Semelhança de Triângulos 2

Cartões · 53

Definição de triângulos semelhantes

Dois triângulos são semelhantes se possuem ângulos congruentes e lados homólogos proporcionais.

O que é a razão de semelhança (k)?

É a razão constante entre as medidas de quaisquer dois lados homólogos correspondentes.

Caso de semelhança AA (Ângulo-Ângulo)

Se dois triângulos possuem dois pares de ângulos correspondentes congruentes, eles são semelhantes.

Caso de semelhança LAL (Lado-Ângulo-Lado)

Se dois pares de lados homólogos são proporcionais e o ângulo formado entre eles é congruente, são semelhantes.

Caso de semelhança LLL (Lado-Lado-Lado)

Se os três pares de lados homólogos de dois triângulos são proporcionais, eles são semelhantes.

Caso especial LAAo (Lado-Ângulo-Ângulo oposto)

Triângulos são semelhantes se têm lados proporcionais, um ângulo adjacente congruente e o oposto também congruente.

Relação entre perímetros de triângulos semelhantes com razão k

A razão entre os perímetros de dois triângulos semelhantes é igual à própria razão de semelhança k.

Relação entre áreas de triângulos semelhantes com razão k

A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança, ou seja, k².

Relação entre alturas homólogas com razão k

A razão entre as alturas correspondentes de triângulos semelhantes é igual à razão de semelhança k.

Relação entre medianas homólogas com razão k

A razão entre as medianas relativas aos lados homólogos é igual à razão de semelhança k.

Relação entre bissetrizes internas homólogas com razão k

A razão entre as bissetrizes internas relativas a vértices correspondentes é igual a k.

Relação entre raios de circunferências inscritas ou circunscritas

A razão entre os raios das circunferências inscritas (ou circunscritas) de triângulos semelhantes é k.

Teorema Fundamental da Semelhança de Triângulos

Uma reta paralela a um dos lados de um triângulo que intercepta os outros dois determina um triângulo semelhante ao original.

Teorema de Tales aplicado a triângulos

Um feixe de retas paralelas cortado por transversais determina segmentos proporcionais, gerando lados proporcionais no triângulo.

Teorema da Bissetriz Interna

A bissetriz de um ângulo interno divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos outros dois lados adjacentes.

Fórmula do Teorema da Bissetriz Interna para triângulo ABC com bissetriz AD no lado BC

BD / DC = AB / AC

Teorema da Bissetriz Externa

A bissetriz de um ângulo externo divide a reta do lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

Base média de um triângulo e sua relação com a base

O segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado e mede metade do comprimento dele.

Razão de semelhança entre o triângulo formado pela base média e o triângulo original

A razão de semelhança k é 1/2 (ou 2, se comparado do maior para o menor).

Razão de áreas entre o triângulo menor formado pela base média e o original

A razão entre as áreas é (1/2)² = 1/4.

Relação métrica no triângulo retângulo: semelhança entre triângulo total e parcial

A altura divide o triângulo retângulo em dois triângulos menores semelhantes entre si e semelhantes ao original.

Fórmula: quadrado do cateto pela hipotenusa e projeção (b² = ?)

b² = a * m, onde 'a' é a hipotenusa e 'm' é a projeção do cateto 'b' sobre ela.

Fórmula: quadrado do cateto pela hipotenusa e projeção (c² = ?)

c² = a * n, onde 'a' é a hipotenusa e 'n' é a projeção do cateto 'c' sobre ela.

Fórmula: quadrado da altura relativa à hipotenusa (h² = ?)

h² = m * n, onde 'm' e 'n' são as projeções dos catetos na hipotenusa.

Fórmula: produto dos catetos e produto da hipotenusa pela altura

b * c = a * h

Fórmula: relação inversa dos quadrados da altura e dos catetos

1 / h² = 1 / b² + 1 / c²

Cálculo: triângulo com lados 3, 4, 5 e outro semelhante com menor lado 6. Qual o maior lado?

Razão k = 6 / 3 = 2. O maior lado é 5 * 2 = 10.

Cálculo: lados homólogos medem 4 cm e 12 cm. Qual a razão de suas áreas?

k = 12 / 4 = 3. A razão das áreas é k² = 3² = 9.

Cálculo: triângulo tem área 20 cm² e lados ampliados por fator 3. Qual a nova área?

Nova área = 20 * (3²) = 20 * 9 = 180 cm².

Cálculo: se a razão das áreas é 16/25, qual é a razão de semelhança dos perímetros?

k = √(16 / 25) = 4 / 5.

