Fórmulas de Lógica Proposicional

Cartões · 50

Proposição Simples

Sentença declarativa que possui valor de verdade (V ou F), mas não ambos. Exemplo: p ou q.

Negação (~p ou ¬p)

Estrutura: ¬p. Inverte o valor lógico da proposição: se p é verdadeiro, ¬p é falso; se p é falso, ¬p é verdadeiro.

Conjunção (p ∧ q)

Estrutura: p ∧ q ('p e q'). É verdadeira apenas quando ambas as proposições (p e q) forem verdadeiras; caso contrário, é falsa.

Disjunção Inclusiva (p ∨ q)

Estrutura: p ∨ q ('p ou q'). É falsa apenas quando ambas as proposições forem falsas; é verdadeira se ao menos uma for verdadeira.

Disjunção Exclusiva (p ⊻ q)

Estrutura: p ⊻ q ('ou p, ou q'). É verdadeira se exatamente uma das proposições for verdadeira; se ambas tiverem o mesmo valor, é falsa.

Condicional Material (p → q)

Estrutura: p → q ('se p, então q'). É falsa apenas quando o antecedente (p) é verdadeiro e o consequente (q) é falso (V → F = F).

Bicondicional (p ↔ q)

Estrutura: p ↔ q ('p se e somente se q'). É verdadeira quando ambas as proposições têm o mesmo valor lógico (ambas V ou ambas F).

Tautologia

Fórmula proposicional que é verdadeira sob todas as possíveis valorações lógicas de suas variáveis (ex.: p ∨ ¬p).

Contradição

Fórmula proposicional que é sempre falsa independentemente dos valores atribuídos às suas variáveis (ex.: p ∧ ¬p).

Contingência

Fórmula proposicional cujo valor de verdade depende da atribuição de valores, não sendo nem tautologia nem contradição.

Modus Ponens

Regra de inferência válida: [(p → q) ∧ p] ⊢ q. Afirmando o antecedente de uma condicional, conclui-se validamente o consequente.

Modus Tollens

Regra de inferência válida: [(p → q) ∧ ¬q] ⊢ ¬p. Negando o consequente de uma condicional, conclui-se validamente a negação do antecedente.

Silogismo Hipotético

Regra de encadeamento: [(p → q) ∧ (q → r)] ⊢ (p → r). Transita da condição inicial para o resultado final.

Silogismo Disjuntivo

Regra de inferência: [(p ∨ q) ∧ ¬p] ⊢ q. Se uma disjunção é verdadeira e uma das partes é falsa, a outra é obrigatoriamente verdadeira.

Dilema Construtivo

Estrutura: [(p → q) ∧ (r → s) ∧ (p ∨ r)] ⊢ (q ∨ s). Se duas implicações ocorrem e um dos antecedentes é real, um consequente ocorrerá.

Dilema Destrutivo

Estrutura: [(p → q) ∧ (r → s) ∧ (¬q ∨ ¬s)] ⊢ (¬p ∨ ¬r). Nega-se pelo menos um consequente para concluir a negação de um antecedente.

Adição Disjuntiva

Regra de inferência válida: p ⊢ (p ∨ q). A partir de uma premissa verdadeira, a sua disjunção com qualquer proposição é verdadeira.

Simplificação Conjuntiva

Regra de inferência válida: (p ∧ q) ⊢ p. Se a conjunção de duas proposições é verdadeira, cada proposição isolada também o é.

Conjunção (Regra de Adjunção)

Regra de inferência válida: p, q ⊢ (p ∧ q). Se p é verdadeiro e q é verdadeiro isoladamente, a sua conjunção é verdadeira.

Absorção

Equivalência formal: (p → q) ≡ [p → (p ∧ q)]. Se p acarreta q, então p acarreta conjuntamente p e q.

Equivalência por Contraposição

Fórmula: (p → q) ≡ (¬q → ¬p). Inverte e nega ambos os termos da condicional preservando o mesmo valor de verdade.

Equivalência da Condicional por Disjunção

Fórmula: (p → q) ≡ (¬p ∨ q). A condicional equivale a negar o antecedente ou afirmar o consequente.

Negação da Condicional (Regra do Mané)

Fórmula: ¬(p → q) ≡ (p ∧ ¬q). Mantém o primeiro termo verdadeiro e nega o segundo para quebrar a implicação.

1ª Lei de De Morgan (Negação da Conjunção)

Fórmula: ¬(p ∧ q) ≡ (¬p ∨ ¬q). A negação de uma conjunção equivale à disjunção das negações de cada termo.

2ª Lei de De Morgan (Negação da Disjunção)

Fórmula: ¬(p ∨ q) ≡ (¬p ∧ ¬q). A negação de uma disjunção equivale à conjunção das negações de cada termo.

