Diagramas Lógicos e Conjuntos

Cartões · 52

Conjunto Universo (U)

Conjunto que contém todos os elementos sob consideração em um determinado contexto. No diagrama de Venn, é representado pelo retângulo delimitador externo.

Conjunto Vazio (∅)

Conjunto que não contém nenhum elemento. No diagrama de Venn, corresponde a uma região completamente vazia, sem elementos ou pontos dentro dela.

União de Conjuntos (A ∪ B)

Conjunto dos elementos que pertencem a A, a B ou a ambos. No diagrama de Venn, corresponde à área total coberta por ambos os círculos A e B combinados.

Interseção de Conjuntos (A ∩ B)

Conjunto dos elementos comuns a A e a B simultaneamente. No diagrama de Venn, é representado pela região central de sobreposição entre os círculos A e B.

Diferença de Conjuntos (A \ B ou A - B)

Elementos que pertencem a A mas não pertencem a B. No diagrama de Venn, é a porção do círculo A que exclui a região sobreposta com B (formato de meia-lua).

Diferença Simétrica (A △ B)

Elementos que pertencem exclusivamente a A ou exclusivamente a B, mas não a ambos. No diagrama, sombreiam-se as meias-luas externas de A e B, excluindo o centro.

Complementar de um Conjunto (Aᶜ ou A')

Elementos do conjunto universo U que não pertencem a A. No diagrama de Venn, é toda a área interna do retângulo U situada fora do círculo A.

Subconjunto (A ⊆ B)

Relação em que todo elemento de A também pertence a B. No diagrama de Venn, o círculo A é desenhado inteiramente contido dentro do círculo B.

Subconjunto Próprio (A ⊂ B)

A está contido em B e existe pelo menos um elemento em B que não pertence a A. No diagrama, o círculo A está dentro de B e há espaço sombreado em B fora de A.

Conjuntos Disjuntos (A ∩ B = ∅)

Conjuntos que não possuem nenhum elemento em comum. No diagrama de Venn, são representados por círculos completamente separados, sem sobreposição.

Pertinência (∈)

Relação que indica que um elemento faz parte de um conjunto. No diagrama de Venn, é ilustrada por um ponto situado no interior do círculo do conjunto.

Não-pertinência (∉)

Relação que indica que um elemento não faz parte de um conjunto. No diagrama de Venn, o ponto é posicionado estritamente fora do círculo do conjunto.

Conjunto das Partes / Potência (P(A))

Conjunto de todos os subconjuntos possíveis de A, incluindo o vazio e o próprio A. Possui 2 elevado a n elementos, onde n é a cardinalidade de A.

Cardinalidade (|A| ou n(A))

Número de elementos distintos contidos no conjunto A. No diagrama de Venn, corresponde à contagem numérica total de elementos dentro do círculo de A.

Princípio da Inclusão-Exclusão (2 conjuntos)

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|. Corrige a contagem dupla da interseção sombreada comum aos círculos A e B.

Princípio da Inclusão-Exclusão (3 conjuntos)

Soma das partes individuais, menos as interseções duplas, mais a interseção tripla central. Garante que a área central sobreposta seja contada exatamente uma vez.

Primeira Lei de De Morgan (Conjuntos)

(A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ. O complementar da união equivale à área externa a ambos os círculos, ou seja, a interseção dos seus exteriores.

Segunda Lei de De Morgan (Conjuntos)

(A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ. O complementar da interseção compreende todo o retângulo universo, exceto a pequena lente central de sobreposição entre A e B.

Idempotência da União e Interseção

A ∪ A = A e A ∩ A = A. A sobreposição de um círculo consigo mesmo resulta exatamente na mesma área do próprio círculo.

Propriedade Comutativa dos Conjuntos

A ∪ B = B ∪ A e A ∩ B = B ∩ A. A ordem em que os círculos são combinados ou sobrepostos no diagrama não altera a região resultante.

Propriedade Associativa dos Conjuntos

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) e (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). O agrupamento sucessivo de três círculos resulta na mesma área final delimitada.

Propriedade Distributiva (União sobre Interseção)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Corresponde à junção do círculo A com a região de sobreposição mútua entre B e C.

Propriedade Distributiva (Interseção sobre União)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Região de A que se sobrepõe com a união dos círculos B e C.

Lei do Complemento Duplo

(Aᶜ)ᶜ = A. O complementar da área exterior a um círculo retorna exatamente ao interior do círculo original.

Interseção de um Conjunto com seu Complementar

A ∩ Aᶜ = ∅. Não existe sobreposição entre o interior do círculo A e a região externa a ele no diagrama de Venn.

União de um Conjunto com seu Complementar

A ∪ Aᶜ = U. A união entre o interior de um círculo e toda a sua região externa preenche inteiramente o retângulo universo.

Quantificador Universal (∀)

Lê-se 'para todo' ou 'para qualquer'. Afirma que uma dada propriedade é verdadeira para absolutamente todos os elementos do domínio considerado.

Quantificador Existencial (∃)

Lê-se 'existe pelo menos um'. Afirma que há no mínimo um elemento no domínio para o qual a propriedade especificada é verdadeira.