Cálculo: no triângulo ABC, DE // BC. AD = 2, DB = 4, AE = 3. Calcule EC.

Por Tales: AD / DB = AE / EC => 2 / 4 = 3 / EC => EC = 6.

Cálculo: no triângulo ABC, DE // BC. AD = 3, AB = 9, DE = 4. Calcule BC.

Por semelhança: AD / AB = DE / BC => 3 / 9 = 4 / BC => 1/3 = 4 / BC => BC = 12.

Cálculo: sombra de um poste de 6 m mede 4 m. No mesmo instante, a sombra de um prédio mede 20 m. Altura?

h / 20 = 6 / 4 => h = 20 * 1,5 = 30 metros.

Cálculo: triângulo tem lados 6, 8 e 10. Se o perímetro de um semelhante é 48, quais os lados?

Perímetro original = 24. Razão = 48 / 24 = 2. Os lados medem 12, 16 e 20.

Cálculo: bissetriz interna divide o lado BC de 10 cm em segmentos x e 10-x. Lados: AB=6, AC=9. Ache x.

x / (10 - x) = 6 / 9 => 9x = 60 - 6x => 15x = 60 => x = 4 cm (e outro segmento 6 cm).

O que são lados homólogos?

Lados que se opõem a ângulos congruentes em triângulos semelhantes.

Se dois triângulos retângulos possuem um ângulo agudo congruente, eles são semelhantes?

Sim, pelo caso Ângulo-Ângulo (AA), já que ambos têm um ângulo de 90° e um ângulo agudo igual.

Dois triângulos equiláteros quaisquer são sempre semelhantes?

Sim, pois todos os ângulos internos de qualquer triângulo equilátero medem 60° (caso AA).

Dois triângulos isósceles são sempre semelhantes?

Não necessariamente; eles precisam ter ângulos da base ou ângulo do vértice congruentes.

Cálculo: triângulos retângulos com catetos 3 e 4. Projeção m do menor cateto na hipotenusa?

Hipotenusa a = 5. Cateto b = 3. b² = a * m => 3² = 5 * m => m = 9 / 5 = 1,8.

Cálculo: no triângulo retângulo de hipotenusa 10, projeções m=2 e n=8. Qual a altura relativa?

h² = m * n => h² = 2 * 8 = 16 => h = 4.

Cálculo: trapézio com bases 4 e 12 cortado por diagonais que geram dois triângulos semelhantes. Razão?

A razão entre os triângulos formados pelas bases e o ponto de interseção é 4 / 12 = 1/3.

Cálculo: a altura de um triângulo é dividida ao meio por reta paralela à base. Razão de áreas?

k = 1/2. Razão da área do triângulo superior para a área total é (1/2)² = 1/4.

Cálculo: reta paralela à base divide a área de um triângulo ao meio. Qual a razão da altura menor?

k² = 1/2 => k = 1 / √2 = √2 / 2 da altura total.

Propriedade reflexiva da semelhança

Todo triângulo é semelhante a si mesmo (razão k = 1).

Propriedade simétrica da semelhança

Se o triângulo T1 é semelhante a T2 com razão k, T2 é semelhante a T1 com razão 1/k.

Propriedade transitiva da semelhança

Se T1 é semelhante a T2 e T2 é semelhante a T3, então T1 é semelhante a T3.

Cálculo: lados de T1 são 5, 7, 8. Menor lado do semelhante T2 é 15. Qual o perímetro de T2?

k = 15 / 5 = 3. Perímetro T1 = 5+7+8 = 20. Perímetro T2 = 20 * 3 = 60.

Cálculo: lados 4, 6 e x; semelhantes a lados 8, 12 e 14. Qual o valor de x?

Razão k = 8 / 4 = 12 / 6 = 2. Logo, 14 / x = 2 => x = 7.

Qual a relação entre o baricentro e a semelhança no triângulo medial?

O triângulo que une os pontos médios é semelhante ao original na razão 1/2 e compartilha o mesmo baricentro.

Cálculo: se dois triângulos são congruentes, qual é a sua razão de semelhança k?

k = 1, pois todos os lados homólogos possuem a mesma medida.

Cálculo: se a razão de semelhança de alturas é 2:5, qual a razão entre os volumes de sólidos semelhantes?

A razão entre volumes correspondentes de sólidos com bases semelhantes é k³ = (2/5)³ = 8/125.

Cálculo: triângulo com lados 9, 12, 15. Qual o raio do círculo inscrito de um semelhante com k = 2?

r original = (b + c - a)/2 = (9+12-15)/2 = 3. Raio no triângulo semelhante = 3 * 2 = 6.