Equações Trigonométricas

Cartões · 52

sen(x) = 0

O seno anula-se nos múltiplos inteiros de pi. Solução: S = {x em R | x = k*pi, k em Z}.

sen(x) = 1

O seno atinge 1 no topo do círculo trigonométrico (pi/2). Solução: S = {x em R | x = pi/2 + 2k*pi, k em Z}.

sen(x) = -1

O seno atinge -1 na base do círculo trigonométrico (3pi/2). Solução: S = {x em R | x = 3pi/2 + 2k*pi, k em Z}.

cos(x) = 0

O cosseno anula-se nos eixos verticais pi/2 e 3pi/2. Solução: S = {x em R | x = pi/2 + k*pi, k em Z}.

cos(x) = 1

O cosseno atinge 1 na extremidade direita do eixo x (0 rad). Solução: S = {x em R | x = 2k*pi, k em Z}.

cos(x) = -1

O cosseno atinge -1 na extremidade esquerda do círculo (pi rad). Solução: S = {x em R | x = pi + 2k*pi, k em Z}.

tg(x) = 0

A tangente anula-se onde o seno é zero (sen x = 0). Solução: S = {x em R | x = k*pi, k em Z}.

tg(x) = 1

Ângulo fundamental em pi/4 no primeiro quadrante com período pi. Solução: S = {x em R | x = pi/4 + k*pi, k em Z}.

tg(x) = -1

Ocorre no segundo e quarto quadrantes (-pi/4 ou 3pi/4). Solução: S = {x em R | x = 3pi/4 + k*pi, k em Z}.

sen(x) = 1/2

Valores fundamentais: x = pi/6 ou x = 5pi/6. Solução: S = {x | x = pi/6 + 2k*pi ou x = 5pi/6 + 2k*pi, k em Z}.

sen(x) = -1/2

Ocorre no terceiro e quarto quadrantes (7pi/6 e 11pi/6). Solução: S = {x | x = 7pi/6 + 2k*pi ou x = 11pi/6 + 2k*pi, k em Z}.

sen(x) = sqrt(2)/2

Valores fundamentais em pi/4 e 3pi/4. Solução: S = {x | x = pi/4 + 2k*pi ou x = 3pi/4 + 2k*pi, k em Z}.

sen(x) = -sqrt(2)/2

Ocorre em 5pi/4 e 7pi/4 no ciclo trigonométrico. Solução: S = {x | x = 5pi/4 + 2k*pi ou x = 7pi/4 + 2k*pi, k em Z}.

sen(x) = sqrt(3)/2

Valores fundamentais em pi/3 e 2pi/3. Solução: S = {x | x = pi/3 + 2k*pi ou x = 2pi/3 + 2k*pi, k em Z}.

sen(x) = -sqrt(3)/2

Ocorre em 4pi/3 e 5pi/3 no terceiro e quarto quadrantes. Solução: S = {x | x = 4pi/3 + 2k*pi ou x = 5pi/3 + 2k*pi, k em Z}.

cos(x) = 1/2

O cosseno é positivo no 1º e 4º quadrantes (+-pi/3). Solução: S = {x em R | x = +-pi/3 + 2k*pi, k em Z}.

cos(x) = -1/2

O cosseno é negativo no 2º e 3º quadrantes (+-2pi/3). Solução: S = {x em R | x = +-2pi/3 + 2k*pi, k em Z}.

cos(x) = sqrt(2)/2

Ângulos correspondentes a +-pi/4 com período 2pi. Solução: S = {x em R | x = +-pi/4 + 2k*pi, k em Z}.

cos(x) = -sqrt(2)/2

Ocorre no 2º e 3º quadrantes (+-3pi/4). Solução: S = {x em R | x = +-3pi/4 + 2k*pi, k em Z}.

cos(x) = sqrt(3)/2

Ângulos correspondentes a +-pi/6 no 1º e 4º quadrantes. Solução: S = {x em R | x = +-pi/6 + 2k*pi, k em Z}.

cos(x) = -sqrt(3)/2

Ângulos correspondentes a +-5pi/6 no ciclo. Solução: S = {x em R | x = +-5pi/6 + 2k*pi, k em Z}.

tg(x) = sqrt(3)

Ângulo fundamental pi/3 adicionado de múltiplos de pi. Solução: S = {x em R | x = pi/3 + k*pi, k em Z}.

tg(x) = -sqrt(3)

Ângulo fundamental -pi/3 (ou 2pi/3) com período pi. Solução: S = {x em R | x = 2pi/3 + k*pi, k em Z}.

tg(x) = sqrt(3)/3

Ângulo fundamental pi/6 adicionado de múltiplos de pi. Solução: S = {x em R | x = pi/6 + k*pi, k em Z}.

tg(x) = -sqrt(3)/3

Ângulo fundamental 5pi/6 com período pi da tangente. Solução: S = {x em R | x = 5pi/6 + k*pi, k em Z}.

sen(2x) = 0

Faça 2x = k*pi, logo divida ambos os lados por 2. Solução: S = {x em R | x = (k*pi)/2, k em Z}.

cos(2x) = 0

Faça 2x = pi/2 + k*pi, dividindo por 2. Solução: S = {x em R | x = pi/4 + (k*pi)/2, k em Z}.

