Lógica: Proposições e Princípios

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Proposição

Sentença declarativa expressa em palavras ou símbolos que admite apenas um de dois valores lógicos: verdadeiro ou falso.

Sentença declarativa

Oração que afirma ou nega algo a respeito de um sujeito, possuindo sentido completo e passível de valoração lógica.

Valor lógico

Qualificação atribuída a uma proposição, correspondendo necessariamente à Verdade (V) ou à Falsidade (F).

Princípio da Identidade

Postulado fundamental que determina que toda proposição é idêntica a si mesma: se ela é verdadeira, permanece verdadeira; se falsa, permanece falsa.

Princípio da Não Contradição

Regra lógica segundo a qual nenhuma proposição pode ser simultaneamente verdadeira e falsa sob as mesmas circunstâncias.

Princípio do Terceiro Excluído

Postulado que afirma que uma proposição só pode assumir dois valores (V ou F), sem admitir uma terceira possibilidade ou meio-termo.

Frases interrogativas na lógica

Perguntas diretas que não expressam juízo de fato e, por não poderem ser valoradas como verdadeiras ou falsas, não são proposições.

Frases exclamativas na lógica

Sentenças emotivas ou de admiração que exprimem sentimentos e, portanto, não possuem valor de verdade nem constituem proposições.

Frases imperativas na lógica

Enunciados que expressam ordens, pedidos ou conselhos, desprovidos de valor lógico por não afirmarem fatos objetivos.

Frases optativas na lógica

Sentenças que expressam desejos ou votos, as quais não podem ser classificadas como verdadeiras ou falsas.

Sentenças abertas

Expressões com variáveis indefinidas cujo valor lógico depende da atribuição de um valor específico ao termo desconhecido.

Sentenças fechadas

Expressões cujos elementos estão plenamente definidos, permitindo a atribuição imediata e inequívoca de um valor de verdade.

Paradoxo lógico

Sentença autorreferencial ou contraditória que não pode ser classificada como V ou F sem gerar contradição lógica insuperável.

Paradoxo do Mentiroso

Exemplo clássico ('Esta afirmação é falsa') que demonstra a impossibilidade de atribuir valor de verdade consistente a certas sentenças autorreferenciais.

Proposição simples (ou atômica)

Enunciado único que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de sua estrutura lógica.

Proposição composta (ou molecular)

Enunciado formado pela união de duas ou mais proposições simples por meio de conectivos lógicos.

Conectivo lógico

Elemento de ligação que une proposições simples ou modifica uma proposição, definindo uma nova operação de verdade.

Negação (~ ou ¬)

Operador unário que inverte o valor lógico de uma proposição, tornando a verdadeira em falsa e vice-versa.

Conjunção (∧)

Conectivo 'e' que resulta em valor verdadeiro unicamente quando todas as proposições componentes forem verdadeiras.

Disjunção inclusiva (∨)

Conectivo 'ou' que resulta em valor falso unicamente se todas as proposições componentes forem simultaneamente falsas.

Disjunção exclusiva (⊻ ou ⨁)

Conectivo 'ou... ou' que é verdadeiro se exatamente uma das proposições for verdadeira, e falso se ambas tiverem valores iguais.

Condicional material (→)

Relação 'se... então' que é falsa unicamente quando o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso.

Bicondicional (↔)

Relação 'se e somente se' que é verdadeira quando ambas as proposições apresentam o mesmo valor lógico.

Antecedente (ou hipótese)

Proposição que se situa imediatamente após a partícula 'se' em uma condicional material, estabelecendo a condição inicial.

Consequente (ou tese)

Proposição que expressa a conclusão ou resultado esperado em uma estrutura condicional 'se... então'.

Condição suficiente

Propriedade expressa pelo antecedente de uma condicional: sua ocorrência garante plenamente a ocorrência do consequente.

Condição necessária

Propriedade expressa pelo consequente de uma condicional: sua ausência impede categoricamente a ocorrência do antecedente.

Tabela-verdade

Tabela sistemática que lista todas as possíveis atribuições de valores lógicos de uma fórmula proposicional complexa.

Fórmula do número de linhas da tabela-verdade

Expressão 2 elevado a n, onde n representa o total de proposições simples distintas que compõem a fórmula molecular.

Tautologia

Proposição composta cujo valor lógico é invariavelmente verdadeiro, independentemente dos valores das proposições atômicas.

Contradição

Proposição composta cujo valor lógico resulta obrigatoriamente falso para qualquer combinação de valores de suas componentes.

Contingência

Proposição composta cuja tabela-verdade exibe pelo menos um valor verdadeiro e pelo menos um valor falso.

Equivalência lógica (≡ ou ⇔)

Relação entre duas proposições compostas que compartilham tabelas-verdade idênticas para as mesmas valorações atômicas.

Primeira Lei de De Morgan

Princípio que dita que a negação de uma conjunção equivale à disjunção das negações: ~(P ∧ Q) ≡ (~P ∨ ~Q).

Segunda Lei de De Morgan

Princípio que dita que a negação de uma disjunção equivale à conjunção das negações: ~(P ∨ Q) ≡ (~P ∧ ~Q).

Negação do condicional

Regra de equivalência segundo a qual a negação de 'P → Q' resulta na conjunção afirmativa 'P ∧ ~Q'.

Contrapositiva

Equivalência lógica válida da condicional 'se P, então Q', representada pela fórmula reflexa 'se não Q, então não P'.

Inversa da condicional

Transformação expressa por 'se não P, então não Q', a qual não é logicamente equivalente à condicional original.

Recíproca da condicional

Transformação expressa pela inversão dos termos 'se Q, então P', que não constitui equivalência lógica com 'se P, então Q'.

Dupla negação

Propriedade fundamental segundo a qual a negação de uma proposição já negada equivale à proposição afirmativa original: ~(~P) ≡ P.

Comutatividade lógica

Propriedade válida para a conjunção e a disjunção em que a ordem das parcelas proposicionais não altera o resultado final.

Associatividade lógica

Propriedade que permite reagrupar três ou mais proposições unidas por um mesmo conectivo sem alterar o valor-verdade geral.

Distributividade lógica

Regra algébrica onde a conjunção se distribui sobre a disjunção e a disjunção se distribui sobre a conjunção.

Idempotência

Propriedade lógica na qual a operação de uma proposição consigo mesma sob conjunção ou disjunção resulta na própria proposição.

Quantificador universal (∀)

Operador lógico que converte sentença aberta em proposição fechada ao expressar 'para todo' ou 'qualquer que seja'.

Quantificador existencial (∃)

Operador lógico que fecha uma sentença aberta ao declarar a existência de 'ao menos um' elemento com dada propriedade.

Negação de quantificador universal

Regra que determina que negar que todos possuem um atributo equivale a provar que ao menos um não o possui: ~(∀x P(x)) ≡ ∃x ~P(x).

Negação de quantificador existencial

Regra que determina que negar a existência de um elemento com dado atributo equivale a declarar que nenhum o possui: ~(∃x P(x)) ≡ ∀x ~P(x).

Bivalência

Fundamento da lógica clássica determinando que o universo de valores de verdade é composto estritamente por dois polos: V e F.

Princípio da consistência

Corolário da não contradição segundo o qual um sistema formal de inferência não pode gerar simultaneamente um teorema e sua negação.

Valor de verdade contingente

Propriedade empírica de uma proposição cujo valor V ou F é determinado pelos fatos do mundo real, e não pela sintaxe lógica pura.

Silogismo

Estrutura dedutiva clássica composta por duas premissas categóricas que produzem necessariamente uma proposição conclusiva.