Fórmulas de Trigonometria

Cartões · 53

Seno no triângulo retângulo

sen(θ) = cateto oposto / hipotenusa. Usada para encontrar lados em triângulos retângulos quando se conhece um ângulo agudo.

Cosseno no triângulo retângulo

cos(θ) = cateto adjacente / hipotenusa. Usada para relacionar o cateto vizinho ao ângulo com a hipotenusa.

Tangente no triângulo retângulo

tg(θ) = cateto oposto / cateto adjacente. Usada quando a hipotenusa é desconhecida e irrelevante no problema.

Cossecante (definição)

cossec(θ) = 1 / sen(θ). Usada para simplificar frações onde o seno aparece no denominador.

Secante (definição)

sec(θ) = 1 / cos(θ). Usada para simplificar frações com cosseno no denominador e no cálculo de derivadas.

Cotangente (definição)

cotg(θ) = 1 / tg(θ) = cos(θ) / sen(θ). Usada como inversa da tangente em identidades algébricas.

Relação Fundamental da Trigonometria

sen²(θ) + cos²(θ) = 1. A identidade mais usada; permite achar o cosseno a partir do seno (e vice-versa).

Relação entre Tangente e Secante

1 + tg²(θ) = sec²(θ). Obtida dividindo a relação fundamental por cos²(θ); usada em integrais e simplificações.

Relação entre Cotangente e Cossecante

1 + cotg²(θ) = cossec²(θ). Obtida dividindo a relação fundamental por sen²(θ); útil no cálculo diferencial.

Tangente em termos de Seno e Cosseno

tg(θ) = sen(θ) / cos(θ). Usada para converter problemas com tangente em seno e cosseno.

Lei dos Senos

a / sen(A) = b / sen(B) = c / sen(C) = 2R. Usada em qualquer triângulo quando se conhecem dois ângulos e um lado, ou o raio da circunferência circunscrita.

Lei dos Cossenos

a² = b² + c² - 2bc·cos(A). Usada em qualquer triângulo quando se conhecem dois lados e o ângulo entre eles, ou os três lados.

Seno da soma de arcos

sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a). Usada para decompor ângulos não notáveis em somas conhecidas (ex: 75° = 45° + 30°).

Seno da diferença de arcos

sen(a - b) = sen(a)cos(b) - sen(b)cos(a). Usada para calcular o seno de ângulos como 15° (45° - 30°).

Cosseno da soma de arcos

cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b). Usada para encontrar cossenos de ângulos formados pela soma de dois arcos.

Cosseno da diferença de arcos

cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b). Usada para simplificar produtos de senos e cossenos e achar cos(15°).

Tangente da soma de arcos

tg(a + b) = [tg(a) + tg(b)] / [1 - tg(a)tg(b)]. Usada para calcular a inclinação de retas combinadas ou ângulos compostos.

Tangente da diferença de arcos

tg(a - b) = [tg(a) - tg(b)] / [1 + tg(a)tg(b)]. Usada com frequência para encontrar o ângulo agudo entre duas retas.

Seno do arco duplo

sen(2a) = 2·sen(a)·cos(a). Usada para simplificar produtos de seno e cosseno de mesmo arco e reduzir potências.

Cosseno do arco duplo (forma padrão)

cos(2a) = cos²(a) - sen²(a). Usada para relacionar funções quadráticas com argumentos dobrados.

Cosseno do arco duplo (em termos de cos)

cos(2a) = 2cos²(a) - 1. Usada para reescrever cos²(a) em termos lineares de cosseno, comum em integração.

Cosseno do arco duplo (em termos de sen)

cos(2a) = 1 - 2sen²(a). Usada para isolar sen²(a) em problemas de equações e cálculo integral.

Tangente do arco duplo

tg(2a) = [2·tg(a)] / [1 - tg²(a)]. Usada para duplicar argumentos de razões trigonométricas em equações.

Seno do arco metade

sen(a/2) = ± raiz quadrada de [(1 - cos(a)) / 2]. Usada para obter o seno de metade de um ângulo conhecido; sinal depende do quadrante.

Cosseno do arco metade

cos(a/2) = ± raiz quadrada de [(1 + cos(a)) / 2]. Usada para encontrar o cosseno dividindo o ângulo ao meio.

Tangente do arco metade

tg(a/2) = ± raiz quadrada de [(1 - cos(a)) / (1 + cos(a))]. Usada para resolver triângulos e substituir variáveis trigonométricas.

Seno do arco triplo

sen(3a) = 3·sen(a) - 4·sen³(a). Usada em equações cúbicas trigonométricas e simplificação de polinômios de Chebyshev.