Negação da Bicondicional

Fórmula: ¬(p ↔ q) ≡ (p ⊻ q) ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p). Nega-se a bicondicional transformando-a em disjunção exclusiva.

Dupla Negação

Fórmula: ¬(¬p) ≡ p. Negar duas vezes uma afirmação retorna logicamente ao valor de verdade original da proposição.

Idempotência da Conjunção e Disjunção

Fórmulas: (p ∧ p) ≡ p e (p ∨ p) ≡ p. A repetição conjuntiva ou disjuntiva de um mesmo termo é equivalente a ele mesmo.

Comutatividade Lógica

Fórmulas: (p ∧ q) ≡ (q ∧ p) e (p ∨ q) ≡ (q ∨ p). A ordem dos fatores não altera o valor lógico da conjunção ou disjunção.

Associatividade Lógica

Fórmulas: [p ∧ (q ∧ r)] ≡ [(p ∧ q) ∧ r] e [p ∨ (q ∨ r)] ≡ [(p ∨ q) ∨ r]. A ordem de agrupamento de conectivos idênticos é irrelevante.

Distributividade da Conjunção

Fórmula: [p ∧ (q ∨ r)] ≡ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)]. A conjunção distribui sobre a disjunção.

Distributividade da Disjunção

Fórmula: [p ∨ (q ∧ r)] ≡ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)]. A disjunção distribui sobre a conjunção.

Equivalência da Bicondicional

Fórmula: (p ↔ q) ≡ [(p → q) ∧ (q → p)]. A dupla implicação exige que p implique q e reciprocamente q implique p.

Falácia da Afirmação do Consequente

Estrutura inválida: [(p → q) ∧ q] ⊢ p. Tentar deduzir o antecedente após constatar o consequente é erro formal.

Falácia da Negação do Antecedente

Estrutura inválida: [(p → q) ∧ ¬p] ⊢ ¬q. Negar a condição suficiente não impede que o consequente ocorra por outra via.

Falácia do Falso Dilema

Estrutura: p ∨ q (quando existem mais alternativas ¬(p ∨ q)). Reduz incorretamente um universo de opções a apenas duas.

Falácia de Afirmação de uma Disjunção

Estrutura inválida: [(p ∨ q) ∧ p] ⊢ ¬q. Inválida para disjunção inclusiva, pois ambas podem ser verdadeiras simultaneamente.

Diagrama Lógico: Todo A é B (Universal Afirmativa)

Diagrama de Euler: O círculo A está totalmente contido dentro do círculo B (A ⊆ B). Se x ∈ A, então x ∈ B.

Diagrama Lógico: Nenhum A é B (Universal Negativa)

Diagrama de Euler: Círculos A e B totalmente disjuntos, sem interseção (A ∩ B = ∅). Nenhum elemento partilha ambos.

Diagrama Lógico: Algum A é B (Particular Afirmativa)

Diagrama de Euler: Círculos A e B com região de interseção não-vazia (A ∩ B ≠ ∅). Ao menos um elemento pertence a ambos.

Diagrama Lógico: Algum A não é B (Particular Negativa)

Diagrama de Euler: Há pelo menos um elemento na região de A que está estritamente fora do conjunto B (A \ B ≠ ∅).

Negação de Proposição Todo A é B

Fórmula: ¬(Todo A é B) ≡ Algum A não é B. Para falsear um universal afirmativo basta exibir um único contraexemplo.

Negação de Proposição Nenhum A é B

Fórmula: ¬(Nenhum A é B) ≡ Algum A é B. Para falsear um universal negativo basta demonstrar uma única interseção.

Negação de Proposição Algum A é B

Fórmula: ¬(Algum A é B) ≡ Nenhum A é B. Negar a existência de ao menos um elemento comum implica que os conjuntos são disjuntos.

Negação de Proposição Algum A não é B

Fórmula: ¬(Algum A não é B) ≡ Todo A é B. Afirma que a totalidade dos elementos do conjunto A pertence a B.

Princípio da Identidade

Fórmula axiomática: p → p ou p ≡ p. Todo objeto ou proposição é idêntico a si próprio; o verdadeiro é verdadeiro.

Princípio da Não-Contradição

Fórmula axiomática: ¬(p ∧ ¬p). Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente sob o mesmo aspecto.

Princípio do Terceiro Excluído

Fórmula axiomática: p ∨ ¬p. Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, inexistindo um terceiro valor lógico intermediário.

Condição Suficiente vs. Necessária

Em p → q: o antecedente p é condição suficiente para q; o consequente q é condição necessária para p.

Regra da Exportação/Importação

Fórmula: [(p ∧ q) → r] ≡ [p → (q → r)]. Permite agrupar ou desmembrar antecedentes em cadeias condicionais sucessivas.