Matemática Avançada

Cartões · 50

Teorema Fundamental do Cálculo

Se f é contínua em [a,b], d/dx integral de a até x de f(t)dt = f(x). Exemplo: a derivada de integral de 0 até x de cos(t)dt é cos(x).

Regra da Cadeia

(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x). Exemplo: a derivada de sen(x^2) em relação a x resulta em 2x * cos(x^2).

Integração por Partes

integral de u dv = u*v - integral de v du. Exemplo: para integral de x*e^x dx, tome u=x e dv=e^x dx, obtendo x*e^x - e^x + C.

Teorema do Valor Médio (Diferencial)

Se f é contínua em [a,b] e derivável em (a,b), existe c tal que f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a). Exemplo: velocidade instantânea igual à média num trajeto.

Regra de L'Hôpital

Para limites de formas 0/0 ou inf/inf, lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x). Exemplo: lim (x->0) sen(x)/x = lim (x->0) cos(x)/1 = 1.

Série de Taylor

f(x) = somatório de (f^(n)(a)/n!) * (x-a)^n. Exemplo: aproximar e^x em a=0 por 1 + x + x^2/2! + x^3/3! para estimar e^0.1.

Gradiente e Derivada Direcional

Gradiente = nabla f = (df/dx, df/dy). Derivada direcional = gradiente escalar u. Exemplo: nabla(x^2 + y^2) = (2x, 2y), indica direção de maior subida.

Multiplicadores de Lagrange

Para otimizar f(x,y) sob restrição g(x,y)=k, resolve-se nabla f = lambda * nabla g. Exemplo: maximizar xy com a restrição x + y = 10.

Teorema de Green

integral de linha (L dx + M dy) = integral dupla de (dM/dx - dL/dy) dA. Exemplo: calcular a área de uma elipse integrando 1/2*(x dy - y dx) na fronteira.

Teorema da Divergência (Gauss)

Fluxo de F em fronteira fechada S = integral tripla no volume V de div(F) dV. Exemplo: calcular fluxo elétrico total saindo de uma esfera via carga interna.

Teorema de Stokes

integral de linha de F dr = integral de superfície do rotacional de F dot dS. Exemplo: simplificar a circulação magnética ao redor de um contorno.

Autovalores e Autovetores

A*v = lambda*v com v != 0; calcula-se por det(A - lambda*I) = 0. Exemplo: encontrar os modos normais de vibração em sistemas mecânicos acoplados.

Diagonalização de Matrizes

A = P * D * P^(-1), onde D é diagonal com os autovalores. Exemplo: calcular potências altas A^k facilitando potências de matrizes de transição.

Decomposição em Valores Singulares (SVD)

A = U * Sigma * V^T, fatorando qualquer matriz retangular. Exemplo: compressão de imagens mantendo apenas os maiores valores singulares.

Espaço Vetorial e Subespaço

Conjunto fechado sob adição e multiplicação por escalar. Exemplo: o conjunto de soluções de Ax = 0 forma o núcleo ker(A), um subespaço do R^n.

Processo de Gram-Schmidt

Converte base em base ortogonal: u_k = v_k - soma(proj(v_k, u_j)). Exemplo: ortogonalizar { (1,1), (1,2) } obtendo base ortonormal para R^2.

Equação Diferencial Linear de 1ª Ordem

y' + P(x)y = Q(x), resolvida com fator integrante mu(x) = exp(integral P(x)dx). Exemplo: circuitos RC em série modelados por R*q' + q/C = V.

Transformada de Laplace

L{f(t)} = integral de 0 a inf de e^(-st) f(t) dt. Exemplo: resolver y'' + y = sen(t) convertendo a EDO em equação algébrica em s.

Série de Fourier

Representa funções periódicas por somas de senos e cossenos: a0/2 + soma (an cos(nx) + bn sen(nx)). Exemplo: decompor onda quadrada em harmônicas.

Transformada de Fourier

F(w) = integral de -inf a inf de f(t) e^(-iwt) dt. Exemplo: filtrar frequências de ruído de alta frequência de um sinal de áudio.

Equações de Cauchy-Riemann

du/dx = dv/dy e du/dy = -dv/dx para f(z) = u + iv holomorfa. Exemplo: checar que f(z) = z^2 satisfaz as relações e é diferenciável no plano complexo.

Teorema Integral de Cauchy

Se f é holomorfa em domínio simplesmente conexo, integral fechada de f(z)dz = 0. Exemplo: integral de e^z sobre o círculo |z|=1 é igual a zero.

Fórmula Integral de Cauchy

f(a) = (1 / 2*pi*i) * integral fechada de f(z)/(z-a) dz. Exemplo: calcular integral de e^z/(z-1) ao redor de |z|=2, resultando em 2*pi*i*e^1.

Teorema dos Resíduos

integral fechada f(z)dz = 2*pi*i * soma dos resíduos nos polos internos. Exemplo: calcular integrais impróprias reais como de 1/(1+x^2) de -inf a inf.

Teorema Fundamental da Álgebra

Todo polinômio de grau n >= 1 com coeficientes complexos tem n raízes complexas. Exemplo: x^2 + 1 = 0 não tem raiz real, mas tem raízes i e -i em C.

