas de retângulos sob uma curva contínua. Notação: integral de a até b de f(x) dx = lim (n -> infinito) somatório de f(xi) * delta x.

Teorema Fundamental do Cálculo (Cálculo)

Conecta a diferenciação com a integração de funções contínuas. Fórmula: integral de a até b de f(x) dx = F(b) - F(a), onde F'(x) = f(x).

Série de Taylor (Cálculo)

Representação de uma função infinitamente diferenciável por série de potências. Fórmula: f(x) = somatório de n=0 ao infinito [f^(n)(a) / n!] * (x - a)^n.

Gradiente (Cálculo Multivariável)

Vetor de derivadas parciais apontando na direção de máxima variação. Notação: nabla f = (df/dx1, df/dx2, ..., df/dxn).

Divergente (Cálculo Vetorial)

Operador diferencial que mede o fluxo de saída de um campo vetorial. Fórmula: div F = nabla . F = dF1/dx + dF2/dy + dF3/dz.

Rotacional (Cálculo Vetorial)

Operador que mede a tendência de rotação de um campo vetorial em torno de um ponto. Notação: rot F = nabla x F.

Teorema de Stokes (Cálculo Vetorial)

Relaciona a integral de linha de um campo ao longo de uma fronteira à integral de superfície do rotacional. Notação: integral de contorno C de F.dr = integral de superfície S de (rot F).dS.

Espaço Vetorial (Álgebra Linear)

Conjunto munido de adição vetorial e multiplicação por escalar fechadas e associativas. Notação: (V, +, .).

Autovalor e Autovetor (Álgebra Linear)

Vetor não-nulo cuja transformação resulta apenas em mudança de escala pelo autovalor. Notação: A * v = lambda * v.

Determinante (Álgebra Linear)

Função multilinear alternada que expressa a escala de volume sob a transformação linear. Notação: det(A) ou |A|.

Produto Escalar (Álgebra Linear)

Operação binária que mapeia dois vetores em um escalar real ou complexo. Fórmula euclidiana: u . v = somatório de ui * vi = ||u|| ||v|| cos(theta).

Produto Vetorial (Álgebra Linear)

Operação binária entre vetores em R3 gerando um vetor ortogonal a ambos. Notação: u x v = ||u|| ||v|| sen(theta) n.

Posto de uma Matriz (Álgebra Linear)

Número máximo de linhas ou colunas linearmente independentes da matriz. Notação: posto(A) = dim(col(A)) = dim(lin(A)).

Decomposição em Valores Singulares (Álgebra Linear)

Fatoração de uma matriz real ou complexa em matrizes unitárias e diagonais. Fórmula: A = U * Sigma * V^T.

Grupo (Álgebra Abstrata)

Conjunto munido de operação binária associativa com elemento neutro e inverso para todo elemento. Notação: (G, *).

Anel (Álgebra Abstrata)

Estrutura com duas operações binárias: grupo abeliano sob adição e semigrupo sob multiplicação distributiva. Notação: (R, +, *).

Corpo (Álgebra Abstrata)

Anel comutativo com unidade em que todo elemento não-nulo possui inverso multiplicativo. Notação: (K, +, *).

Homomorfismo de Grupos (Álgebra Abstrata)

Mapeamento entre grupos que preserva a estrutura algébrica. Definição: phi(a * b) = phi(a) * phi(b).

Subgrupo Normal (Álgebra Abstrata)

Subgrupo invariante sob conjugação por qualquer elemento do grupo principal. Definição: g * N * g^(-1) = N para todo g em G.

Espaço Topológico (Topologia)

Conjunto X munido de uma coleção de subconjuntos abertos fechada sob uniões arbitrárias e interseções finitas. Notação: (X, tau).

Homeomorfismo (Topologia)

Bijeção contínua entre espaços topológicos cuja inversa também é contínua. Notação: f: X -> Y homeomorfismo se f e f^(-1) são contínuas.

Espaço Compacto (Topologia)

Espaço topológico onde toda cobertura aberta admite uma subcobertura finita. Definição: Para toda cobertura U_i, existe subconjunto finito cobrindo X.

Espaço Conexo (Topologia)

Espaço que não pode ser particionado em dois subconjuntos abertos disjuntos não-vazios. Definição: X = A união B com A, B abertos disjuntos implica A vazio ou B vazio.

Variedade Diferenciável (Topologia/Geometria)

Espaço topológico localmente homeomorfo ao espaço euclidiano com cartas de transição suaves. Notação: M com atlas {(U_alpha, phi_alpha)}.

Número Primo (Teoria dos Números)

Inteiro maior que 1 divisível apenas por 1 e por ele mesmo. Notação: p pertence a N, p > 1, divisores(p) = {1, p}.

Congruência Modular (Teoria dos Números)

Dois inteiros diferem por um múltiplo de um número fixado n. Notação: a compatível com b (mod n) <=> n divide (a - b).

