Cálculo: Derivadas

Cartões · 50

Derivada de uma constante: f(x) = c

Para f(x) = 7: a taxa de variação de um valor fixo é nula, logo f'(x) = 0.

Regra da potência com expoente inteiro positivo: f(x) = x^n

Para f(x) = x^4: tomba-se o expoente e subtrai-se 1. f'(x) = 4 * x^(4-1) = 4x^3.

Regra da multiplicação por constante: f(x) = c * g(x)

Para f(x) = 5x^3: mantém-se a constante e deriva-se o termo: f'(x) = 5 * (3x^2) = 15x^2.

Regra da soma: f(x) = u(x) + v(x)

Para f(x) = x^2 + 6x: deriva-se cada parcela separadamente: f'(x) = 2x + 6.

Regra da diferença: f(x) = u(x) - v(x)

Para f(x) = 4x^5 - 2x^2: deriva-se termo a termo: f'(x) = 20x^4 - 4x.

Regra da potência com expoente negativo: f(x) = x^(-n)

Para f(x) = 1/x^2 = x^(-2): f'(x) = -2 * x^(-2-1) = -2x^(-3) = -2/x^3.

Regra da potência com expoente fracionário (raiz): f(x) = raiz(x)

Para f(x) = x^(1/2): f'(x) = (1/2) * x^(1/2 - 1) = (1/2) * x^(-1/2) = 1 / (2*raiz(x)).

Regra do produto: f(x) = u(x) * v(x)

Para f(x) = x^2 * sen(x): u'*v + u*v' = (2x)*sen(x) + (x^2)*cos(x).

Regra do quociente: f(x) = u(x) / v(x)

Para f(x) = x / (x+1): [u'*v - u*v'] / v^2 = [1*(x+1) - x*(1)] / (x+1)^2 = 1 / (x+1)^2.

Regra da cadeia básica: f(x) = g(h(x))

Para f(x) = (3x + 1)^4: deriva o externo e multiplica pela derivada interna: 4(3x + 1)^3 * 3 = 12(3x + 1)^3.

Derivada da função exponencial natural: f(x) = e^x

Para f(x) = e^x: sua taxa de variação instantânea é ela própria, logo f'(x) = e^x.

Regra da cadeia com exponencial: f(x) = e^(g(x))

Para f(x) = e^(5x^2): deriva-se o expoente e multiplica pela função original: f'(x) = 10x * e^(5x^2).

Derivada da função logarítmica natural: f(x) = ln(x)

Para f(x) = ln(x): a derivada é o inverso do argumento, f'(x) = 1/x (para x > 0).

Regra da cadeia com logaritmo natural: f(x) = ln(g(x))

Para f(x) = ln(x^3 + 2): usa-se g'(x)/g(x), resultando em f'(x) = 3x^2 / (x^3 + 2).

Derivada de exponencial de base genérica: f(x) = a^x

Para f(x) = 2^x: aplica-se a regra a^x * ln(a), obtendo f'(x) = 2^x * ln(2).

Derivada de logaritmo com base genérica: f(x) = log_a(x)

Para f(x) = log10(x): f'(x) = 1 / (x * ln(10)).

Derivada do seno: f(x) = sen(x)

Para f(x) = sen(x): por definição de limite trigonométrico fundamental, f'(x) = cos(x).

Derivada do cosseno: f(x) = cos(x)

Para f(x) = cos(x): f'(x) = -sen(x).

Derivada da tangente: f(x) = tg(x)

Para f(x) = sen(x)/cos(x): aplicando regra do quociente, f'(x) = sec^2(x).

Regra da cadeia com seno: f(x) = sen(g(x))

Para f(x) = sen(4x): multiplica-se cos(4x) pela derivada de 4x: f'(x) = 4*cos(4x).

Regra da cadeia com cosseno: f(x) = cos(g(x))

Para f(x) = cos(x^2): multiplica-se -sen(x^2) por 2x: f'(x) = -2x*sen(x^2).

Derivada da secante: f(x) = sec(x)

Para f(x) = 1/cos(x): f'(x) = sec(x) * tg(x).

Derivada da cossecante: f(x) = cossec(x)

Para f(x) = 1/sen(x): f'(x) = -cossec(x) * cotg(x).

Derivada da cotangente: f(x) = cotg(x)

Para f(x) = cos(x)/sen(x): f'(x) = -cossec^2(x).

Derivada do arco seno: f(x) = arcsen(x)

Para y = arcsen(x): derivando implicitamente sen(y) = x, obtém-se f'(x) = 1 / raiz(1 - x^2).

Derivada do arco cosseno: f(x) = arccos(x)

Para f(x) = arccos(x): f'(x) = -1 / raiz(1 - x^2).

Derivada do arco tangente: f(x) = arctg(x)

Para y = arctg(x): de tg(y) = x decorre sec^2(y)*y' = 1, logo f'(x) = 1 / (1 + x^2).