Quantificador de Existência Única (∃!)

Lê-se 'existe um e apenas um'. Afirma que exatamente um único elemento no universo cumpre a condição lógica dada.

Negação do Quantificador Universal: ¬(∀x P(x))

Equivale a ∃x ¬P(x). Dizer que 'nem todos são P' significa que existe pelo menos um elemento fora do conjunto P no diagrama.

Negação do Quantificador Existencial: ¬(∃x P(x))

Equivale a ∀x ¬P(x). Afirmar que 'não existe nenhum P' equivale a dizer que todos os elementos estão fora do conjunto P (o círculo P é vazio).

Proposição Universal Afirmativa (Todo A é B)

Forma ∀x (A(x) → B(x)). No diagrama de Venn, o círculo A está inteiramente contido dentro de B (ou a região A \ B é sombreada como vazia).

Proposição Universal Negativa (Nenhum A é B)

Forma ∀x (A(x) → ¬B(x)). No diagrama de Venn, os círculos A e B não se tocam, ou a região de interseção mútua é sombreada como vazia.

Proposição Particular Afirmativa (Algum A é B)

Forma ∃x (A(x) ∧ B(x)). No diagrama de Venn, coloca-se um 'X' ou ponto indicativo dentro da região de interseção entre A e B.

Proposição Particular Negativa (Algum A não é B)

Forma ∃x (A(x) ∧ ¬B(x)). No diagrama de Venn, coloca-se um 'X' ou ponto indicativo na meia-lua de A externa ao círculo B.

Interseção Tripla (A ∩ B ∩ C)

Elementos pertencentes simultaneamente aos três conjuntos. No diagrama de três círculos, é a pequena região central onde todos se cruzam.

Região Exclusiva de A em 3 Conjuntos

A \ (B ∪ C). No diagrama de Venn de três círculos, é a porção externa do círculo A que não faz fronteira com nenhuma sobreposição de B ou C.

União Total de Três Conjuntos (A ∪ B ∪ C)

Elementos que pertencem a pelo menos um dos três conjuntos. No diagrama de Venn, corresponde a toda a superfície sombreada pelos três círculos juntos.

Partição de um Conjunto

Divisão de um conjunto em subconjuntos disjuntos não vazios cuja união é o conjunto original. No diagrama, divide o espaço sem sobreposições.

Implicação Lógica e Inclusão (P → Q)

A condicional se P então Q corresponde matematicamente a P ⊆ Q. Se o predicado P é verdadeiro, o elemento está garantidamente dentro do conjunto Q.

Equivalência Lógica e Igualdade (P ↔ Q)

A bicondicional P se e somente se Q traduz-se como P = Q. No diagrama de Venn, os círculos de P e Q coincidem perfeitamente sobrepostos.

Conjunção Lógica (∧) vs Interseção (∩)

A proposição composta P ∧ Q é verdadeira quando ambas são verdadeiras. Em teoria dos conjuntos, representa diretamente a operação de interseção A ∩ B.

Disjunção Lógica Inclusiva (∨) vs União (∪)

A proposição P ∨ Q é verdadeira se pelo menos uma for verdadeira. Em teoria dos conjuntos, corresponde à operação de união de conjuntos A ∪ B.

Disjunção Lógica Exclusiva (⊕) vs Diferença Simétrica

P ⊕ Q é verdadeira quando exatamente uma das proposições é verdadeira. Corresponde à diferença simétrica A △ B no diagrama de Venn.

Negação Lógica (¬) vs Complementar

A negação de um predicado ¬P seleciona todos os elementos para os quais P é falso. No diagrama, equivale ao complementar do conjunto associado (Pᶜ).

Número de Regiões em Diagramas de Venn

Dois círculos dividem o universo em 4 regiões disjuntas (2²); três círculos dividem o universo em 8 regiões disjuntas (2³), incluindo a região externa.

Conjuntos Iguais (A = B)

Dois conjuntos possuem exatamente os mesmos elementos: A ⊆ B e B ⊆ A. No diagrama de Venn, são representados pela mesma fronteira geométrica.

Produto Cartesiano (A × B)

Conjunto de todos os pares ordenados (a, b) onde a ∈ A e b ∈ B. Graficamente é representado por uma grade ou plano cartesiano, não por círculos sobrepostos.

Contrapositiva e Teoria dos Conjuntos

A regra (P → Q) ≡ (¬Q → ¬P) corresponde ao fato de que A ⊆ B é equivalente a Bᶜ ⊆ Aᶜ. Estar fora do conjunto maior B garante estar fora de A.

Diagrama de Euler vs Diagrama de Venn

Diagramas de Venn mostram todas as 2ⁿ combinações possíveis de regiões (mesmo as vazias); diagramas de Euler omitem regiões logicamente impossíveis ou vazias.

Escopo de um Quantificador

Parte da fórmula lógica sobre a qual o quantificador exerce influência. Elementos e variáveis sob seu domínio são chamados de variáveis ligadas.

Variável Livre vs Variável Ligada

Uma variável ligada é regida por um quantificador (∀ ou ∃); uma variável livre não possui quantificador definidor e atua como incógnita ou parâmetro.