Lógica Proposicional: Fundamentos

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Proposição Lógica

Oração declarativa que exprime um pensamento completo e pode ser classificada como verdadeira ou falsa. Exemplo: O Brasil fica na América do Sul (Verdadeira).

Sentença Aberta

Sentença cujo valor lógico não pode ser determinado por conter uma variável não quantificada. Exemplo: x + 4 = 10 (Depende do valor atribuído a x).

Sentença Fechada

Sentença que não possui variáveis livres e possui valor lógico bem definido. Exemplo: Sete é um número primo (Verdadeira).

Sentença Interrogativa

Expressa uma pergunta e não possui valor de verdade na lógica clássica. Exemplo: Que horas são agora?

Sentença Exclamativa

Expressa emoção, espanto ou sentimento, não constituindo proposição. Exemplo: Que dia maravilhoso!

Sentença Imperativa

Expressa ordem, conselho ou pedido, sem atribuição de valor lógico. Exemplo: Feche a porta imediatamente.

Sentença Optativa

Expressa desejo ou anseio, não sendo considerada uma proposição lógica. Exemplo: Deus te abençoe!

Paradoxo Lógico

Sentença autorreferencial que gera contradição lógica ao tentar atribuir um valor de verdade. Exemplo: Esta afirmação é falsa.

Princípio da Identidade

Postulado segundo o qual todo objeto ou proposição é idêntico a si mesmo (se P é V, P é V). Exemplo: A Terra é redonda é equivalente a si mesma.

Princípio da Não Contradição

Uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa sob as mesmas condições. Exemplo: O céu não pode ser azul e não azul ao mesmo tempo.

Princípio do Terceiro Excluído

Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa, inexistindo uma terceira possibilidade. Exemplo: Esta lâmpada está acesa ou apagada.

Proposição Simples (Atômica)

Contém apenas um pensamento completo, sem conter conectivos lógicos dividindo orações. Exemplo: Paris é a capital da França.

Proposição Composta (Molecular)

Formada pela união de duas ou mais proposições simples mediante conectivos lógicos. Exemplo: Choveu ontem e o trânsito ficou lento.

Conjunção (E)

Conectivo que só resulta em verdade se ambas as proposições forem verdadeiras. Exemplo: 2 é par e 3 é ímpar (Verdadeira).

Disjunção Inclusiva (OU)

Conectivo que resulta em falsidade apenas se ambas as proposições forem falsas. Exemplo: Estudo medicina ou estudo direito (Pelo menos um ocorre).

Disjunção Exclusiva (OU... OU)

Conectivo que resulta em verdade somente quando exatamente uma proposição for verdadeira. Exemplo: Ou João nasceu em São Paulo ou nasceu no Rio.

Condicional Material (SE... ENTÃO)

Conectivo que só é falso quando a premissa é verdadeira e a conclusão é falsa. Exemplo: Se chover, então a rua ficará molhada.

Bicondicional (SE E SOMENTE SE)

Conectivo que é verdadeiro quando ambas as proposições possuem o mesmo valor lógico. Exemplo: O triângulo é equilátero se e somente se tem três lados iguais.

Negação (NÃO)

Modificador lógico que inverte o valor de verdade da proposição original. Exemplo: A negação de O ferro é líquido é O ferro não é líquido.

Tautologia

Fórmula proposicional sempre verdadeira, independentemente do valor de suas componentes. Exemplo: P ou não P (Hoje chove ou não chove).

Contradição

Fórmula proposicional sempre falsa, independentemente do valor de suas componentes. Exemplo: P e não P (O número 5 é par e 5 não é par).

Contingência

Proposição composta cujo valor de verdade depende do valor individual das partes. Exemplo: Se faz sol, vou à praia (Pode ser V ou F).

Equivalência Lógica

Relação entre duas proposições que compartilham exatamente a mesma tabela-verdade. Exemplo: Se P então Q equivale a Se não Q então não P.

Implicação Lógica

Ocorre quando o condicional associado a duas fórmulas é uma tautologia. Exemplo: A conjunção P e Q implica logicamente a proposição simples P.

Primeira Lei de De Morgan

A negação de uma conjunção equivale à disjunção das negações individuais. Exemplo: Não (P e Q) equivale a (Não P) ou (Não Q).

Segunda Lei de De Morgan

A negação de uma disjunção equivale à conjunção das negações individuais. Exemplo: Não (P ou Q) equivale a (Não P) e (Não Q).

Negação do Condicional

A negação de Se P então Q equivale a manter o antecedente e negar o consequente. Exemplo: Não (Se bebo, dirijo) equivale a Bebo e não dirijo.