Cosseno do arco triplo

cos(3a) = 4·cos³(a) - 3·cos(a). Usada em simplificações de harmônicos e transformações algébricas de ordem três.

Transformação em produto: sen(p) + sen(q)

sen(p) + sen(q) = 2·sen((p+q)/2)·cos((p-q)/2). Usada para transformar somas de ondas em produtos, facilitando raízes.

Transformação em produto: sen(p) - sen(q)

sen(p) - sen(q) = 2·sen((p-q)/2)·cos((p+q)/2). Usada para resolver equações do tipo sen(p) = sen(q).

Transformação em produto: cos(p) + cos(q)

cos(p) + cos(q) = 2·cos((p+q)/2)·cos((p-q)/2). Usada no estudo de batimentos e interferência construtiva de ondas.

Transformação em produto: cos(p) - cos(q)

cos(p) - cos(q) = -2·sen((p+q)/2)·sen((p-q)/2). Usada na resolução de equações trigonométricas igualadas a zero.

Transformação de produto em soma: sen(a)·cos(b)

sen(a)cos(b) = (1/2)·[sen(a+b) + sen(a-b)]. Usada para integrar produtos de funções senoidais de frequências diferentes.

Transformação de produto em soma: cos(a)·cos(b)

cos(a)cos(b) = (1/2)·[cos(a+b) + cos(a-b)]. Usada no cálculo integral e na análise de sinais modulados (AM).

Transformação de produto em soma: sen(a)·sen(b)

sen(a)sen(b) = (1/2)·[cos(a-b) - cos(a+b)]. Usada no cálculo de integrais de Fourier e equações diferenciais.

Área do triângulo por dois lados e um ângulo

Área = (a · b · sen(C)) / 2. Usada para calcular a área de qualquer triângulo sem precisar da altura relativa.

Paridade do Seno

sen(-x) = -sen(x). Função ímpar; usada para simplificar ângulos negativos na circunferência trigonométrica.

Paridade do Cosseno

cos(-x) = cos(x). Função par; usada para eliminar sinais negativos no argumento do cosseno.

Paridade da Tangente

tg(-x) = -tg(x). Função ímpar; usada na manipulação de termos trigonométricos simétricos.

Ângulos Complementares: Seno e Cosseno

sen(90° - x) = cos(x). Usada para converter seno em cosseno quando os ângulos somam 90 graus (π/2 radianos).

Ângulos Complementares: Tangente e Cotangente

tg(90° - x) = cotg(x). Usada na redução ao primeiro quadrante e na simplificação de cofunções.

Ângulos Suplementares: Seno

sen(180° - x) = sen(x). Usada para reduzir arcos do 2º quadrante para o 1º quadrante mantendo o mesmo valor.

Ângulos Suplementares: Cosseno

cos(180° - x) = -cos(x). Usada para reduzir o cosseno do 2º quadrante ao 1º quadrante, invertendo o sinal.

Fórmula de Euler

e^(i·x) = cos(x) + i·sen(x). Conecta exponenciais complexas e trigonometria; base para números complexos e física quântica.

Fórmula de De Moivre

[cos(x) + i·sen(x)]^n = cos(n·x) + i·sen(n·x). Usada para elevar números complexos a potências inteiras e deduzir arcos múltiplos.

Substituição de Weierstrass: sen(x)

sen(x) = 2t / (1 + t²), onde t = tg(x/2). Usada para transformar integrais trigonométricas racionais em integrais de frações algébricas.

Substituição de Weierstrass: cos(x)

cos(x) = (1 - t²) / (1 + t²), onde t = tg(x/2). Usada como técnica padrão para integrar funções racionais de seno e cosseno.

Período da função Seno e Cosseno

T = 2π / |c| para f(x) = sen(cx) ou cos(cx). Usada para determinar o comprimento do ciclo repetitivo de uma onda senoidal.

Período da função Tangente

T = π / |c| para f(x) = tg(cx). Usada para identificar a distância entre assíntotas consecutivas da função tangente.

Fórmula de Heron (versão trigonométrica)

Área = r · p, onde r é o inraio e p o semiperímetro. Usada para conectar o raio da circunferência inscrita à geometria do triângulo.

Equação fundamental sen(x) = sen(a)

x = a + 2kπ ou x = (π - a) + 2kπ (k ∈ Z). Usada para encontrar o conjunto completo de soluções em equações com senos iguais.

Equação fundamental cos(x) = cos(a)

x = ±a + 2kπ (k ∈ Z). Usada para obter todas as soluções reais de equações trigonométricas com cosseno.

Equação fundamental tg(x) = tg(a)

x = a + kπ (k ∈ Z). Usada para resolver equações trigonométricas envolvendo tangente, variando por múltiplos de π.