Lógica Proposicional: Fundamentos 2

Cartões · 61

O que é uma proposição lógica?

É uma sentença declarativa que pode ser classificada unicamente como verdadeira (V) ou falsa (F), nunca ambas ao mesmo tempo.

Princípio da Identidade

Uma proposição é sempre idêntica a si mesma; se uma proposição é verdadeira, então ela é verdadeira (P = P).

Princípio da Não-Contradição

Uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa sob as mesmas condições (~(P e ~P)).

Princípio do Terceiro Excluído

Uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, não existindo um terceiro valor lógico possível.

Sentenças abertas

Expressões que possuem variáveis indefinidas e que não podem ser valoradas como V ou F até que se atribua um valor à variável.

Frases interrogativas e exclamativas são proposições?

Não. Perguntas, exclamações, ordens imperativas e paradoxos não possuem valor de verdade e não são proposições.

Proposição simples (atômica)

Sentença que expressa um único pensamento completo, sem a presença de conectivos lógicos conectando outras proposições.

Proposição composta (molecular)

Sentença formada pela união de duas ou mais proposições simples por meio de conectivos lógicos.

Número de linhas na tabela-verdade

Dado por 2 elevado a n, onde n representa o número de proposições simples distintas envolvidas na fórmula.

Negação (~ ou ¬)

Conectivo unário que inverte o valor lógico de uma proposição: se P é V, ~P é F; se P é F, ~P é V.

Dupla negação (~(~P))

Equivale logicamente à proposição original afirmativa P.

Conjunção (e / ∧)

Conectivo binário que só resulta em valor verdadeiro quando ambas as proposições componentes forem verdadeiras.

Tabela-verdade da Conjunção: V e F

Falso (F).

Tabela-verdade da Conjunção: V e V

Verdadeiro (V).

Disjunção inclusiva (ou / ∨)

Conectivo binário que só é falso quando ambas as proposições componentes forem falsas; basta uma ser V para o todo ser V.

Tabela-verdade da Disjunção: F ou F

Falso (F).

Tabela-verdade da Disjunção: F ou V

Verdadeiro (V).

Disjunção exclusiva (ou... ou / ⊻)

Conectivo que é verdadeiro apenas quando as proposições têm valores lógicos opostos (uma V e outra F).

Tabela-verdade da Disjunção Exclusiva: V ⊻ V

Falso (F).

Tabela-verdade da Disjunção Exclusiva: V ⊻ F

Verdadeiro (V).

Condicional (se... então / →)

Conectivo que só é falso quando a antecedente for verdadeira e a consequente for falsa (caso 'V → F').

Tabela-verdade do Condicional: F → V

Verdadeiro (V).

Tabela-verdade do Condicional: F → F

Verdadeiro (V).

Condição suficiente no condicional (P → Q)

A antecedente P é condição suficiente para a ocorrência da consequente Q.

Condição necessária no condicional (P → Q)

A consequente Q é condição necessária para a ocorrência da antecedente P.

Bicondicional (se e somente se / ↔)

Conectivo que é verdadeiro quando ambas as proposições possuem o mesmo valor lógico (ambas V ou ambas F).

Tabela-verdade do Bicondicional: V ↔ F

Falso (F).

Tabela-verdade do Bicondicional: F ↔ F

Verdadeiro (V).

Tautologia

Proposição composta cuja tabela-verdade resulta sempre em verdadeiro (V), independentemente do valor das partes.

Contradição

Proposição composta cuja tabela-verdade resulta sempre em falso (F), independentemente do valor das partes.

Contingência

Proposição composta cuja tabela-verdade apresenta pelo menos um valor verdadeiro e pelo menos um falso.

Primeira Lei de De Morgan: ~(P ∧ Q)

~P ∨ ~Q (nega-se ambas e troca-se o conectivo 'e' pelo 'ou').

Segunda Lei de De Morgan: ~(P ∨ Q)

~P ∧ ~Q (nega-se ambas e troca-se o conectivo 'ou' pelo 'e').

Negação do condicional: ~(P → Q)

P ∧ ~Q (mantém-se a primeira e nega-se a segunda).

Equivalência do condicional por disjunção

P → Q equivale logicamente a ~P ∨ Q.

Equivalência da contrapositiva do condicional

P → Q equivale logicamente a ~Q → ~P.

Proposição Recíproca de P → Q

Q → P (não é necessariamente equivalente a P → Q).

Proposição Inversa de P → Q

~P → ~Q (não é necessariamente equivalente a P → Q).

Negação do bicondicional: ~(P ↔ Q)

Equivale à disjunção exclusiva: P ⊻ Q, ou a (P ∧ ~Q) ∨ (Q ∧ ~P).

Equivalência do bicondicional em condicionais

P ↔ Q equivale logicamente a (P → Q) ∧ (Q → P).

Negação da disjunção exclusiva: ~(P ⊻ Q)

Equivale ao bicondicional: P ↔ Q.

Comutatividade da conjunção e disjunção

P ∧ Q equivale a Q ∧ P; e P ∨ Q equivale a Q ∨ P.

Associatividade de conectivos iguais

(P ∧ Q) ∧ R equivale a P ∧ (Q ∧ R); o mesmo vale para o conectivo disjuntivo ∨.

Distributividade: P ∧ (Q ∨ R)

(P ∧ Q) ∨ (P ∧ R).

Distributividade: P ∨ (Q ∧ R)

(P ∨ Q) ∧ (P ∨ R).

Lei da Idempotência

P ∧ P equivale a P; e P ∨ P equivale a P.

Lei da Absorção

P ∧ (P ∨ Q) equivale a P; e P ∨ (P ∧ Q) equivale a P.

O que é um argumento lógico?

Conjunto finito de proposições chamadas premissas que sustentam uma conclusão final.

Argumento válido (dedutivo)

Argumento em que é impossível que todas as premissas sejam verdadeiras e a conclusão seja falsa.

Falácia ou sofisma

Raciocínio inválido com aparência de lógica correta que induz ao erro de derivação da conclusão.

Regra de inferência: Modus Ponens

Se P → Q é verdadeiro e P é verdadeiro, conclui-se obrigatoriamente que Q é verdadeiro.

Regra de inferência: Modus Tollens

Se P → Q é verdadeiro e ~Q é verdadeiro, conclui-se obrigatoriamente que ~P é verdadeiro.

Regra de inferência: Silogismo Hipotético

Se P → Q e Q → R são verdadeiros, conclui-se que P → R é verdadeiro.

Regra de inferência: Silogismo Disjuntivo

Se P ∨ Q é verdadeiro e ~P é verdadeiro, conclui-se obrigatoriamente que Q é verdadeiro.

Falácia da Afirmação do Consequente

Deduzir erradamente que P é verdadeiro a partir de P → Q e da confirmação de Q.

Falácia da Negação do Antecedente

Deduzir erradamente que ~Q é verdadeiro a partir de P → Q e da negação de P (~P).

Quantificador Universal (∀)

Símbolo que expressa 'para todo', 'qualquer que seja' ou 'cada'.

Quantificador Existencial (∃)

Símbolo que expressa 'existe pelo menos um', 'algum' ou 'existe'.

Negação de proposição com 'Todo': ~(Todo A é B)

Existe pelo menos um A que não é B (ou Algum A não é B).

Negação de proposição com 'Nenhum': ~(Nenhum A é B)

Pelo menos um A é B (ou Algum A é B).

Negação de proposição com 'Algum': ~(Algum A é B)

Nenhum A é B (ou Todo A não é B).