Pequeno Teorema de Fermat (Teoria dos Números)

Se p é primo e não divide a, a potência p-1 de a é congruente a 1 módulo p. Notação: a^(p-1) congruente a 1 (mod p).

Função Totiente de Euler (Teoria dos Números)

Conta os inteiros positivos até n que são coprimos com n. Notação: phi(n) = n * produto de (1 - 1/p) para todo p primo divisor de n.

Relação de Bézout (Teoria dos Números)

O máximo divisor comum de dois inteiros pode ser escrito como combinação linear deles. Fórmula: mdc(a, b) = a*x + b*y para x, y inteiros.

Probabilidade Condicional (Probabilidade)

Probabilidade de ocorrência de um evento A dado que o evento B já ocorreu. Fórmula: P(A|B) = P(A intersecção B) / P(B), onde P(B) > 0.

Teorema de Bayes (Probabilidade)

Relaciona probabilidades condicionais invertidas usando probabilidades marginais. Fórmula: P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B).

Esperança Matemática (Probabilidade)

Valor médio ponderado das probabilidades de uma variável aleatória discreta ou contínua. Fórmula: E[X] = integral de x * f(x) dx ou somatório de xi * P(X = xi).

Variância (Estatística)

Medida da dispersão dos valores em torno da média matemática. Fórmula: Var(X) = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2.

Distribuição Normal (Probabilidade)

Distribuição contínua com densidade de probabilidade em formato de sino. Fórmula: f(x) = (1 / (sigma*sqrt(2*pi))) * exp(-(x - mu)^2 / (2*sigma^2)).

Teorema Central do Limite (Probabilidade)

A soma de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas converge para a distribuição normal. Notação: Z_n = (S_n - n*mu) / (sigma*sqrt(n)) -> N(0, 1).

Grafo Simples (Combinatória/Grafos)

Par ordenado consistindo de conjunto de vértices e conjunto de arestas não direcionadas sem laços. Notação: G = (V, E), onde E é subconjunto de V escolhe 2.

Permutação Simples (Combinatória)

Arranjo ordenado de n elementos distintos tomados todos de uma vez. Fórmula: P_n = n! = n * (n - 1) * ... * 1.

Combinação Simples (Combinatória)

Subconjuntos de k elementos formados a partir de um conjunto de n elementos distintos. Notação: C(n, k) = (n escolhe k) = n! / [k! * (n - k)!].

Princípio da Inclusão-Exclusão (Combinatória)

Fórmula para computar o tamanho da união de múltiplos conjuntos finitos. Notação: |A união B| = |A| + |B| - |A intersecção B|.

Grafo Euleriano (Teoria dos Grafos)

Grafo conexo que possui um circuito fechado contendo cada aresta exatamente uma vez. Teorema: Ocorre se e somente se todo vértice possui grau par.

Equação Diferencial Ordinária (Equações Diferenciais)

Equação relacionando uma função desconhecida de uma variável com suas derivadas. Exemplo linear: y' + p(x)y = q(x).

Transformada de Laplace (Equações Diferenciais)

Operador integral que converte uma função do domínio do tempo para o domínio da frequência complexa. Fórmula: L{f(t)} = integral de 0 a infinito de exp(-st)*f(t) dt.

Transformada de Fourier (Análise Harmônica)

Decomposição de uma função em suas componentes de frequências contínuas. Fórmula: F(omega) = integral de -infinito a infinito de f(t)*exp(-i*omega*t) dt.

Holomorfia (Análise Complexa)

Função com valores complexos que é diferenciável em cada ponto de seu domínio aberto. Definição: f'(z) = lim (h -> 0) [f(z + h) - f(z)] / h existe.

Equações de Cauchy-Riemann (Análise Complexa)

Condição necessária para que uma função f(z) = u(x,y) + i*v(x,y) seja holomorfa. Fórmulas: du/dx = dv/dy e du/dy = -dv/dx.

Teorema Integral de Cauchy (Análise Complexa)

A integral de linha de uma função holomorfa sobre um contorno fechado simples é nula. Fórmula: integral fechada de f(z) dz = 0.

Espaço de Hilbert (Análise Funcional)

Espaço vetorial munido de produto interno completo com respeito à norma induzida. Notação: H completo com ||x|| = sqrt(<x, x>).

Espaço de Banach (Análise Funcional)

Espaço vetorial normado que é completo na métrica induzida pela norma. Notação: (X, ||.||) onde toda sequência de Cauchy converge em X.

Métrica Euclidiana (Geometria)

Distância entre dois pontos no espaço n-dimensional via teorema de Pitágoras. Fórmula: d(x, y) = sqrt(somatório de (xi - yi)^2).

Curvatura Gaussiana (Geometria Diferencial)

Produto das duas curvaturas principais em um ponto de uma superfície suave em R3. Notação: K = kappa1 * kappa2.

Geodésica (Geometria Diferencial)

Curva que minimiza localmente a distância entre pontos em uma variedade Riemanniana. Equação: d^2 x^k / dt^2 + Gamma^k_ij (dx^i / dt)(dx^j / dt) = 0.