Teorema de Lagrange (Teoria dos Grupos)

A ordem de qualquer subgrupo H divide a ordem do grupo finito G: |G| = |H| * [G:H]. Exemplo: um grupo de ordem 7 só pode ter subgrupos de ordem 1 e 7.

Primeiro Teorema do Isomorfismo

Se phi: G -> H é homomorfismo, G/ker(phi) é isomorfo a Im(phi). Exemplo: o quociente R/Z é isomorfo ao grupo multiplicativo do círculo unitário S^1.

Topologia: Compacidade (Heine-Borel)

Em R^n, um subconjunto é compacto se e somente se for fechado e limitado. Exemplo: o intervalo [0, 1] é compacto, mas (0, 1) e [0, inf) não são.

Teorema do Ponto Fixo de Banach

Toda contração em espaço métrico completo tem ponto fixo único: T(x) = x. Exemplo: garante convergência de iterações numéricas como x_(k+1) = cos(x_k).

Teorema do Ponto Fixo de Brouwer

Toda função contínua do disco fechado nele mesmo possui ao menos um ponto fixo. Exemplo: mexer café numa xícara garante que um ponto permaneceu no lugar.

Espaço de Hilbert

Espaço vetorial com produto interno que é completo na norma induzida. Exemplo: o espaço L^2([a,b]) das funções de quadrado integrável na mecânica quântica.

Lei dos Grandes Números

A média amostral converge em probabilidade para a média teórica mu quando n cresce. Exemplo: média de lançamentos de moeda converge para 0,5.

Teorema do Limite Central

A soma de n v.a. independentes e identicamente distribuídas padronizada tende à Normal(0,1). Exemplo: aproximação normal da distribuição binomial para n alto.

Lema de Fatou

integral de liminf f_n dmu <= liminf integral de f_n dmu para funções não-negativas. Exemplo: controle do limite de integrais de sequências na Teoria da Medida.

Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue

Se |f_n| <= g com g integrável e f_n -> f, lim integral f_n = integral f. Exemplo: permite trocar ordem de limite e integral sob domínio dominado.

Teorema de Picard-Lindelöf

Se f(t,y) é Lipschitz em y, y' = f(t,y) tem solução única local. Exemplo: garante existência e unicidade de trajetórias em sistemas de equações diferenciais.

Método de Newton-Raphson

x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n). Exemplo: aproximar a raiz de x^2 - 2 = 0 começando de x0 = 1 para computar a raiz quadrada de 2.

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

|<u, v>|^2 <= <u, u> * <v, v>. Exemplo: garante que a correlação linear de Pearson fique sempre no intervalo [-1, 1].

Matriz Jacobiana

Matriz J com elementos J_ij = df_i/dx_j de derivadas parciais. Exemplo: mudança de variáveis de coordenadas cartesianas para polares (r, theta).

Matriz Hessiana

Matriz quadrada H_ij = d^2 f / (dx_i dx_j) de segundas derivadas. Exemplo: classificar pontos críticos (se H é definida positiva, o ponto é mínimo local).

Curvatura de uma Curva (Geometria Diferencial)

kappa = ||dT/ds||, mede a taxa de rotação do vetor tangente unitário. Exemplo: a curvatura de um círculo de raio R é constante e igual a 1/R.

Equação de Poisson

nabla^2 u = f, equação diferencial parcial elíptica fundamental. Exemplo: determinar o potencial eletrostático gerado por densidade de carga dada.

Equação do Calor

du/dt = alpha * nabla^2 u, EDP parabólica de difusão térmica. Exemplo: modelar a dissipação de temperatura ao longo de uma barra de metal isolada.

Equação da Onda

d^2 u / dt^2 = c^2 * nabla^2 u, EDP hiperbólica de propagação ondulatória. Exemplo: descrever a vibração de uma corda esticada de violão.

Teorema de Cayley-Hamilton

Toda matriz quadrada satisfaz sua própria equação característica: p(A) = 0. Exemplo: calcular inversas e potências de matrizes reescrevendo potências altas.

Cadeias de Markov e Distribuição Estacionária

pi * P = pi, onde P é a matriz estocástica e pi o vetor de probabilidades. Exemplo: algoritmo PageRank que modela a navegação aleatória na web.

Condições KKT (Karush-Kuhn-Tucker)

Generalização de Lagrange para restrições de desigualdade g_i(x) <= 0. Exemplo: resolver problemas de programação convexa e otimização em Machine Learning.

Fórmula de Euler para Poliedros

V - A + F = 2 para qualquer poliedro conexo homeomorfo à esfera. Exemplo: o cubo tem 8 vértices, 12 arestas e 6 faces (8 - 12 + 6 = 2).

Teorema de Bolzano-Weierstrass

Toda sequência limitada em R^n possui uma subsequência convergente. Exemplo: a sequência (-1)^n é limitada e tem subsequência convergente (1, 1, 1...).

Lema de Zorn

Se todo conjunto linearmente ordenado de um poset tem cota superior, há elemento maximal. Exemplo: usado para provar que todo espaço vetorial possui uma base.