Derivação implícita de polinômio

Para x^2 + y^2 = 25: deriva-se em x: 2x + 2y*y' = 0; isolando y', tem-se y' = -x/y.

Derivação implícita com produto: x * y = 1

Deriva-se com a regra do produto: 1*y + x*y' = 0; isolando o termo y', obtém-se y' = -y/x.

Derivação logarítmica: f(x) = x^x

Aplica-se ln: ln(y) = x*ln(x). Deriva-se: y'/y = ln(x) + 1. Logo, y' = x^x * (ln(x) + 1).

Derivada de segunda ordem: f''(x)

Para f(x) = x^3 - 5x: primeira derivada f'(x) = 3x^2 - 5; derivando novamente, f''(x) = 6x.

Derivada de ordem superior (n-ésima): f(x) = e^(2x)

f'(x)=2e^(2x), f''(x)=4e^(2x), deduzindo recursivamente f^(n)(x) = 2^n * e^(2x).

Inclinação da reta tangente a uma curva em um ponto

Para f(x) = x^2 em x = 3: calcula-se f'(x) = 2x; no ponto, o coeficiente angular m = f'(3) = 6.

Equação da reta tangente em um ponto (x0, y0)

Para f(x) = x^2 em (2, 4): f'(2) = 4. Aplica-se y - 4 = 4*(x - 2), resultando em y = 4x - 4.

Equação da reta normal em um ponto

Para f(x) = x^2 em (2, 4): reta normal tem m_n = -1/f'(2) = -1/4; logo y - 4 = -1/4*(x - 2).

Encontrar pontos críticos: f'(x) = 0

Para f(x) = x^3 - 3x: f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 -> 3(x^2 - 1) = 0, gerando os pontos críticos x = 1 e x = -1.

Teste da primeira derivada para máximos e mínimos

Para f(x) = x^2 - 4x: f'(x) = 2x - 4. Em x < 2 f' < 0 e em x > 2 f' > 0, caracterizando mínimo relativo em x = 2.

Teste da segunda derivada para extremos

Para f(x) = -x^2 + 4x: f'(x) = -2x + 4 = 0 em x = 2; f''(x) = -2 < 0, logo x = 2 é máximo local.

Determinação de ponto de inflexão: f''(x) = 0

Para f(x) = x^3: f'(x) = 3x^2 e f''(x) = 6x = 0 em x = 0; há troca de concavidade, logo (0,0) é inflexão.

Regra de L'Hôpital para indeterminação 0/0

Para lim(x->0) sen(x)/x: derivada do numerador é cos(x) e do denominador é 1; lim cos(x)/1 = 1.

Regra de L'Hôpital para indeterminação infinito/infinito

Para lim(x->inf) ln(x)/x: derivando numerador (1/x) e denominador (1), obtém-se lim(x->inf) 1/x = 0.

Taxas relacionadas: área de um círculo crescendo

Para A = pi*r^2: deriva-se em t -> dA/dt = 2*pi*r*(dr/dt). Com r=5 e dr/dt=2, dA/dt = 20*pi.

Aproximação linear (diferencial): f(x + dx) ~= f(x) + f'(x)*dx

Para estimar raiz(4.1): f(x)=raiz(x), f'(4)=1/(2*2)=0.25; raiz(4.1) ~= 2 + 0.25*(0.1) = 2.025.

Derivada do seno hiperbólico: f(x) = senh(x)

Como senh(x) = (e^x - e^(-x))/2, derivando obtém-se (e^x + e^(-x))/2 = cosh(x).

Derivada do cosseno hiperbólico: f(x) = cosh(x)

Como cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2, derivando obtém-se (e^x - e^(-x))/2 = senh(x).

Derivada de função inversa: (f^(-1))'(y)

Se y = f(x) = x^3, com f'(x) = 3x^2: para y=8 (x=2), (f^(-1))'(8) = 1/f'(2) = 1/12.

Regra do produto triplo: f(x) = u*v*w

Para f(x) = x * e^x * sen(x): f'(x) = 1*e^x*sen(x) + x*e^x*sen(x) + x*e^x*cos(x).

Derivada da função valor absoluto: f(x) = |x|

Como |x| = raiz(x^2), deriva-se por cadeia obtendo 2x / (2*raiz(x^2)) = x / |x| (para todo x diferente de 0).

Teorema de Rolle aplicado

Para f(x) = x^2 - 4 em [-2, 2]: f contínua, f(-2)=f(2)=0. Derivada f'(c) = 2c = 0 garante c = 0 no intervalo.

Teorema do Valor Médio (TVM) aplicado

Para f(x) = x^2 em [0, 2]: [f(2)-f(0)]/(2-0) = 4/2 = 2. Igualando f'(c) = 2c = 2, obtém-se c = 1.