Semelhança de Triângulos 3

Cartões · 52

O que são triângulos semelhantes?

São triângulos que possuem ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes diretamente proporcionais.

Qual é a definição da razão de semelhança (k)?

É a constante obtida pela divisão entre as medidas de dois lados correspondentes de triângulos semelhantes.

O que diz o caso de semelhança Ângulo-Ângulo (AA)?

Se dois triângulos possuem dois pares de ângulos correspondentes congruentes, então eles são semelhantes.

O que diz o caso de semelhança Lado-Lado-Lado (LLL)?

Se os três pares de lados homólogos de dois triângulos forem proporcionais, os triângulos são semelhantes.

O que diz o caso de semelhança Lado-Ângulo-Lado (LAL)?

Se dois lados forem proporcionais e o ângulo compreendido entre eles for congruente, os triângulos são semelhantes.

O que são lados homólogos?

São os lados que se opõem a ângulos congruentes em triângulos semelhantes.

Teorema Fundamental da Semelhança de Triângulos

Toda reta paralela a um dos lados de um triângulo que intercepta os outros dois lados forma um triângulo semelhante ao primeiro.

Se dois triângulos têm razão de semelhança k, qual a razão entre seus perímetros?

A razão entre os perímetros de dois triângulos semelhantes é igual à razão de semelhança k.

Se dois triângulos têm razão de semelhança k, qual a razão entre suas áreas?

A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança, ou seja, k².

Se a razão entre as áreas é 16/25, qual é a razão de semelhança dos lados?

A razão de semelhança k é a raiz quadrada da razão das áreas: √(16/25) = 4/5.

Dois triângulos equiláteros são sempre semelhantes?

Sim, pois todos os triângulos equiláteros possuem os três ângulos internos iguais a 60 graus (caso AA).

Dois triângulos isósceles são sempre semelhantes?

Não, pois eles podem possuir ângulos internos com medidas diferentes.

Dois triângulos retângulos isósceles são sempre semelhantes?

Sim, pois ambos sempre possuem ângulos internos medindo 90°, 45° e 45° (caso AA).

ΔABC ~ ΔDEF com AB=6, DE=3, BC=8. Quanto vale EF?

Pela proporção AB/DE = BC/EF, temos 6/3 = 8/EF. Logo, 2 = 8/EF, resultando em EF = 4.

ΔABC ~ ΔDEF com AB=4, DE=12, AC=5. Quanto vale DF?

Pela proporção AB/DE = AC/DF, temos 4/12 = 5/DF. Simplificando, 1/3 = 5/DF, o que resulta em DF = 15.

ΔABC tem lados 3, 4, 5. Um triângulo semelhante tem menor lado igual a 9. Qual é o maior lado?

O menor lado homólogo é 3. A razão é 9/3 = 3. O maior lado é 5 * 3 = 15.

ΔABC ~ ΔMNP com razão 2/5. Se o perímetro do menor é 20, qual o perímetro do maior?

Pela proporção P1/P2 = 2/5, temos 20/P2 = 2/5. Multiplicando em cruz: 2*P2 = 100, logo P2 = 50.

Problema da sombra: Poste projeta sombra de 4m e vara de 1m projeta sombra de 0,5m. Altura do poste?

Proporção altura/sombra: H/4 = 1/0,5. Multiplicando em cruz: 0,5*H = 4, logo H = 8 metros.

Edifício projeta sombra de 15m enquanto pessoa de 1,8m projeta sombra de 2m. Altura do prédio?

Proporção: H/15 = 1,8/2. Então H/15 = 0,9, logo H = 15 * 0,9 = 13,5 metros.

No ΔABC, DE é paralelo a BC. AD=2, DB=4, AE=3. Quanto vale EC?

Pelo Teorema de Tales/Semelhança: AD/DB = AE/EC. 2/4 = 3/EC. Multiplicando cruzado: 2*EC = 12, logo EC = 6.

No ΔABC, DE || BC cortando AB e AC. AD=3, AB=9, DE=4. Quanto vale BC?

A proporção dos triângulos é AD/AB = DE/BC. 3/9 = 4/BC. Simplificando 1/3 = 4/BC, logo BC = 12.

No ΔABC, segmento DE || BC. AD=x, DB=6, AE=4, EC=8. Calcule x.

Pela proporção entre os segmentos: x/6 = 4/8. Como 4/8 = 1/2, temos x/6 = 1/2, logo x = 3.

No ΔABC, DE || BC. AD=x, DB=x+2, AE=3, EC=5. Calcule x.

Monta-se a proporção: x/(x+2) = 3/5. Cruzando: 5x = 3(x+2) => 5x = 3x + 6 => 2x = 6 => x = 3.

Triângulos com lados (4, 6, 8) e (6, 9, 12) são semelhantes?

Sim, pois 4/6 = 6/9 = 8/12 = 2/3. Os lados são proporcionais (caso LLL).

Triângulos com lados (5, 7, 9) e (10, 14, 20) são semelhantes?

Não, pois 5/10 = 7/14 = 1/2, mas 9/20 ≠ 1/2. Os lados não são proporcionais.

Em trapézio com diagonais que se cortam em O, os triângulos das bases são semelhantes?

Sim, porque as bases são paralelas, gerando ângulos alternos internos congruentes (caso AA).

Qual a relação entre alturas relativas de triângulos semelhantes?