sen(2x) = 1

Faça 2x = pi/2 + 2k*pi, dividindo por 2. Solução: S = {x em R | x = pi/4 + k*pi, k em Z}.

cos(2x) = 1

Faça 2x = 2k*pi, dividindo ambos os lados por 2. Solução: S = {x em R | x = k*pi, k em Z}.

sen(x) = cos(x)

Divida por cos(x) diferente de zero: tg(x) = 1. Solução: S = {x em R | x = pi/4 + k*pi, k em Z}.

sen(x) + cos(x) = 0

Divida por cos(x): tg(x) = -1. Solução: S = {x em R | x = 3pi/4 + k*pi, k em Z}.

sen^2(x) = 1

Extraia a raiz: sen(x) = +-1, o que cobre os polos superior e inferior. Solução: S = {x em R | x = pi/2 + k*pi, k em Z}.

cos^2(x) = 1

Extraia a raiz: cos(x) = +-1, cobrindo os extremos esquerdo e direito. Solução: S = {x em R | x = k*pi, k em Z}.

sen^2(x) = 1/4

Extraindo a raiz: sen(x) = +-1/2, gerando pi/6 em todos os quadrantes. Solução: S = {x em R | x = +-pi/6 + k*pi, k em Z}.

cos^2(x) = 1/2

cos(x) = +-sqrt(2)/2, abrangendo todos os quatro quadrantes a pi/4. Solução: S = {x em R | x = pi/4 + (k*pi)/2, k em Z}.

tg^2(x) = 3

Extraia a raiz: tg(x) = +-sqrt(3), abrangendo pi/3 e 2pi/3 periódicos por pi. Solução: S = {x em R | x = +-pi/3 + k*pi, k em Z}.

tg^2(x) = 1/3

Extraindo a raiz: tg(x) = +-sqrt(3)/3, com raízes em +-pi/6. Solução: S = {x em R | x = +-pi/6 + k*pi, k em Z}.

2*sen(x) - 1 = 0

Isole o seno: sen(x) = 1/2. Solução: S = {x | x = pi/6 + 2k*pi ou x = 5pi/6 + 2k*pi, k em Z}.

2*cos(x) + 1 = 0

Isole o cosseno: cos(x) = -1/2. Solução: S = {x em R | x = +-2pi/3 + 2k*pi, k em Z}.

sqrt(2)*sen(x) - 1 = 0

Isole o seno: sen(x) = 1/sqrt(2) = sqrt(2)/2. Solução: S = {x | x = pi/4 + 2k*pi ou x = 3pi/4 + 2k*pi, k em Z}.

2*sen^2(x) - sen(x) = 0

Fatore: sen(x)*(2*sen(x) - 1) = 0. Então sen(x) = 0 ou sen(x) = 1/2. Solução: x = k*pi, x = pi/6 + 2k*pi ou x = 5pi/6 + 2k*pi.

2*cos^2(x) - cos(x) = 0

Fatore: cos(x)*(2*cos(x) - 1) = 0. Logo cos(x) = 0 ou cos(x) = 1/2. Solução: x = pi/2 + k*pi ou x = +-pi/3 + 2k*pi.

2*sen^2(x) + sen(x) - 1 = 0

Baskhara com y = sen(x): y = 1/2 ou y = -1. Logo sen(x) = 1/2 ou sen(x) = -1. Solução: x = pi/6 + 2k*pi, 5pi/6 + 2k*pi ou 3pi/2 + 2k*pi.

2*cos^2(x) + 3*cos(x) + 1 = 0

Baskhara com y = cos(x): (2y + 1)(y + 1) = 0 -> cos(x) = -1/2 ou cos(x) = -1. Solução: x = +-2pi/3 + 2k*pi ou x = pi + 2k*pi.

sen(3x) = 0

Faça 3x = k*pi, dividindo por 3. Solução: S = {x em R | x = (k*pi)/3, k em Z}.

cos(3x) = 0

Faça 3x = pi/2 + k*pi, dividindo por 3. Solução: S = {x em R | x = pi/6 + (k*pi)/3, k em Z}.

sen(x - pi/4) = 0

Faça x - pi/4 = k*pi e isole x. Solução: S = {x em R | x = pi/4 + k*pi, k em Z}.

cos(x + pi/3) = 1

Faça x + pi/3 = 2k*pi e isole x. Solução: S = {x em R | x = -pi/3 + 2k*pi, k em Z}.

sec(x) = 2

sec(x) = 1/cos(x) = 2, logo cos(x) = 1/2 com x diferente de pi/2 + k*pi. Solução: S = {x em R | x = +-pi/3 + 2k*pi, k em Z}.

cossec(x) = 2

cossec(x) = 1/sen(x) = 2, logo sen(x) = 1/2 com x != k*pi. Solução: S = {x | x = pi/6 + 2k*pi ou x = 5pi/6 + 2k*pi, k em Z}.

cotg(x) = 1

cotg(x) = 1/tg(x) = 1, logo tg(x) = 1 com sen(x) diferente de zero. Solução: S = {x em R | x = pi/4 + k*pi, k em Z}.

sen(2x) = sen(x)

sen(2x) - sen(x) = 0 -> 2sen(x)cos(x) - sen(x) = 0 -> sen(x)(2cos(x)-1) = 0. Solução: x = k*pi ou x = +-pi/3 + 2k*pi.