Cálculo 3 2

Cartões · 20

Derivada Direcional de f(x,y)=x^2+y^2 em (1,2) na direção de v=(3,4)

1. Vetor unitário u = (3/5, 4/5). 2. Gradiente grad f = (2x, 2y), em (1,2) é (2,4). 3. Produto escalar: Duf = (2)*(3/5) + (4)*(4/5) = 6/5 + 16/5 = 22/5.

Vetor Gradiente e taxa máxima de variação para f(x,y)=2x+3y^2 em (2,1)

1. Calcule grad f = (2, 6y). 2. Avalie no ponto: grad f(2,1) = (2,6). 3. A taxa máxima é a norma do gradiente: raiz(2^2 + 6^2) = raiz(40) = 2*raiz(10).

Plano Tangente à superfície z = x^2 + y^2 no ponto (1, 1, 2)

1. fx = 2x => fx(1,1)=2; fy = 2y => fy(1,1)=2. 2. Equação: z - z0 = fx*(x - x0) + fy*(y - y0). 3. z - 2 = 2(x - 1) + 2(y - 1) => 2x + 2y - z = 2.

Multiplicadores de Lagrange: maximizar f(x,y)=xy sujeito a g(x,y)=x+y=6

1. grad f = lambda * grad g => (y, x) = lambda * (1, 1). 2. Logo x = y = lambda. 3. Pela restrição x + y = 6 => 2x = 6 => x = 3, y = 3. O valor máximo é 9.

Integral Dupla: integral dupla de xy dA sobre R=[0,2] x [0,1]

1. Fatore a integral: integral de 0 a 2 de x dx vezes integral de 0 a 1 de y dy. 2. [x^2 / 2] de 0 a 2 = 2. 3. [y^2 / 2] de 0 a 1 = 1/2. 4. Produto: 2 * (1/2) = 1.

Coordenadas Polares: calcular integral sobre o disco x^2+y^2 <= 4 de 1 dA

1. Conversão: dA = r dr dtheta, 0<=r<=2, 0<=theta<=2pi. 2. Integral em theta: 2pi. 3. Integral em r: [r^2 / 2] de 0 a 2 = 2. 4. Área = 2pi * 2 = 4pi.

Massa de Lâmina: rho(x,y)=x sobre a região 0<=x<=1, 0<=y<=2

1. Integral dupla de rho(x,y) dA. 2. Integral de 0 a 2 dy = 2. 3. Integral de 0 a 1 de x dx = 1/2. 4. Massa M = 2 * (1/2) = 1.

Integral Tripla: volume da caixa 0<=x<=1, 0<=y<=2, 0<=z<=3

1. Volume = integral tripla de 1 dV. 2. Fatorando limites: (integral de dx)*(integral de dy)*(integral de dz). 3. Resultado: 1 * 2 * 3 = 6.

Coordenadas Cilíndricas: volume de cilindro x^2+y^2<=1, 0<=z<=4

1. Elemento dV = r dz dr dtheta. 2. Limites: z de 0 a 4, r de 0 a 1, theta de 0 a 2pi. 3. Integral = 4 * pi * [r^2 / 2 de 0 a 1] * 2 = 4pi.

Coordenadas Esféricas: integral de 1 dV sobre a esfera de raio R=1

1. dV = rho^2 sen(phi) drho dphi dtheta. 2. rho de 0 a 1: 1/3. 3. phi de 0 a pi: 2. 4. theta de 0 a 2pi: 2pi. 5. Volume = (1/3) * 2 * 2pi = 4/3 pi.

Integral de Linha Escalar: f(x,y)=x ao longo de r(t)=(t, 2t), 0<=t<=1

1. r'(t) = (1, 2) => ||r'(t)|| = raiz(1^2 + 2^2) = raiz(5). 2. Substituto: integral de t * raiz(5) dt de 0 a 1. 3. Resultado = raiz(5) * [t^2 / 2] = raiz(5)/2.

Trabalho de Campo Vetorial F=(y, x) ao longo de r(t)=(t, t^2), 0<=t<=1

1. F(r(t)) = (t^2, t). 2. r'(t) = (1, 2t). 3. F . r' = t^2*(1) + t*(2t) = 3t^2. 4. Integral de 0 a 1 de 3t^2 dt = [t^3] de 0 a 1 = 1.

Campo Conservativo: verificar se F=(2xy, x^2) é conservativo

1. P = 2xy, Q = x^2. 2. dP/dy = 2x. 3. dQ/dx = 2x. 4. Como dP/dy = dQ/dx e o domínio é R^2, o campo é conservativo.

Função Potencial de F=(2x + y, x)

1. df/dx = 2x + y => f(x,y) = x^2 + xy + g(y). 2. df/dy = x + g'(y) = x => g'(y) = 0. 3. Portanto, a função potencial é f(x,y) = x^2 + xy + C.

Teorema Fundamental das Integrais de Linha para F=grad(xy) de (0,0) a (2,3)

1. Função potencial f(x,y) = xy. 2. Ponto inicial A=(0,0), final B=(2,3). 3. Integral de F.dr = f(B) - f(A) = (2*3) - (0*0) = 6.

Teorema de Green: integral de linha fechada de (x dy - y dx) no círculo raio 1

1. P = -y, Q = x. 2. dQ/dx - dP/dy = 1 - (-1) = 2. 3. Pelo teorema: integral dupla de 2 dA. 4. Área do disco é pi*1^2 = pi. Resultado = 2*pi.

Rotacional do Campo Vetorial F = (z, x, y)

1. rot F = nabla x F = (d/dy y - d/dz x, d/dz z - d/dx y, d/dx x - d/dy z). 2. Calculando cada componente: (1 - 0, 1 - 0, 1 - 0) = (1, 1, 1).

Divergente do Campo Vetorial F = (x^2, 2y, z^3) no ponto (1, 1, 1)

1. div F = d(x^2)/dx + d(2y)/dy + d(z^3)/dz = 2x + 2 + 3z^2. 2. Avaliando em (1,1,1): 2(1) + 2 + 3(1)^2 = 2 + 2 + 3 = 7.

Teorema da Divergência (Gauss): fluxo de F=(x, y, z) na esfera unitária

1. div F = 1 + 1 + 1 = 3. 2. Pelo teorema: Fluxo = integral tripla de 3 dV sobre a esfera. 3. Volume da esfera é 4/3 pi. 4. Fluxo = 3 * (4/3 pi) = 4pi.

Teorema de Stokes: circulação de F sobre bordo de S com rot F = (0, 0, 2)

1. S é disco unitário no plano xy com normal n=(0,0,1). 2. rot F . n = 2. 3. Pelo teorema de Stokes: integral fechada F.dr = integral dupla de 2 dA = 2 * pi = 2pi.