A razão entre as alturas correspondentes é exatamente igual à razão de semelhança k dos lados.

Qual a relação entre medianas correspondentes de triângulos semelhantes?

A razão entre medianas homólogas é igual à razão de semelhança k dos lados.

Qual a relação entre bissetrizes internas de triângulos semelhantes?

A razão entre bissetrizes homólogas também é igual à razão de semelhança k dos lados.

Se k = 3, o triângulo maior tem área igual a quantas vezes a área do menor?

A área será multiplicada por k², ou seja, 3² = 9 vezes a área do triângulo menor.

No triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa gera quais triângulos semelhantes?

Ela divide o triângulo original em dois triângulos menores que são semelhantes entre si e ao triângulo original.

Triângulo retângulo tem catetos 6 e 8 (hipotenusa 10). Qual a altura relativa à hipotenusa?

Pela semelhança: b*c = a*h. Logo, 6 * 8 = 10 * h => 48 = 10h => h = 4,8.

No triângulo retângulo, por que a relação h² = m*n existe?

Pela semelhança entre os dois triângulos menores formados pela altura h relativa à hipotenusa: h/m = n/h.

No triângulo retângulo, por que a relação b² = a*m existe?

Pela semelhança entre um dos triângulos menores e o total: c/b = m/c ou b/a = m/b.

Se dois lados medem 4 e 6 com ângulo de 50°, e outro tem lados 8 e 12 com ângulo de 50°, são semelhantes?

Sim, pelo caso LAL, pois 4/8 = 6/12 = 1/2 e o ângulo entre eles é o mesmo (50°).

Se dois triângulos possuem lados proporcionais 3/6 e 4/8, mas o ângulo entre eles difere, são semelhantes?

Não necessariamente, pois para aplicar o caso LAL o ângulo correspondente compreendido deve ser congruente.

ΔABC tem ângulos de 40° e 60°. ΔDEF tem ângulos de 60° e 80°. Eles são semelhantes?

Sim. O terceiro ângulo de ABC é 180 - (40+60) = 80°. Ambos possuem ângulos de 40°, 60° e 80° (caso AA).

ΔABC ~ ΔA'B'C'. Se AB=5, A'B'=15 e área de ΔABC=12, qual a área de ΔA'B'C'?

A razão de lados é 5/15 = 1/3. A razão de áreas é (1/3)² = 1/9. Área maior = 12 * 9 = 108.

Se um triângulo tem lados 5, 12, 13, qual o perímetro de um semelhante com hipotenusa 26?

A hipotenusa dobrou (26/13 = 2). O perímetro original é 5+12+13 = 30. O novo perímetro é 30 * 2 = 60.

No ΔABC, DE || BC com D em AB e E em AC. Se AD/AB = 1/4 e DE = 5, quanto vale BC?

Pela semelhança entre ΔADE e ΔABC: AD/AB = DE/BC => 1/4 = 5/BC => BC = 20.

No ΔABC, DE || BC com D em AB e E em AC. Se AD=2, DB=3 e área de ADE é 8, qual a área de ABC?

Lado AB = 2 + 3 = 5. Razão de semelhança = 2/5. Razão de áreas = 4/25. 8/Área = 4/25 => Área = 50.

Em uma figura de ampulheta com retas paralelas AB e CD que cruzam em O, quais lados são homólogos?

OA é homólogo a OD (ou OC, conforme ângulos alternos), OB a OC, e AB a CD.

Na ampulheta, AB || CD, AO=6, OD=9, AB=8. Calcule CD.

Pela semelhança dos triângulos: AO/OD = AB/CD => 6/9 = 8/CD => 2/3 = 8/CD => 2*CD = 24 => CD = 12.

Como identificar corretamente lados homólogos em problemas práticos?

Identifique primeiro os ângulos de medidas iguais; os lados opostos a esses ângulos formam as razões homólogas.

Toda congruência é uma semelhança?

Sim, congruência é um caso particular de semelhança onde a razão de proporção k é igual a 1.

Toda semelhança é uma congruência?

Não, pois na semelhança os lados podem estar ampliados ou reduzidos (razão k diferente de 1).

Se um triângulo tem lados x, 8, 10 e é semelhante a um de lados 6, 12, 15, determine x.

Comparando os lados conhecidos: 8/12 = 10/15 = 2/3. Portanto, x/6 = 2/3 => 3x = 12 => x = 4.

Dois triângulos semelhantes têm perímetros 18 e 54. Se o menor tem lado 4, qual o homólogo no maior?

A razão dos perímetros é 18/54 = 1/3. Logo, o lado homólogo mede 4 * 3 = 12.

O Teorema da Bissetriz Interna se baseia em qual princípio geométrico?

Ele pode ser demonstrado construindo-se uma reta paralela e aplicando o Teorema de Tales e semelhança.

Qual o erro mais comum ao calcular proporções em triângulos com reta paralela cortando lados?

Usar o segmento inferior DB em vez do lado total AB para relacionar a base paralela DE com a base BC.

No ΔABC, traça-se DE || BC. Se AD = 4 e DB = 2, qual a razão DE/BC?

O lado total AB é 4 + 2 = 6. A razão de semelhança é AD/AB = 4/6 = 2/3. Portanto, DE/BC = 2/3.

Homotetia preserva quais propriedades dos triângulos?

Preserva os ângulos das figuras e a proporção de distâncias, gerando sempre triângulos semelhantes.