Recíproca de uma Condicional

Inversão da ordem entre antecedente e consequente (de P -> Q para Q -> P). Exemplo: De Se é gato, é mamífero para Se é mamífero, é gato.

Inversa de uma Condicional

Negação simultânea de antecedente e consequente (de P -> Q para ~P -> ~Q). Exemplo: De Se corro, canso para Se não corro, não canso.

Contrapositiva

Inversão e negação simultâneas que preserva o valor lógico da condicional original. Exemplo: De Se fumo, adoeço para Se não adoeço, não fumo.

Quantificador Universal (Todo / Para todo)

Indica que a propriedade enunciada é válida para todos os elementos do conjunto. Exemplo: Todo homem é mortal.

Quantificador Existencial (Existe / Algum)

Indica que a propriedade enunciada é válida para ao menos um elemento do conjunto. Exemplo: Algum número par é primo (O número 2).

Negação do Quantificador Universal

A negação de Todo A é B faz-se com Algum A não é B. Exemplo: A negação de Todos os gatos são pretos é Existe ao menos um gato não preto.

Negação do Quantificador Existencial

A negação de Algum A é B faz-se com Nenhum A é B (ou Todo A não é B). Exemplo: A negação de Algum cisne é negro é Nenhum cisne é negro.

Sentença Categórica Universal Afirmativa (Tipo A)

Afirmação que inclui a totalidade de um sujeito em um predicado. Exemplo: Todos os mamíferos são vertebrados.

Sentença Categórica Universal Negativa (Tipo E)

Negação total que exclui completamente o sujeito de um predicado. Exemplo: Nenhum réptil tem asas.

Sentença Categórica Particular Afirmativa (Tipo I)

Afirmação que inclui ao menos um elemento do sujeito na classe do predicado. Exemplo: Alguns filósofos são matemáticos.

Sentença Categórica Particular Negativa (Tipo O)

Negação parcial que afirma que ao menos um elemento não pertence ao predicado. Exemplo: Alguns pássaros não voam.

Regra Modus Ponens

Regra de inferência válida: se P implica Q e P é verdadeiro, logo Q é verdadeiro. Exemplo: Se chove, a terra molha; choveu, logo a terra molhou.

Regra Modus Tollens

Regra de inferência válida: se P implica Q e Q é falso, logo P é falso. Exemplo: Se chove, fico em casa; não fiquei em casa, logo não choveu.

Silogismo Disjuntivo

Regra em que, dada uma disjunção e a negação de um termo, conclui-se o outro. Exemplo: Vou de carro ou de ônibus; não vou de carro, logo vou de ônibus.

Silogismo Hipotético

Encadeamento de condicionais: P -> Q e Q -> R implicam logicamente P -> R. Exemplo: Se estudo, passo; se passo, viajo; logo, se estudo, viajo.

Falácia da Afirmação do Consequente

Erro lógico formal ao deduzir o antecedente a partir do consequente verdadeiro. Exemplo: Se chove, a rua molha; a rua está molhada, logo choveu.

Falácia da Negação do Antecedente

Erro lógico formal ao deduzir a falsidade do consequente negando o antecedente. Exemplo: Se sou peixe, nado; não sou peixe, logo não nado.

Propriedade Comutativa

A inversão da ordem dos operandos não altera o valor da conjunção ou disjunção. Exemplo: P e Q tem o mesmo valor de Q e P.

Propriedade Associativa

O agrupamento de três proposições idênticas por E ou OU não altera o resultado. Exemplo: (P ou Q) ou R equivale a P ou (Q ou R).

Propriedade Distributiva

Distribuição de um conectivo sobre outro, análoga à multiplicação na álgebra. Exemplo: P e (Q ou R) equivale a (P e Q) ou (P e R).

Idempotência

A aplicação repetida de conjunção ou disjunção consigo mesma resulta no próprio valor. Exemplo: P e P equivale simplesmente a P.

Dupla Negação

A negação da negação de uma proposição restaura seu valor lógico original. Exemplo: Não é verdade que Pedro não foi equivale a Pedro foi.

Tabela-Verdade

Dispositivo tabular que exibe todos os valores de verdade possíveis de uma fórmula. Exemplo: Tabela com 4 linhas para analisar a fórmula P e Q.

Número de Linhas da Tabela-Verdade

Determinado pela fórmula 2 elevado a n, onde n é a quantidade de proposições simples. Exemplo: Três proposições simples (P, Q, R) geram 2^3 = 8 linhas.

Condição Necessária e Suficiente

Relação bicondicional em que um fato garante o outro e é indispensável para ele. Exemplo: Ter três ângulos internos é condição necessária e suficiente para ser triângulo.